Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Despre acest subiect
Clasa a XII-a
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia a IV-a
19 mai 2018
Subiect la Matematic˘a - clasa a XII-a
Subiectul. 1 Fie G =
{ 0
@ 1 a b
0 1 0
0 0 1
1
A : a, b ∈ R
}
⊂ M3(R).
i) Ar˘atat¸i c˘a ˆınmult¸irea matricilor p˘atratice de ordinul 3 este o lege de compozit¸ie pe G ¸si c˘a (G, ·)
este un grup abelian.
ii) Ar˘atat¸i c˘a aplicat¸ia f : (C, +) → (G, ·), f (z) =
0
@ 1 Rez Imz
0 1 0
0 0 1
1
A este un izomorfism de grupuri.
iii) Dac˘a A =
0
@ 1 2 4
0 1 0
0 0 1
1
A, determinat¸i suma S = I3 + A + A2 + A3 + . . . + A2018
Subiectul. 2 ˆIn R[X] consider˘am polinoamele
f = (X + 1)n − Xn−1 − 1,
g = X2 + 3X + 2,
h = X2 + X,
unde n ∈ N, n ≥ 3.
i) Dac˘a f = anXn + an−1Xn−1 + . . . + a1X + a0 este forma algebric˘a canonic˘a a polinomului f
calculat¸i a0 + a1 + . . . + an.
ii) Determinat¸i restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la polinomul g.
iii) Ar˘atat¸i c˘a polinomul h divide pe f dac˘a ¸si numai dac˘a n este par.
Subiectul. 3 Fie f : R → R, f (x) =
{ x2 + ax + b , x ≤ 0
sin x + 2 cos x , x > 0 . Determinat¸i constantele reale a ¸si b,
astfel ˆıncˆat funct¸ia f s˘a fie derivabil˘a pe R.
Subiectul. 4 Se consider˘a funct¸ia f :
[
0, π
2
]
→ R, f (x) = cos x.
i) S˘a se calculeze aria suprefet¸ei cuprinse ˆıntre graficul funct¸ie f ¸si axele de coordonate.
ii) S˘a se calculeze volumul corpului obt¸inut prin rotirea graficului funct¸iei f ˆın jurul axei Ox.
iii) S˘a se calculeze lim
n→∞
(
1 − f
( 1
√n
)) (
f
( 1
n
)
+ f
( 2
n
)
+ . . . + f
( n
n
))
.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI - Edit¸ia a IV-a
19 mai 2018
Solut¸ii ¸si barem de corectare la Subiectul de Matematic˘a - clasa a XII-a
Subiectul. 1 Fie G =
{ 0
@ 1 a b
0 1 0
0 0 1
1
A : a, b ∈ R
}
⊂ M3(R).
i) Ar˘atat¸i c˘a ˆınmult¸irea matricilor p˘atratice de ordinul 3 este o lege de compozit¸ie pe G ¸si c˘a (G, ·)
este un grup abelian.
ii) Ar˘atat¸i c˘a aplicat¸ia f : (C, +) → (G, ·), f (z) =
0
@ 1 Rez Imz
0 1 0
0 0 1
1
A este un izomorfism de grupuri.
iii) Dac˘a A =
0
@
1 2 4
0 1 0
0 0 1
1
A, determinat¸i suma S = I3 + A + A2 + A3 + . . . + A2018
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Notˆand A(a, b) =
0
@ 1 a b
0 1 0
0 0 1
1
A ∈ G, a, b ∈ R, se arat˘a c˘a A(a, b)A(c, d) = A(a + c, b + d) ∈ G . .(1p)
Se verific˘a axiomele grupului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
ii) Aplicat¸ia f : (C, +) → (G, ·), f (z) = A(Rez, Imz), z ∈ C este morfism de grupuri . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Se verific˘a bijectivitatea aplicat¸iei f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
iii) Se demonstreaz˘a (folosind izomorfismul de mai sus sau induct¸ia matematic˘a) c˘a,
An = (A(2, 4))n = A(2n, 4n), n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Se deduce c˘a S = I3 + A + A2 + A3 + . . . + A2018 =
0
@ 2019 2018 · 2019 2 · 2018 · 2019
0 2019 0
0 0 2019
1
A . . . . . . (2p)
Subiectul. 2 ˆIn R[X] consider˘am polinoamele
f = (X + 1)n − Xn−1 − 1,
g = X2 + 3X + 2,
h = X2 + X,
unde n ∈ N, n ≥ 3.
