Pregătire cu un profesor

Glisează →

Subiect și barem

PDF

Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI

Subiect — acces directBarem — acces direct

Concurs de pregătire · Matematică · 2018

Facultatea de Informatică · UVT

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 1 pagină

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia a IV-a
19 mai 2018
Subiect la Matematic˘a - clasa a XI-a
Subiectul 1 ˆIn mult¸imea S3 a permut˘arilor de gradul 3 se consider˘a permut˘arile:
a =
( 1 2 3
2 1 3
)
; b =
( 1 2 3
1 3 2
)
; c =
( 1 2 3
2 3 1
)
.
(i) Determinat¸i ba ¸si c12.
(ii) Rezolvat¸i ecuat¸ia ax = cb, x ∈ S3.
Subiectul 2 Fie ε = −1 + i · √3
2 ¸si matricea
A =
2
4 1 1 1
1 ε2 ε
1 ε ε2
3
5 .
(i) Ar˘atat¸i c˘a ε2 + ε + 1 = 0 ¸si c˘a ε3 = 1.
(ii) Calculat¸i A2, A4 ¸si ar˘atat¸i c˘a det(A2018) = −33027.
Subiectul 3 Calculat¸i urm˘atoarele limite:
(i) lim
x→1
1 − x2
sin(πx) ;
(ii) lim
x→0
1 − √cos x
x2 .
Subiectul 4 Ar˘atat¸i c˘a ¸sirul xn = sin n, (∀)n ≥ 0, nu este convergent.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.
Deschide documentul original
Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia a IV-a
19 mai 2018
Solut¸ii ¸si barem de corectare la Matematic˘a - clasa a XI-a
Subiectul 1 ˆIn mult¸imea S3 a permut˘arilor de gradul 3 se consider˘a permut˘arile:
a =
( 1 2 3
2 1 3
)
; b =
( 1 2 3
1 3 2
)
; c =
( 1 2 3
2 3 1
)
.
(i) Determinat¸i ba ¸si c12.
(ii) Rezolvat¸i ecuat¸ia ax = cb, x ∈ S3.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Prin calcul direct se obt¸ine
ba =
( 1 2 3
1 3 2
)
·
( 1 2 3
2 1 3
)
=
( 1 2 3
3 1 2
)
,
respectiv
c3 = c2 · c =
( 1 2 3
3 1 2
)
·
( 1 2 3
2 3 1
)
=
( 1 2 3
1 2 3
)
= e,
de unde rezult˘a c12 = (c3)4 = e4 = e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(4p)
(ii) ˆInmult¸ind ecuat¸ia la stˆanga cu a−1 rezult˘a
x = a−1cb =
( 1 2 3
2 1 3
)
·
( 1 2 3
2 3 1
)
·
( 1 2 3
1 3 2
)
=
( 1 2 3
1 2 3
)
= e (5p)
Subiectul 2 Fie ε = −1 + i · √3
2 ¸si matricea
A =


1 1 1
1 ε2 ε
1 ε ε2

 .
(i) Ar˘atat¸i c˘a ε2 + ε + 1 = 0 ¸si c˘a ε3 = 1.
(ii) Calculat¸i A2, A4 ¸si ar˘atat¸i c˘a det(A2018) = −33027.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
(i) Se verific˘a prin calcul direct ε2 + ε + 1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Din ε3 − 1 = (ε − 1)(ε2 + ε + 1) = 0 rezult˘a ε3 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
(ii) Din
A2 =

 3 ε2 + ε + 1 ε2 + ε + 1
ε2 + ε + 1 ε4 + ε2 + 1 2ε3 + 1
ε2 + ε + 1 2ε3 + 1 ε4 + ε2 + 1


¸si egalit˘at¸ile de la (i) rezult˘a
A2 =


3 0 0
0 0 3
0 3 0

 2p

Barem · pagina 2

Urmeaz˘a
A4 = A2 · A2 =


9 0 0
0 9 0
0 0 9

 2p
Din det A = 3(ε − ε2) = 3(ε − (−ε − 1)) = 3(2ε + 1) = 3i√3 rezult˘a det (A2018) = (det(A))2018 =
(3i√3)2018 = −33027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Subiectul 3 Calculat¸i urm˘atoarele limite:
(i) lim
x→1
1 − x2
sin(πx) ;
(ii) lim
x→0
1 − √cos x
x2 .
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
(i) Din
1 − x2
sin(πx) = (1 + x) · 1
sin(π − πx)
1 − x
= (1 + x) · 1
π · 1
sin(π(1 − x))
π(1 − x)
rezult˘a prin trecere la limit˘a c˘a lim
x→1
1 − x2
sin(πx) = 2
π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4p)
(ii) Din
1 − √cos x
x2 = 1
1 + √cos x · 1 − cos x
x2 = 1
1 + √cos x ·
2 sin2 x
2
x2 = 1
1 + √cos x · 1
2 ·

 sin x
2
x
2


2
rezult˘a prin trecere la limit˘a c˘a lim
x→0
1 − √cos x
x2 = 1
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5p)
Subiectul 4 Ar˘atat¸i c˘a ¸sirul xn = sin n, (∀)n ≥ 0, nu este convergent.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Reducere la absurd; presupunem c˘a exist˘a lim
n→∞ xn = L ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Din egalitatea 2 cos n sin 1 = sin(n + 1) − sin(n − 1) = xn+1 − xn−1 ¸si din sin 1 6 = 0 rezult˘a prin trecere la
limit˘a c˘a lim
n→∞ cos n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p)
Din egalitatea sin2 n + cos2 n = 1 se obt¸ine prin trecere la limit˘a L2 = 1, adic˘a L ∈ {−1, 1}; L 6 = 0 (2p)
Trecˆand la limit˘a ˆın egalitatea sin(n + 1) = sin n cos 1 + cos n sin 1 rezult˘a L = L · cos 1, de unde cos 1 = 1
– contradict¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
O a doua variant˘a de solut¸ie:
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Reducere la absurd; presupunem c˘a ¸sirul este convergent, exist˘a lim
n→∞ xn = L ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Pentru orice k ∈ N intervalul
[
2kπ + π
4 , 2kπ + 3π
4
]
are lungimea egal˘a cu π
2 > 1, deci cont¸ine cel put¸in
un num˘ar natural n′
k; pe aceste intervale funct¸ia sin ia valori mai mari sau egale decˆat
√2
2 . . . . . . . (3p)

Barem · pagina 3

Pentru orice k ∈ N intervalul
[
2kπ + 5π
4 , 2kπ + 7π
4
]
are lungimea egal˘a cu π
2 > 1, deci cont¸ine cel put¸in
un num˘ar natural n′′
k ; pe aceste intervale funct¸ia sin ia valori mai mici sau egale decˆat −
√2
2 . . . . . . (3p)
Sub¸sirurile (sin n′
k), (sin n′′
k ) ale lui (xn) au aceea¸si limit˘a, L; din cele de mai sus rezult˘a L ≥
√2
2 ,
respectiv L ≤ −
√2
2 – contradict¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2018 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.