Pregătire cu un profesor

Glisează →

Subiect și barem

PDF

Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI

Subiect — acces directBarem — acces direct

Concurs de pregătire · Matematică · 2019

Facultatea de Informatică · UVT

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 1 pagină

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia a V-a
11 mai 2019
Subiect la Matematic˘a - clasa a XI-a
Subiectul 1 Pentru n ∈ {1, 2} calculat¸i limitele
lim
x→0
√1 + x + √1 − x − 2
xn .
Subiectul 2 Rezolvat¸i ˆın R ecuat¸ia ∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 4 16
3 9 81
x x2 x4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0.
Subiectul 3 Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = ex2
. S¸tiind c˘a limitele
lim
x→+∞
f (n)(x)
xn · f (x)
exist˘a ¸si sunt numere reale strict pozitive pentru orice n ∈ N∗, calculat¸i valorile acestor limite. (Cu f (n)
se noteaz˘a derivata de ordinul n a funct¸iei f .)
Subiectul 4 Se consider˘a matricea
A =


1 1 2
−2 3 6
−2 1 5

 .
(i) Pentru m ∈ N∗ calculat¸i det(Am) ¸si det(Am − I3).
(ii) Ar˘atat¸i c˘a are loc egalitatea
A3 − 9A2 + 23A − 15I3 = O3.
(iii) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice num˘ar natural n ∈ N∗ suma tuturor elementelor matricei An este egal˘a cu
3 · 5n.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.
Deschide documentul original
Barem · 2 pagini

Barem · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia a V-a
11 mai 2019
Solut¸ii ¸si barem de corectare la Matematic˘a - clasa a XI-a
Subiectul 1 Pentru n ∈ {1, 2} calculat¸i limitele
lim
x→0
√1 + x + √1 − x − 2
xn .
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Pentru n = 2:
lim
x→0
√1 + x + √1 − x − 2
x2 = lim
x→0
(√1 + x + √1 − x)2 − 4
x2 · (√1 + x + √1 − x + 2)
= 2 · lim
x→0
1
√1 + x + √1 − x + 2 · lim
x→0
√1 − x2 − 1
x2
= 1
2 · lim
x→0
−x2
x2 · (√1 − x2 + 1) = − 1
2 · lim
x→0
1
√1 − x2 + 1 =
(
− 1
2
)
· 1
2 = − 1
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5p)
Pentru n = 1:
lim
x→0
√1 + x + √1 − x − 2
x = lim
x→0
(
x ·
√1 + x + √1 − x − 2
x2
)
= 0 ·
(
− 1
4
)
= 0 (4p)
Subiectul 2 Rezolvat¸i ˆın R ecuat¸ia ∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 4 16
3 9 81
x x2 x4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Se calculeaz˘a determinantul din ecuat¸ie:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 4 16
3 9 81
x x2 x4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 6x(x3 − 19 x + 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p)
Deoarece din expresia determinantului se observ˘a c˘a acesta este nul pentru x = 2 (cˆat ¸si pentru x = 3)
se factorizeaz˘a expresia x3 − 19 x + 30 cu factorul x − 2:
x3 − 19 x + 30 = (x3 − 8) − 19x + 38 = (x − 2)(x2 + 2x + 4) − 19(x − 2) = (x − 2)(x2 + 2x − 15) =
(x − 2)(x − 3)(x + 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p)
Ecuat¸ia din enunt¸ este echivalent˘a cu 6x(x − 2)(x − 3)(x + 5) = 0 ¸si are solut¸iile {−5, 0, 2, 3}. . . . . (3p)
Subiectul 3 Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = ex2
. S¸tiind c˘a limitele
lim
x→+∞
f (n)(x)
xn · f (x)
exist˘a ¸si c˘a valorile lor sunt numere reale strict pozitive pentru orice n ∈ N∗, calculat¸i valorile acestor
limite. (Cu f (n) se noteaz˘a derivata de ordinul n a funct¸iei f .)