i) Dac˘a f = anXn + an−1Xn−1 + . . . + a1X + a0 este forma algebric˘a canonic˘a a polinomului f
calculat¸i a0 + a1 + . . . + an.
ii) Determinat¸i restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la polinomul g.
iii) Ar˘atat¸i c˘a polinomul h divide pe f dac˘a ¸si numai dac˘a n este par.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Avem c˘a a0 + a1 + . . . + an = f (1) = 2n − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2p)Barem · pagina 2
ii) Exist˘a a, b ∈ R astfel ca r = aX + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Avem f = q(X)(X2 + 3X + 2) + aX + b ¸si deci −a + b = f (−1), −2a + b = f (−2) . . . . . . . . . . . . . . . .(2p)
Se rezolv˘a sistemul
{ −a + b = (−1)n − 1
−2a + b = (−1)n + (−1)n2n−1 − 1 ¸si se obt¸ine
r = (−2)n−1X + (−1)n + (−2)n−1 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
iii) h = X(X + 1) ¸si cum polinoamele X ¸si X + 1 sunt relativ prime avem c˘a h divide f d.n.d X ¸si X + 1
divid pe f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Conform Teoremei lui B´ezout, se obt¸ine c˘a h divide f d.n.d. f (0) = f (−1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Cum f (0) = 0, iar f (−1) = (−1)n − 1 se obt¸ine c˘a h divide f d.n.d. n-par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Subiectul. 3 Fie f : R → R, f (x) =
{ x2 + ax + b , x ≤ 0
sin x + 2 cos x , x > 0 . Determinat¸i constantele reale a ¸si b,
astfel ˆıncˆat funct¸ia f s˘a fie derivabil˘a pe R.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Derivabilitatea pe R a funct¸ie f este echivalent˘a cu derivabilitatea sa ˆın x0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Condit¸ia de continuitate ˆın x0 = 0 arat˘a c˘a b = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p)
Condit¸ia de derivabilitate ˆın x0 = 0 arat˘a c˘a a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4p)
Subiectul. 4 Se consider˘a funct¸ia f :
[
0, π
2
]
→ R, f (x) = cos x.
i) S˘a se calculeze aria suprefet¸ei cuprinse ˆıntre graficyl funct¸ie f ¸si axele de coordonate.
ii) S˘a se calculeze volumul corpului obt¸inut prin rotirea graficului funct¸iei f ˆın jurul axei Ox.
iii) S˘a se calculeze lim
n→∞
(
1 − f ( 1
√n
))(
f ( 1
n ) + f ( 2
n ) + . . . + f ( n
n )
)
.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Af =
π
2∫
0
cos x dx = sin x
π
2
0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
ii) Vf = π
π
2∫
0
cos2 x dx = π
π
2∫
0
1 + cos 2x
2 dx = π
2
(x + sin 2x
2
) π
2
0
= π2
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
iii) Avem c˘a
(
1 − f ( 1
√n
))(
f ( 1
n ) + f ( 2
n ) + . . . + f ( n
n )
)
=
1 − f ( 1
√n
)
1
n
1
n
(
f ( 1
n ) + . . . + f ( n
n )
)
. . . . (1p)
Se calculeaz˘a lim
x→0
1 − cos x
x2 = 1
2 ¸si deci lim
n→∞
1−f
( 1
√n
)
1
n
= 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1p)
Observ˘a c˘a 1
n
(
f ( 1
n ) + . . . + f ( n
n )
)
= σ(g, dn, ξdn ), cu g : [0, 1] → R, g(x) = cos x, dn = {0, 1
n , 2
n , . . . , 1}
¸si ξdn = { 1
n , 2
n , . . . , 1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)Barem · pagina 3
Cum g este continu˘a ¸si ||dn|| = 1 n → 0, rezult˘a lim n→∞ σ(g, dn, ξdn ) = 1∫ 0 cos x dx = sin 1 . . . . . . . . . . . . . (2p) Se deduce lim n→∞ ( 1 − f ( 1 √n ))( f ( 1 n ) + f ( 2 n ) + . . . + f ( n n ) ) = sin 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2018 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.