Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia VII - 9 aprilie 2022
Solut¸ii Proba Matematic˘a, clasa a XI-a
Etapa 1
Variantele corecte sunt marcate cu culoare albastr˘a.
Solut¸iile problemelor sunt prezentate ˆın rezumat.
1. Funct¸ia f : [0, π
2
] → R, f (x) = (sin x)cos x + (cos x)sin x este derivabil˘a pe domeniul de definit¸ie.
Valoarea expresiei f ′
d(0) + f ′
s
( π
2
) este:
A. 1
B. 2
C. 0
D. √2
Solut¸ie: Se observ˘a c˘a f (x) = f ( π
2 − x). Derivˆand aceast˘a egalitate se obt¸ine f ′(x) = −f ′ ( π
2 − x), de
unde rezult˘a c˘a valoarea expresiei din enunt¸ este 0.
2. Valoarea limitei lim
x↘0
(1 − sin x
x
) · ln x este:
A. 1
B. 0
C. −∞
D. 1
6
Solut¸ie: lim
x↘0
(1 − sin x
x
) · ln x = lim
x↘0
x−sin x
x3 · (ln x · x2). Dar lim
x→0
x−sin x
x3 = 1
6 ¸si lim
x↘0 ln x · x2 x= 1
y
=
lim
y→+∞ − ln y
y2 = 0.
3. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) =
{ x2 · sin 1
x , x 6 = 0
0, x = 0. Limita lim
x→0 f ′(x):
A. este egal˘a cu 0
B. nu exist˘a
C. este egal˘a cu 1
D. este egal˘a cu +∞
1

Subiect și barem · pagina 2

Solut¸ie: Avem f ′(x) = 2x sin 1
x − cos 1
x pentru orice x 6 = 0. Limita primului termen pentru x → 0 exist˘a
¸si este nul˘a (produs dintre o funct¸ie cu limita nul˘a ¸si o funct¸ie m˘arginit˘a), iar limita celui de-al doilea
termen nu exist˘a (¸sirurile xn = 1
2nπ ¸si yn = 1
π
2 +2nπ , n ≥ 1 au limita nul˘a, dar cos 1
xn → 1 ¸si cos 1
yn → 0).
Funct¸ia din enunt¸ constituie un exemplu c˘a reciproca unei consecint¸e a teoremei de medie a lui Lagrange
(folosit˘a pentru calculul derivatei unei funct¸ii ˆıntr-un punct ca limit˘a a derivatei) nu este valabil˘a ˆın
general.
4. Suma elementelor matricei A−1, unde
A =




1 3 3 1
1 2 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0



 ,
este egal˘a cu:
A. 0
B. 1
C. -1
D. 4
Solut¸ie: Determinantul matricei A este 1; cu formula inversei se obt¸ine
A−1 =




0 0 0 1
0 0 1 −1
0 1 −2 1
1 −3 3 −1



 ,
care are suma elementelor egal˘a cu 1.
Matricele de aceast˘a form˘a se numesc matrice de tip Pascal (elementele nenule din matrice fiind linii de
coeficient¸i binomiali din triunghiul lui Pascal), iar inversa acestora se poate obt¸ine ¸si din observat¸ia c˘a




1 3 3 1
1 2 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0



 ·




1
x
x2
x3



 =




(x + 1)3
(x + 1)2
x + 1
1



 ,
echivalent˘a cu 



1
x
x2
x3



 = A−1 ·




(x + 1)3
(x + 1)2
x + 1
1



 ,
urmat˘a de egalit˘at¸i de forma x3 = ((x + 1) − 1)3 = (x + 1)3 − 3(x + 1)2 + 3(x + 1) − 1, etc.
2

