Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – arhiva admiterii
Acest subiect nu are un barem public asociat.
Despre acest subiect
iulie · Sesiunea iulie; subiect oficial
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – arhiva admiterii. Pentru acest subiect nu este disponibil un barem public.
Subiectul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 2 pagini
Subiect · pagina 1
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Sesiunea Iulie 2019 Solut¸ii ¸si barem de corectare la Matematic˘a Subiectul 1 ˆIn mult¸imea M2(R) se consider˘a matricele A(x) = ( 1 + 5x −2x 10x −4x + 1 ) , unde x ∈ R. i) S˘a se calculeze ( A(1) − I2 )3 . ii) S˘a se verifice c˘a A(x)A(y) = A(x + y + xy), pentru orice x, y ∈ R. iii) S˘a se calculeze produsul A(1) · A(2) · . . . · A(2019). Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) i) Se obt¸ine ( A(1) − I2 )2 = ( A(1) − I2 )3 = A(1) − I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) ii) Notˆand B = A(1) − I2 avem c˘a A(x) = I2 + xB, cu B2 = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) A(x)A(y) = (I2 + xB)(I2 + yB) = I2 + xB + yB + xyB2 = I2 + (x + y + xy)B = A(x + y + xy) . . (2p) iii) Conform punctului anterior A(x)A(y) = A((x + 1)(y + 1) − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Inductiv A(x1)A(x2) . . . A(xn) = A((x1 +1)(x2 +2) . . . (xn +1)−1), pentru orice n ∈ N∗ ¸si x1, x2, . . . , xn ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) ˆIn particular A(1)A(2) . . . A(2019) = A(2020! − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Subiectul 2 Se consider˘a polinomul f ∈ R[X], f = X3 −pX2 +(p+1)X +1, cu r˘ad˘acinile x1, x2, x3 ∈ C. i) Determinat¸i p ∈ R pentru care x1 + x2 + x3 = 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 . ii) S˘a se arate c˘a, pentru orice p ∈ R, polinomul f nu este divizibil cu X2 − 1. iii) Dac˘a p = 1 calculat¸i x2 1 + x2 2 + x2 3 ¸si ar˘atat¸i c˘a f are o singur˘a r˘ad˘acin˘a real˘a. Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) i) Conform relat¸iilor lui Vi´ete x1 + x2 + x3 = p, x1x2 + x1x3 + x2x3 = p + 1, iar x1x2x3 = −1 . . . . (1p) Deoarece 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 = x1x2 + x1x3 + x2x3 x1x2x3 = −p − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) se obt¸ine c˘a egalitatea este adev˘arat˘a dac˘a ¸si numai dac˘a p = −p − 1, sau echivalent, p = − 1 2 . . . . . (1p) ii) Deoarece r˘ad˘acinile polinomului X2 − 1 sunt 1 ¸si −1, rezult˘a c˘a X2 − 1 ∣ ∣ ∣f dac˘a ¸si numai dac˘a f (1) = f (−1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Dar f (1) = 3 6 = 0 ¸si deci X2 − 1 nu divide polinomul f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) iii) x2 1 + x2 2 + x2 3 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = −3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Cum grad f = 3 (impar) rezult˘a c˘a cel put¸in o r˘ad˘acin˘a este real˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Presupunˆand, prin reducere la absurd, c˘a toate r˘ad˘acinile lui f sunt reale ar trebui s˘a avem x2 1 +x2 2 +x2 3 ≥ 0 ceea ce contrazice calculul de mai sus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Dac˘a x1 ∈ C \ R este o r˘ad˘acin˘a complex˘a dar nereal˘a, cum f ∈ R[X], avem c˘a x2 := x1 ∈ C \ R este de asemenea r˘ad˘acin˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Subiect · pagina 2
Subiectul 3 Se consider˘a funct¸ia f : (−∞, −3) ∪ (0, ∞) → R, f (x) = ln ( 1 + 3 x ) . i) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este concav˘a pe (−∞, −3). ii) S˘a se determine limita ¸sirului (an)n≥1, unde an = n ( f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (n) − ln n(n + 1)(n + 2) 6 ) , n ≥ 1. iii) S˘a se arate c˘a exist˘a c ∈ (2, 3) astfel ˆıncˆat (c − 2)f ′(c) + f (c) = ln 2. Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) i) Avem f ′(x) = 1 x + 3 − 1 x , iar f ′′(x) = 1 x2 − 1 (x + 3)2 = 6x + 9 x2(x + 3)2 , x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, ∞) . . . . . (1p) Deoarece 6x + 9 < 0 pentru orice x ∈ (−∞, −3), rezult˘a c˘a f ′′(x) < 0, pentru orice x < −3, ceea ce arat˘a c˘a funct¸ia f este concav˘a pe intervalul (−∞, −3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1p) ii) Avem f (1) + f (2) + . . . + f (n) = n+3∑ k=4 ln k − n∑ k=1 ln k = ln (n + 1)(n + 2)(n + 3) 6 , pentru orice n ≥ 1 (1p) Rezult˘a c˘a an = n ln n + 3 n , n ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) lim n→∞ an = lim n→∞ 3 ln ( 1 + 3 n ) n 3 = 3 ln e = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) iii) Funct¸ia g : [2, 3] → R, g(x) = (x − 2)f (x) este continu˘a pe [2, 3] ¸si derivabil˘a pe (2, 3) cu f ′(x) = (x − 2)f ′(x) + f (x), x ∈ (2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Conform Teoremei lui Lagrange, exist˘a c ∈ (2, 3) astfel ˆıncˆat g(3) − g(2) = (3 − 2)g′(c), ceea ce este echivalent cu ln 2 = (c − 2)f ′(c) + f (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) Subiectul 4 Se consider˘a funct¸iile f, g : [1, ∞) → R, f (x) = ln x + 1 x , g(x) = (x + 1) ln x − x + 1. i) S˘a se arate c˘a funct¸ia g este o primitiv˘a a funct¸iei f . ii) Calculat¸i aria suprafet¸ei cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ie x = 1 ¸si x = e. iii) Calculat¸i 2∫ 1 f (x)g(x)dx. Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) i) Calculeaz˘a g′ ¸si observ˘a c˘a g′ = f pe [1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) ii) Cum f (x) ≥ 0, x ≥ 1, rezult˘a c˘a A = e∫ 1 |f (x)| dx = e∫ 1 f (x) dx = g(e) − g(1) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . (3p) iii) Avem c˘a f (x)g(x) = ( 1 2 g2 )′ (x), x ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) Cu formula Leibnitz-Newton se obt¸ine c˘a 2∫ 1 f (x)g(x)dx = 1 2 g2(x) ∣ ∣ ∣2 1 = (3 ln 2 − 1)2 2 . . . . . . . . . . . . . . . (2p) Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2019Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă examen de admitere din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.