Examen de admitere · Matematică · 2022

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2022
Subiect la Matematic˘a
Subiectul 1 Pentru t ∈ R consider˘am matricele
A(t) =
(1 − cos t − sin t
− sin t 1 + cos t
)
, B(t) =
(1 + cos t sin t
sin t 1 − cos t
)
.
i) Calculat¸i A(t)B(t), B(t)A(t) ¸si determinat¸i mult¸imea M = {t ∈ R : A(t) este inversabil˘a };
ii) Calculat¸i det
(
A(t)3 + B(t)3
)
;
iii) Ar˘atat¸i c˘a exist˘a ¸si determinat¸i r ∈ R astel ˆıncˆat A(t)2022 = r2021A(t) ¸si B(t)2022 = r2021B(t)
pentru orice t ∈ R.
Subiectul 2 Pe mult¸imea numerelor reale definim legea de compozit¸ie asociativ˘a
x ? y = xy − 5x − 5y + 30, x, y ∈ R.
i) Calculat¸i 2022 ? 5;
ii) Ar˘atat¸i c˘a mult¸imea M = [5, +∞) este parte stabil˘a a lui R fat¸˘a de legea ”?”;
iii) Rezolvat¸i ˆın R ecuat¸ia x ? x ? . . . ? x︸ ︷︷ ︸
2022 ori
= 6.
Subiectul 3 Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = ex − e · x.
i) Calculat¸i lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1 ;
ii) Determinat¸i imaginea funct¸iei f ;
iii) Ar˘atat¸i c˘a ex2−1 + ex−1 ≥ x2 + x, pentru orice x ∈ R.
Subiectul 4 Pentru n ∈ N not˘am In =
1∫
0
xn
4x2 + 1 dx.
i) Calculat¸i I0 ¸si I1;
ii) S˘a se arate c˘a 4In+2 + In = 1
n + 1 .
iii) Studiat¸i convergent¸a ¸sirului (nIn)n≥0 ¸si calculat¸i limita acestuia.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.