Subiect și barem · pagina 3

5. Fie a, b, c ∈ C distincte. Dac˘a (x0, y0, z0) este solut¸ia sistemului



x + ay + a2z = a3
x + by + b2z = b3
x + cy + c2z = c3,
atunci x0 + y0 + z0 este egal cu:
A. (a − 1)(b − 1)(c − 1)
B. (a − 1)(b − 1)(c − 1) + 1
C. (a − 1)(b − 1)(c − 1) − 1
D. (a − 1)(b − 1)(c − 1) + 2
Solut¸ie: Determinantul matricei sistemului (de tip Vandermonde) este nenul; cu formulele lui Cramer se
obt¸ine solut¸ia sistemului: x0 = abc, y0 = −(ab + bc + ca), z0 = a + b + c, de unde rezult˘a x0 + y0 + z0 =
(a − 1)(b − 1)(c − 1) + 1.
O idee alternativ˘a de rezolvare a sistemului este urm˘atoarea: din ecuat¸iile sistemului rezulta c˘a a, b, c
sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei de gradul trei t3 − z0t2 − y0t − x0 = 0, de unde se obt¸ine, cu relat¸iile lui Vi`ete,
c˘a x0 = abc, y0 = −(ab + bc + ca), z0 = a + b + c.
6. Cˆat¸i dintre determinant¸ii matricelor
An =







0 0 . . . 0 1
0 0 . . . 1 1
... ... . . . ... ...
0 1 . . . 1 1
1 1 . . . 1 1







∈ Mn×n(R), n ∈ {2, 3, . . . , 2022}
sunt strict pozitivi?
A. 2021
B. 0
C. 1010
D. 1011
Solut¸ie: Din definit¸ia determinatului rezult˘a c˘a det An este egal cu signatura permut˘arii
( 1 2 . . . n
n n − 1 . . . 1
)
,
care are n(n−1)
2 inversiuni. Aceast˘a signatur˘a este egal˘a cu 1 dac˘a ¸si numai dac˘a n este de forma 4k sau
4k + 1, k ∈ N∗.
7. Fie l1 limita ¸sirului (sin(π√n2 + 1))n≥0 ¸si l2 = lim
x→+∞ f (x), unde f : R → R, f (x) = sin(π√x2 + 1).
Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a?
3

Subiect și barem · pagina 4

A. Ambele limite exist˘a ¸si sunt nule.
B. Niciuna dintre limite nu exist˘a.
C. l1 = 0 ¸si l2 nu exist˘a.
D. l2 = 0 ¸si l1 nu exist˘a.
Solut¸ie: l1 = lim
n→∞

sin(π√n2 + 1) − sin(πn)
︸ ︷︷ ︸
=0

 = lim
n→∞ 2 sin π
2(n + √n2 + 1)
︸ ︷︷ ︸
lim=0
· cos π(√n2 + 1 + n)
2︸ ︷︷ ︸
¸sir m˘arginit
= 0
Dac˘a presupunem c˘a limita l2 exist˘a, atunci, urmˆand un calcul asem˘an˘ator cu cel anterior, ar rezulta
c˘a exist˘a ¸si limita lim
x→+∞ sin(πx), fals (¸sirurile xn = n ¸si yn = 2n + 1
2 , n ≥ 0 au ambele limita +∞, dar
sin(πxn) → 0 ¸si sin(πyn) → 1).
8. Limita lim
x→+∞
x2+sin2 x
x2+cos2 x :
A. nu exist˘a
B. este egal˘a cu 1
C. este egal˘a cu 0
D. este egal˘a cu +∞
Solut¸ie: lim
x→+∞
x2+sin2 x
x2+cos2 x = lim
x→+∞
1 + 1
x2 sin2 x
1 + 1
x2 cos2 x = 1, deoarece limitele funct¸iilor 1
x2 sin2 x, 1
x2 cos2 x sunt
nule pentru x → +∞ (produse dintre o funct¸ie cu limita nul˘a ¸si o funct¸ie m˘arginit˘a).
9. Limita lim
x→+∞
2022 + cos √x2 + 1
2022 + cos x :
A. nu exist˘a
B. este egal˘a cu 2022
2023
C. este egal˘a cu 1
D. este egal˘a cu 2023
2022
Solut¸ie: Avem
2022 + cos √x2 + 1
2022 + cos x − 1 = cos √x2 + 1 − cos x
2022 + cos x
= −2 · sin √x2+1−x
2 sin √x2+1+x
2
2022 + cos x .
4

