Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Subiectul și răspunsurile sunt în același PDF. Afișăm documentul complet, cu toate paginile.
Despre acest subiect
Clasa a XI-a, etapa 2
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect și barem · 3 pagini
Subiect și barem · pagina 1
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A Concursul FMI – Edit¸ia a VII-a Etapa 2 – 10 aprilie 2022 Solut¸ii ¸si barem de corectare la Subiectul de Matematic˘a – Clasa a XI-a Subiectul 1 Calculat¸i limitele: (a) lim x↘1 ln x · ln(ln x); (b) lim x→0 1 − cos x · √cos 2x x2 . Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Nedeterminare 0 · (−∞); lim x↘1 ln x · ln(ln x) y=lnx ====== lim y↘0(y · lny) = lim y↘0 lny 1 y L’H ===== lim y↘0 1 y − 1 y2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p 1 − cos x · √cos 2x x2 = 1 − cos x x2 + cos x · 1 − √cos 2x x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Se calculeaz˘a lim x→0 1 − cos x x2 = 1 2 ¸si lim x→0 1 − √cos 2x x2 = lim x→0 1 1 + √cos 2x · 1 − cos 2x x2 = 4 lim x→0 1 1 + √cos 2x · 1 − cos 2x (2x)2 = 4 · 1 2 · 1 2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p+2p Se obt¸ine valoarea limitei din enunt¸ 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Subiectul 2 Fie A, B ∈ M2(Q) astfel ˆıncˆat det(√2A + B) = det(A + √3B) = 0. Ar˘atat¸i c˘a det A = det B ¸si c˘a tr(AB) = trA · trB. Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Se obt¸in egalit˘at¸ile det(√2A + B) = 2 det A + det B + √2 (−tr(AB) + trA · trB) ¸si respectiv det(A + √3B) = det A + 3 det B + √3 (−tr(AB) + trA · trB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6p Din ipoteza A, B ∈ M2(Q) rezult˘a det A, det B, − tr(AB) + trA · trB ∈ Q ¸si apoi 2 det A + det B = det A + 3 det B = −tr(AB) + trA · trB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Subiectul 3 Fie D mult¸imea tuturor matricelor p˘atratice 2 × 2 care au elementele din [−2022, 2022] ∩ Z. Calculat¸i suma ∑ A∈D det(A − I2). Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Se arat˘a c˘a det(A − I2) = det A − trA + 1 pentru orice matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Se obt¸ine ∑ A∈D det(A − I2) = ∑ A∈D det A − ∑ A∈D trA + card D, unde card D este num˘arul de elemente al mult¸imii D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Subiect și barem · pagina 2
ˆIn suma ∑ A∈D det A se grupeaz˘a matricele care nu au coloanele identice cˆate dou˘a astfel: o matrice A ∈ D cu matricea din D obt¸inut˘a prin intervertirea coloanelor lui A; determinant¸ii corespunz˘atori au suma nul˘a; matricele care nu au ”pereche” ˆın aceast˘a modalitate de grupare au determinantul nul; se obt¸ine∑ A∈D det A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p ˆIn suma ∑ A∈D trA se grupeaz˘a o matrice A ∈ D cu matricea −A din D; aceste dou˘a matrice au suma urmelor nul˘a; singura matrice care nu are ”pereche” este matricea nul˘a, care are urma nul˘a; se obt¸ine∑ A∈D trA = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Avem card D = 40454 ¸si de aici rezult˘a ∑ A∈D det(A − I2) = 40454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Subiectul 4 (a) Pentru dou˘a funct¸ii indefinit derivabile u, v : R → R ar˘atat¸i c˘a (u · v)(n) = n∑ k=0 Ck n · u(k) · v(n−k) pentru orice num˘ar natural n ≥ 1. (Prin convent¸ie de notat¸ie avem u(0) = u, iar cu u(n) se noteaz˘a derivata de ordinul n a funct¸iei u.) (b) Fie a, b ∈ R ¸si funct¸iile f, g : R → R, f (x) = eax cos(bx), g(x) = eax sin(bx), ∀x ∈ R. Ar˘atat¸i c˘a ( f (n)(0) )2 + ( g(n)(0) )2 = (a2 + b2)n pentru orice num˘ar natural nenul n. Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p (a) Demonstrat¸ie prin induct¸ie dup˘a n; proprietatea pentru n = 1 este chiar regula de derivare a produsului dintre dou˘a funct¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p Presupunem proprietatea adev˘arat˘a pentru n; avem succesiv: (uv)(n+1) = ((uv)(n))′ = ( n∑ k=0 Ck n · u(k) · v(n−k) )′ = n∑ k=0 Ck n ( u(k+1) · v(n−k) + u(k) · v(n+1−k)) = n+1∑ k=1 Ck−1 n u(k) · v(n+1−k) + n∑ k=0 Ck nu(k) · v(n+1−k) = Cn+1 n+1 u(n+1) + ( n∑ k=1 (Ck−1 n + Ck n ) u(k) · v(n+1−k) ) + C0 n+1v(n+1) = Cn+1 n+1 u(n+1) + ( n∑ k=1 Ck n+1u(k) · v(n+1−k) ) + C0 n+1v(n+1) = n+1∑ k=0 Ck n+1 · u(k) · v(n+1−k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p (b) Se obt¸ine (eax)(n) = an · eax ¸si (cos(bx))(n) = bn cos(bx), n = 4p −bn sin(bx), n = 4p + 1 −bn cos(bx), n = 4p + 2 bn sin(bx), n = 4p + 3 ; (sin(bx))(n) = bn sin(bx), n = 4p bn cos(bx), n = 4p + 1 −bn sin(bx), n = 4p + 2 −bn cos(bx), n = 4p + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Utilizˆand formula din (a) rezult˘a f (n)(0) = C0 nan − C2 nan−2b2 + C4 nan−4b4 − . . . ; g(n)(0) = C1 nan−1b − C3 nan−3b3 + C5 nan−5b5 + . . .
Subiect și barem · pagina 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Se observ˘a c˘a are loc egalitatea de numere complexe f (n)(0) + ig(n)(0) = (a + ib)n ¸si c˘a prin trecere la modul se obt¸ine egalitatea (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Observat¸ie. Identitatea de la (a) este o bine-cunoscut˘a formul˘a a lui Leibniz. Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa 2Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XI-a, etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XII-a, etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XII-a, etapa 2Deschide fișa Examen de admitere · 2022Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.