Barem · pagina 2

Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Not˘am lim
x→+∞
f (n)(x)
xn · f (x) = ln > 0; avem lim
x→+∞ xn · f (x) = +∞ ¸si
lim
x→+∞ f (n)(x) =
(
lim
x→+∞ xn · f (x)
)
·
(
lim
x→+∞
f (n)(x)
xn · f (x)
)
= (+∞) · ln = +∞,
prin urmare limitele din problem˘a sunt ˆın caz de nedeterminare ∞
∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Pentru n ≥ 1 arbitrar calcul˘am
lim
x→+∞
(f (n))′ (x)
(xn · f (x))′ = lim
x→+∞
f (n+1)(x)
nxn−1 · f (x) + xn · 2xf (x)
= lim
x→+∞
f (n+1)(x)
xn+1 · f (x) · 1
n
x2 + 2
= lim
x→+∞
f (n+1)(x)
xn+1 · f (x) · lim
x→+∞
1
n
x2 + 2 = ln+1 · 1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4p)
Rezult˘a, aplicˆand regula lui l’Hˆopital, c˘a avem ln = ln+1
2 ⇔ ln+1 = 2ln pentru orice n ≥ 1 . . . . . . . . . (2p)
Deoarece l1 = lim
x→+∞
f ′(x)
x · f (x) = lim
x→+∞
2xf (x)
xf (x) = 2 se obt¸ine c˘a ln = 2n pentru orice n ≥ 1 . . . . . . . (3p)
Not˘a. O alt˘a variant˘a de solut¸ie (care nu utilizeaz˘a ipoteza c˘a limitele din enunt¸ exist˘a ¸si sunt nu-
mere reale strict pozitive) se bazeaz˘a pe faptul c˘a pentru orice num˘ar natural n ≥ 1 exist˘a un polinom
Pn de grad cel mult egal cu n − 1 astfel ˆıncˆat f (n)(x) = f (x) · (2nxn + Pn(x)) pentru orice x ∈ R.
Demonstrat¸ia acestei afirmat¸ii se face prin induct¸ie dup˘a n ≥ 1, iar finalizarea solut¸iei urmeaz˘a imediat.
Subiectul 4 Se consider˘a matricea
A =

 1 1 2
−2 3 6
−2 1 5

 .
(i) Pentru m ∈ N∗ calculat¸i det(Am) ¸si det(Am − I3).
(ii) Ar˘atat¸i c˘a are loc egalitatea
A3 − 9A2 + 23A − 15I3 = O3.
(iii) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice num˘ar natural n ∈ N∗ suma tuturor elementelor matricei An este egal˘a cu
3 · 5n.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
(i) Se calculeaz˘a det A = 15 ¸si det(A − I3) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2p)
Rezult˘a det(Am) = (det A)m = 15m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
det(Am − I3) = det((A − I3)(Am−1 + · · · + A + I3)) = det(A − I3) · det(Am−1 + · · · + A + I3) = 0 (1p)
(ii) Se calculeaz˘a A2 =


−5 6 18
−20 13 44
−14 6 27

 ¸si A2 − 9A + 23I3 =


9 −3 0
−2 9 −10
4 −3 5

, apoi se arat˘a prin
calcul direct c˘a A(A2 − 9A + 23I3) = 15I3, egalitate echivalent˘a cu cea din cerint¸a problemei . . . . . (2p)
(iii) Se calculeaz˘a A3 =

 −53 31 116
−134 63 258
−80 31 143

; suma elementelor lui A este 15 = 3 · 5, cea a lui A2 este
75 = 3 · 52, cea a lui A3 este 375 = 3 · 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1p)
Din egalitatea de la (ii) se deduce c˘a An+3 = 9An+2 − 23An+1 + 15An pentru orice n ≥ 1; proprietatea
din problem˘a se demonstreaz˘a apoi prin induct¸ie dup˘a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2019Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.