Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI - Edit¸ia a VII-a
Etapa II - 10 aprilile 2022
Solut¸ii ¸si barem de corectare la Subiectul de Matematic˘a - clasa a XII-a
Subiectul 1 Fie f : R → R o funct¸ie bijectiv˘a cu f (2022) = 0 ¸si legea de compozit¸ie
x ? y = f (f −1(x) + f −1(y) − 2022), ∀x, y ∈ R.
Ar˘atat¸i c˘a (R, ?) este un grup comutativ.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Se arat˘a c˘a legea de compozit¸ie este comutativ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Se arat˘a c˘a legea de compozitie este asociativ˘a:
(x ? y) ? z = f (f −1(x) + f −1(y) + f −1(z) − 4044) = x ? (y ? z), ∀x, y, z ∈ R.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
e ∈ R este element neutru dac˘a x ? e = e ? x = x, ∀x ∈ R. Datorit˘a comutativit˘at¸ii, este suficient s˘a se
determine e ∈ R astfel ˆıncˆat x ? e = x, ∀x ∈ R sau echivalent f (f −1(x) + f −1(e) − 2022) = x, ∀x ∈ R.
ˆIn consecint¸˘a f −1(e) = 2022 ¸si cum f (2022) = 0 se obt¸ine e = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Se arat˘a c˘a pentru fiecare x ∈ R exist˘a ˜x ∈ R astfel ˆıncˆat x ? ˜x = ˜x ? x = 0. Datorit˘a comutativit˘at¸ii,
este suficient s˘a se arate c˘a pentru fiecare x ∈ R exist˘a ˜x ∈ R astfel ˆıncˆat x ? ˜x = 0 sau echivalent
f (f −1(x) + f −1(˜x) − 2022) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Din f (f −1(x) + f −1(˜x) − 2022) = 0 ¸si f −1(0) = 2022 se obt¸ine f −1(˜x) = 4044 − f −1(x) ¸si astfel
˜x = f (4044 − f −1(x)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Subiectul 2 Calculat¸i urm˘atoarele limite:
(a)
lim
n→∞
n
√∫ 1
0
(
1 + xn
n
)n
dx,
(b)
lim
n→∞
n
√
√
√
√ n∑
k=0
Ck
n
nk(1 + kn) .
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Notˆand In =
∫ 1
0
(
1 + xn
n
)n
dx, n ≥ 1 ¸si folosind integrarea prin p˘art¸i se obt¸ine:
In =
∫ 1
0
x′
(
1 + xn
n
)n
dx = x
(
1 + xn
n
)n
|1
0 −
∫ 1
0
nxn
(
1 + xn
n
)n−1
dx
=
(
1 + 1
n
)n
− n2
∫ 1
0
xn
n
(
1 + xn
n
)n−1
dx
=
(
1 + 1
n
)n
− n2
∫ 1
0
[(
1 + xn
n
)
− 1
] (
1 + xn
n
)n−1
dx
=
(
1 + 1
n
)n
− n2In + n2
∫ 1
0
(
1 + xn
n
)n−1
dx ≥
(
1 + 1
n
)n
− n2In.

Subiect și barem · pagina 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Din relat¸iile de mai sus se deduce inegalitatea:
n
√In ≥
1 + 1
n
n
√n2 + 1 , ∀n ≥ 2. (1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Din relat¸iile In =
∫ 1
0
(
1 + xn
n
)n
dx ≤
∫ 1
0
(
1 + 1
n
)n
dx =
(
1 + 1
n
)n
, ∀n ≥ 1 se obt¸ine:
n
√In ≤ 1 + 1
n , ∀n ≥ 2. (2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Din (1) ¸si (2) se deduce dubla inegalitate:
1 + 1
n
n
√n2 + 1 ≤ n
√In ≤ 1 + 1
n , ∀n ≥ 2,
¸si astfel lim
n→∞
n
√In = lim
n→∞
n
√∫ 1
0
(
1 + xn
n
)n
dx = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(b) Utilizˆand binomul lui Newton obt¸inem pentru n ≥ 1:
In =
∫ 1
0
(
1 + xn
n
)n
dx =
∫ 1
0
n∑
k=0
Ck
n · xkn
nk dx =
n∑
k=0
Ck
n
nk
∫ 1
0
xkn dx =
n∑
k=0
Ck
n
nk(1 + kn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Astfel se deduce:
lim
n→∞
n
√
√
√
√ n∑
k=0
Ck
n
nk(1 + kn) = lim
n→∞
n
√In = 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Subiectul 3 ˆIn grupul (G, ·), al c˘arui element unitate este e ∈ G, se consider˘a elementele x, y ∈ G. S˘a
se verifice urm˘atoarele afirmat¸ii:
a. x3 = e ¸si y4 = x · y · x−1, atunci y63 = e
b. fie m, n ∈ N∗, astfel ˆıncˆat xn = e ¸si ym = x · y · x−1. Atunci ymn−1 = e
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
a) Se rescrie relat¸ia y63 = e ⇐⇒ y64 = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5p
Se calculeaz˘a puterile lui y4 :
y8 = x · y2 · x−1; y16 = x2 · y · x−2; y32 = x2 · y2 · x−2; y64 = x2 · y4 · x−2 = x3 · y · x−3 = y; . . . . . . . . . 2p
Deoarece x3 = x−3 = e rezult˘a y64 = y ¸si deci y63 = e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
b) Se rescrie relat¸ia ymn−1 = e ⇐⇒ ymn
= y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5p
Se calculeaz˘a puterile lui ym :
y2·m = x · y2 · x−1; y3·m = x · y3 · x−1; ... ; ym2
= x · ym · x−1 = x2 · y · x−2; ...; ym3
= x3 · y · x−3; ...;
ymn
= xn · y · x−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
Deoarece xn = x−n = e rezult˘a ymn
= y ⇒ ymn−1 = e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Subiect și barem · pagina 3

