Examen de admitere · Matematică · 2018

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2018
Subiect la Matematic˘a
Subiectul 1 Fie A =
( 2 1
−6 −3
)
∈ M2(R).
i) Ar˘atat¸i c˘a (I2 + A)2 = I2 + A.
ii) Determinat¸i num˘arul elementelor mult¸imii {An : n ∈ N∗}.
iii) Calculat¸i det(2018 I2 − A + A2 − A3 + : : : + A2018).
Subiectul 2 Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) =
8
<
:
3x + 1 ; x ≤ 1
a√3x2 + x + 2 ; x > 1
, unde a ∈ R.
i) Determinat¸i asimptotele la graficul funct¸iei f .
ii) Calculat¸i lim
x→∞
( f (x) − 2
x2 + 1
)x
.
iii) Determinat¸i a ∈ R astfel ˆıncˆat funct¸ia f s˘a fie continu˘a pe R.
Subiectul 3 Se consider˘a legea de compozit¸ie
(a; b) ⋆ (c; d) = (ac + 3bd; ad + bc); (a; b); (c; d) ∈ Z × Z
pe Z × Z ¸si submult¸imea lui Z × Z
H = {(a; b) ∈ Z × Z : a2 − 3b2 = 1}:
i) Determinat¸i valorile a ∈ Z pentru care (a; 15) ∈ H.
ii) Ar˘atat¸i c˘a H este parte stabil˘a a lui Z × Z fat¸˘a de legea de compozit¸ie ”⋆”.
iii) Demonstrat¸i c˘a (H; ⋆) este grup.
Subiectul 4 Calculat¸i
π∫
−π
xn cos x dx, pentru n ∈ {2; 3}.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.