Subiect și barem · pagina 5

Funct¸ia −2 · sin √x2+1+x
2
2022 + cos x este m˘arginit˘a, iar funct¸ia sin
√x2 + 1 − x
2 = sin 1
2(√x2 + 1 + x) are limit˘a
nul˘a pentru x → +∞, de unde rezult˘a c˘a limita din enunt¸ este egal˘a cu 1.
10. ˆIn M2×2(Z) ecuat¸ia matriceal˘a X2 =
( 1984 1985
1983 1986
)
:
A. are dou˘a solut¸ii
B. are patru solut¸ii
C. nu are solut¸ii
D. are o infinitate de solut¸ii
Solut¸ie: Dac˘a matricea X =
( a b
c d
)
este solut¸ie a ecuat¸iei, atunci a2 + bc = 1984, b(a + d) =
1985, c(a + d) = 1983, bc + d2 = 1986. Rezult˘a succesiv c˘a b, c, a + d sunt numere ˆıntregi impare, dar
pe de alt˘a parte ¸si a, d sunt numere impare – contradict¸ie. Deci, ecuat¸ia matriceal˘a din enunt¸ nu are
solut¸ii ˆın M2×2(Z).
11. Limita lim
x→+∞
[x3 + 3x]
[x]3 + 3[x] este egal˘a cu:
A. 1
B. 0
C. 1
4
D. 2
Solut¸ie: Pentru orice x > 1 au loc inegalit˘at¸ile:
(x3 + 3x) − 1
x3 + 3x < [x3 + 3x]
[x]3 + 3[x] < x3 + 3x
(x − 1)3 + 3(x − 1) ,
iar apoi se aplic˘a teorema cle¸stelui pentru limite de funct¸ii.
12. Limita ¸sirului
an = 1
n ·
(√ 1
n +
√ 2
n + · · · +
√ n
n
)
, n ≥ 1 :
A. este egal˘a cu 0
B. nu exist˘a
C. este egal˘a cu 2
3
D. este egal˘a cu 1
5

Subiect și barem · pagina 6

Solut¸ie: Avem an =
√1+√2+···+√n
n√n . Aplic˘am Lema Cesaro–Stolz ¸si din
lim
n→∞
√n + 1
(n + 1)√n + 1 − n√n = lim
n→∞
√n + 1 · ((n + 1)√n + 1 + n√n)
3n2 + 3n + 1 = 2
3
rezult˘a concluzia.
13. ˆIn M2×2(R) ecuat¸ia matriceal˘a X2 =
( 1984 1985
1983 1986
)
:
A. are dou˘a solut¸ii
B. are patru solut¸ii
C. nu are solut¸ii
D. are o infinitate de solut¸ii
Solut¸ie: Trecˆand la determinant ˆın ecuat¸ie se obt¸ine det X = ±63. Din egalitatea (tr X)2 = tr(X2) +
2 det X = 3970 + 2 det X (care rezult˘a din relat¸ia Cayley–Hamilton) se obt¸in cˆate dou˘a valori reale
nenule trX pentru fiecare valoare posibil˘a a lui det X (±62 ¸si ±64). Rezult˘a, ˆın total, patru solut¸ii din
M2×2(R) pentru ecuat¸ia matriceal˘a din enunt¸ul problemei (acestea se pot obt¸ine explicit prin calcule
elementare, utilizˆand din nou identitatea Cayley–Hamilton).
14. Limita ¸sirului
xn = cos 1 + cos 2 + · · · + cos n
n , n ≥ 1 :
A. este egal˘a cu 0
B. este egal˘a cu 1
C. nu exist˘a
D. este egal˘a cu -1
Solut¸ie: Avem
sin 1
2 (cos 1 + · · · + cos n) = 1
2
((
sin 3
2 − sin 1
2
)
+
(
sin 5
2 − sin 3
2
)
+ · · · +
(
sin 2n + 1
2 − sin 2n − 1
2
))
= 1
2
(
sin 2n + 1
2 − sin 1
2
)
,
de unde rezult˘a c˘a ¸sirul (cos 1 + cos 2 + · · · + cos n)n≥1 este m˘arginit, iar limita din enunt¸ este nul˘a.
O tentativ˘a de aplicare a lemei Cesaro-Stolz nu s-ar dovedi fructuoas˘a, deoarece
an+1 − an
bn+1 − bn
= cos(n + 1)
(n + 1) − n = cos(n + 1),
6

