Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Despre acest subiect
Clasa a XII-a
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia a V-a
11 mai 2019
Subiect la Matematic˘a - clasa a XII-a
Subiectul 1 Fie matricea A =
x 0 x
0 y 0
x 0 x
, unde x, y ∈ R.
i) S˘a se determine rangul lui A ˆın funct¸ie de valorile lui x ¸si y.
ii) S˘a se arate c˘a An =
2n−1xn 0 2n−1xn
0 yn 0
2n−1xn 0 2n−1xn
, pentru orice n ∈ N∗.
Subiectul 2 Pe mult¸imea G = (−2, 2) se define¸ste legea de compozit¸ie intern˘a dat˘a prin
x ∗ y = 4x + 4y
xy + 4 .
i) S˘a se arate c˘a (G, ∗) este grup abelian.
ii) S˘a se arate c˘a f : G → (0, ∞), f (x) = 2+x
2−x este izomorfism de la (G, ∗) la ((0, ∞), ·).
iii) S˘a se calculeze 1 ∗ 1
2 ∗ 1
3 ∗ · · · ∗ 1
2019 .
Subiectul 3 Se consider˘a funct¸ia f : D → R, f (x) = ln
( |x−2|
x
)
, unde D ⊆ R este domeniul maxim de
definit¸ie al lui f .
i) S˘a se determine mult¸imea D.
ii) S˘a se determine intervalele de monotonie ale lui f .
iii) S˘a se determine asimptotele funct¸iei f .
Subiectul 4 Fie f : R → R dat˘a de
f (x) =
{
sin(x) + cos(x) + 2, x ≤ 0
x2√x + 1 + α, x > 0 , α ∈ R.
i) S˘a se determine valorile lui α pentru care f admite primitive.
ii) Pentru α g˘asit la subpunctul anterior, s˘a se determine mult¸imea primitivelor lui f .
iii) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a funct¸iei f este strict cresc˘atoare.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.Barem · 2 pagini
Barem · pagina 1
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A Concursul FMI - Edit¸ia a V-a 11 mai 2019 Solut¸ii ¸si barem de corectare la Subiectul de Matematic˘a - clasa a XII-a Subiectul 1 Fie matricea A = x 0 x 0 y 0 x 0 x , unde x, y ∈ R. i) S˘a se determine rangul lui A ˆın funct¸ie de valorile lui x ¸si y. ii) S˘a se arate c˘a An = 2n−1xn 0 2n−1xn 0 yn 0 2n−1xn 0 2n−1xn , pentru orice n ∈ N∗. Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p i) Deoarece det(A) = 0, rang(A) ≤ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Dac˘a x 6 = 0 ¸si y 6 = 0, ∣ ∣ ∣ ∣x 0 0 y ∣ ∣ ∣ ∣ = xy 6 = 0, deci rang(A) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Dac˘a x = 0 ¸si y 6 = 0 sau x 6 = 0 ¸si y = 0, atunci rang(A) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Dac˘a x = y = 0, rang(A) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ii) Se arat˘a prin induct¸ie c˘a An = 2n−1xn 0 2n−1xn 0 yn 0 2n−1xn 0 2n−1xn , pentru orice n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p Subiectul 2 Pe mult¸imea G = (−2, 2) se define¸ste legea de compozit¸ie intern˘a dat˘a prin x ∗ y = 4x + 4y xy + 4 . i) S˘a se arate c˘a (G, ∗) este grup abelian. ii) S˘a se arate c˘a f : G → (0, ∞), f (x) = 2+x 2−x este izomorfism de la (G, ∗) la ((0, ∞), ·). iii) S˘a se calculeze 1 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ · · · ∗ 1 2019 . Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p i) Se verific˘a axiomele grupului abelian (asociativitatea ¸si comutativitatea operat¸iei ∗, existent¸a elemen- tului neutru e = 0, faptul c˘a orice element x este inversabil ¸si inversul s˘au este −x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p ii) Se verific˘a faptul c˘a f este morfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Se arat˘a c˘a f este funct¸ie bijectiv˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p iii) Se calculeaz˘a f (1 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ . . . ∗ 1 2019 ) = f (1)f ( 1 2 ) · . . . · f ( 1 2019 ) = 3 1 · 5 3 · . . . · 2·2019+1 2·2019−1 = 4039 . . . . . . 2p Prin urmare, 1 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ . . . ∗ 1 2019 = f −1(4039) = 2019 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Subiectul 3 Se consider˘a funct¸ia f : D → R f (x) = ln ( |x−2| x ) , unde D ⊆ R este domeniul maxim de definit¸ie al lui f . i) S˘a se determine mult¸imea D. ii) S˘a se determine intervalele de monotonie ale lui f .
Barem · pagina 2
iii) S˘a se determine asimptotele funct¸iei f .
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
i) Domeniul maxim de definit¸ie pentru f este D = (0, 2) ∪ (2, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
ii) Se obt¸ine prin calcul c˘a f ′(x) = 2
x(x−2) pentru orice x ∈ D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Rezult˘a c˘a f este descresc˘atoare pe (0, 2) ¸si cresc˘atoare pe (2, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
iii) Deoarece lim
x→∞ f (x) = 0, dreapta y = 0 este asimptot˘a orizontal˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Deoarece lim
x↘0 f (x) = ∞, dreapta x = 0 este asimptot˘a vertical˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
ˆIn sfˆar¸sit, ˆıntrucˆat lim
x↗2 f (x) = lim
x↘2 f (x) = −∞, dreapta x = 2 este asimptot˘a vertical˘a . . . . . . . . . . . . . . 1p
Subiectul 4 Fie f : R → R dat˘a de
f (x) =
{
sin(x) + cos(x) + 2, x ≤ 0
x2√x + 1 + α, x > 0 , α ∈ R.
i) S˘a se determine valorile lui α pentru care f admite primitive.
ii) Pentru α g˘asit la subpunctul anterior, s˘a se determine mult¸imea primitivelor lui f .
iii) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a funct¸iei f este strict cresc˘atoare.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
i) Se calculeaz˘a lim
x↗0 f (x) = 3, lim
x↘0 f (x) = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Funct¸ia f admite primitive dac˘a ¸si numai dac˘a α = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
ii) Se calculeaz˘a ∫ (sin(x) + cos(x) + 2)dx = − cos(x) + sin(x) + 2x + C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Folosind substitut¸ia t = √x + 1, sau integrˆand prin p˘art¸i, se obt¸ine ∫ x2√x + 1dx = 2
7
√(x + 1)7 −
4
5
√(x + 1)5 + 2
3
√(x + 1)3 + C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Primitivele funct¸iei f sunt de forma
F (x) =
{
− cos(x) + sin(x) + 2x + c1, x ≤ 0
2
7
√(x + 1)7 − 4
5
√(x + 1)5 + 2
3
√(x + 1)3 + 3x + c2, x > 0
Deoarece F trebuie s˘a fie continu˘a pe R, ¸si deci ¸si ˆın 0, rezult˘a c2 = c1 − 121
105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Pentru orice primitiv˘a F a funct¸iei f are loc F ′(x) = f (x) > 0, pentru orice x ∈ R, deci F este strict
cresc˘atoare pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Examen de admitere · 2019Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.