Subiectul 4 Se consider˘a funct¸ia f : R → R,
f (x) =



ax
x + 1 − √x2 + 1 , x < 0
x + x5 − b
x − 1 , x ∈ [0, 1)
c
x2 · √x2 + 3 , x ≥ 1
S˘a se determine constantele a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat funct¸ia f s˘a fie primitivabil˘a pe R ¸si pentru aceste
valori s˘a se calculeze mult¸imea primitivelor acesteia.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Funct¸ia f este continu˘a pe R \ {0, 1}. Se calculeaz˘a limitele laterale ˆın x0 = 0
lim
x↗0 f (x) = lim
x↗0
a
2 · (x + 1 + √x2 + 1) = a,
iar
lim
x↘0 f (x) = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Se calculeaz˘a limitele laterale ˆın x1 = 1
lim
x↗1 f (x) = lim
x↗1
x − 1 + x5 − 1 + 2 − b
x − 1 =



−∞ , b < 2
6 , b = 2
+∞ , b > 2
¸si lim
x↘1 f (x) = c
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Dac˘a f este primitivabil˘a atunci aceasta nu are discontinuit˘at¸i de spet¸a 1 ¸si nici una din limitele laterale
(dac˘a exist˘a) nu este infinit˘a. Rezult˘a c˘a a = b = 2 ¸si c = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5p
Se calculeaz˘a primitiva funct¸iei f :
Pe intervalul (−∞, 0) avem:
∫ 2 · x
x + 1 − √x2 + 1 dx =
∫
x + 1 + √x2 + 1 dx = x
2 · (2 + x + √x2 + 1) + 1
2 ln(x + √x2 + 1) + C 1.5p
Pe intervalul [0, 1) avem:
∫ x + x5 − 2
x − 1 dx =
∫
(2 + x + x2 + x3 + x4) dx = 2 · x + x2
2 + x3
3 + x4
4 + x5
5 + C . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5p
Pe intervalul [1, ∞) avem:
∫ 12
x2 · √x2 + 3 dx = −4 ·
√x2 + 3
x + C, (se poate face schimbarea de variabil˘a x = 1
t ) . . . . . . . . . . . . 1.5p
Dac˘a F : R → R este o primitiv˘a a funct¸ie f atunci exist˘a constantele c1, c2, c3 ∈ R astfel ˆıncˆat:
F (x) =



x
2 · (2 + x + √x2 + 1) + 1
2 ln(x + √x2 + 1) + c1 , x < 0
2 · x + x2
2 + x3
3 + x4
4 + x5
5 + c2 , x ∈ [0, 1)
−4 · √x2+3
x + c3 , x ≥ 1
Din condit¸ia de continuitate a primitivei se obt¸in relat¸iile ˆıntre constante: c1 = c2 ¸si c3 = c2 + 677
60
Notˆand c2 = c ∈ R obt¸inem:

Subiect și barem · pagina 4

F (x) =



x
2 · (2 + x + √x2 + 1) + 1
2 ln(x + √x2 + 1) + c , x < 0
2 · x + x2
2 + x3
3 + x4
4 + x5
5 + c , x ∈ [0, 1)
−4 · √x2+3
x + 677
60 + c , x ≥ 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa 2Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XI-a, etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XI-a, etapa 2Deschide fișa Concurs de pregătire · 2022Matematică · Clasa a XII-a, etapa 1Deschide fișa Examen de admitere · 2022Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2022

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect și barem · pagina 1

Subiect și barem · pagina 2

Subiect și barem · pagina 3

Subiect și barem · pagina 4

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?