Subiect și barem · pagina 7

iar ¸sirul (cos(n + 1))n≥0 nu are limit˘a. (Demonstrat¸i ca exercit¸iu acest fapt.)
15. Fie matricea nenul˘a A ∈ M2×2(C) astfel ˆıncˆat A5 = O2. Atunci:
A. A2 = O2
B. det (A + I2) = 0
C. det (A − I2) = 0
D. det A > 0
Solut¸ie: Trecˆand la determinant ˆın ipotez˘a rezult˘a det A = 0. Dac˘a presupunem c˘a t not
= tr A 6 = 0,
atunci din relat¸ia Cayley-Hamilton A2 = tA rezult˘a succesiv A5 = t4A 6 = O2, contradict¸ie cu ipoteza.
Deci, t = 0; se obt¸ine c˘a A2 = O2.
16. ˆIn mult¸imea S4 ecuat¸ia
x4 =
( 1 2 3 4
4 2 3 1
)
:
A. nu are solut¸ii
B. are o singur˘a solut¸ie
C. are dou˘a solut¸ii
D. are cel put¸in trei solut¸ii
Solut¸ie: Permutarea
( 1 2 3 4
4 2 3 1
)
este o transpozit¸ie, deci este impar˘a. Pe de alt˘a parte, ε(x4) =
(ε(x))4 = 1. Rezult˘a c˘a ecuat¸ia din enunt¸ nu are solut¸ii.
17. Valoarea limitei lim
x→+∞
(cos π
x
)x este:
A. 0
B. 1
C. e
D. e−1
Solut¸ie: Avem o nedeterminare de tip 1∞. Obt¸inem
(
cos π
x
)x
=



(
1 +
(
cos π
x − 1
)) 1
cos π
x − 1



cos π
x − 1
1
x
.
7

Subiect și barem · pagina 8

ˆIn plus,
lim
x→+∞
cos π
x − 1
1
x
L′H
= lim
x→+∞
(
− sin π
x
)
= 0,
de unde rezult˘a c˘a valoarea limitei din enunt¸ este e0 = 1.
18. Pentru orice n ≥ 2 ecuat¸ia xn + nx = 1 are o unic˘a solut¸ie pozitiv˘a xn. Limita lim
n→∞ xn este:
A. 0
B. 1
C. 1
3
D. 1
2
Solut¸ie: Funct¸iile fn : [0, ∞), fn(x) = xn + nx − 1 sunt continue; avem fn(0) = −1 < 0 ¸si fn
( 1
n
) = 1
nn >
0, de unde rezult˘a c˘a xn ∈ (0, 1
n
) ¸si din teorema cle¸stelui se obt¸ine lim
n→∞ xn = 0.
19. S¸irul xn = [sin n] , n ≥ 0 :
A. este convergent
B. este monoton
C. are cel put¸in un sub¸sir convergent
D. are cel put¸in un termen egal cu 1
Solut¸ie: Intervalele deschise (2nπ, 2nπ + π
2
), n ≥ 0, sunt de lungime π
2 > 1, deci cont¸in cel put¸in cˆate
un num˘ar natural. Rezult˘a c˘a exist˘a un sub¸sir al lui N pentru care valoarea sinusului este din intervalul
(0, 1); ¸sirul (xn) are un sub¸sir cu tot¸i termenii nuli, a¸sadar (xn)n≥0 are un sub¸sir convergent.
20. Fie funct¸ia f : [0, 1] → R,
f (x) =
{
x sin π
x , dac˘a x ∈ (0, 1]
0, dac˘a x = 0.
S˘a se precizeze care dintre afirmat¸iile urm˘atoare este adev˘arat˘a.
A. f este continu˘a pe [0, 1]
B. f este discontinu˘a ˆın punctul x = 0
C. f nu admite limit˘a ˆın punctul x = 0
D. f are limit˘a nenul˘a ˆın punctul x = 0
Solut¸ie: Funct¸ia f este continu˘a pe (0, 1] ¸si avem ˆın plus f (0) = 0 = lim
x↘0 f (x) (produs dintre o funct¸ie
cu limita nul˘a ¸si o funct¸ie m˘arginit˘a); a¸sadar, f este continu˘a pe [0, 1].
8

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa 2Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XI-a, etapa 2Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XII-a, etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XII-a, etapa 2Deschide fișa Examen de admitere · 2022Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2022

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect și barem · pagina 1