Pregătire cu un profesor

Glisează →

Subiect și barem

PDF

Sursa: Facultatea de Informatică UVT – arhiva admiterii

Subiect — acces direct

Acest subiect nu are un barem public asociat.

Examen de admitere · Matematică · 2017

Facultatea de Informatică · UVT

Înapoi la arhivă

Subiectul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 4 pagini

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2017
Subiect la Matematic˘a
Subiectul. 1 Fie A =
0
@ 0 1 0
0 0 1
1 0 0
1
A, iar I3 =
0
@ 1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A.
i) Calculat¸i A2, A3 ¸si I3 + A + A2.
ii) Determinat¸i suma S = I3 + A + A2 + A3 + . . . + A2017
iii) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a X 2 M3(C) atunci AX = XA dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a x, y, z 2 C astfel ˆıncˆat
X =
0
@ x y z
z x y
y z x
1
A.
iv) Dac˘a ε este una din solut¸iile ecuat¸iei x2 +x+1 = 0, iar B = I3 +εA+ε2A2, ar˘atat¸i c˘a Bn = 3n1B,
pentru orice n 2 N.
Subiectul. 2 Pentru a 2 R definim pe R legile de compozit¸ie
x  y = x + y + a
x ⊙ y = xy + a(x + y) + a2  a
i) Ar˘atat¸i c˘a, pentru orice a 2 R, ecuat¸ia x  x = x ⊙ x are dou˘a solut¸ii reale distincte.
ii) Aflat¸i structura generat˘a pe R de aceste dou˘a legi de compozit¸ie.
Subiectul. 3 Se consider˘a funct¸ia f : (0, 1) ! R, f (x) = ln x
x .
i) Determinat¸i asimptotele la graficul funct¸ie f .
ii) Demonstrat¸i c˘a f (x)  1
e , pentru orice x 2 (0, 1).
iii) Comparat¸i numerele eπ ¸si πe.
iv) Determinat¸i intervalele de convexitate, respectiv concavitate, ale funct¸iei f .
v) Calculat¸i
e∫
1
f (x) dx.
Subiectul. 4 Se consider˘a funct¸iile f, F : R ! R, f (x) = xex ¸si F (x) = (x  1)ex.
i) S˘a se verifice c˘a F este o primitiv˘a a funct¸ie f .
ii) S˘a se calculeze aria suprafet¸ei plane determinate de graficul funct¸ie f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ie
x = 1 ¸si x = 1.
iii) S˘a se demonstreze c˘a
x∫
1
f (t)f ′′(t)  (f ′(t))2
f 2(t) dt = x + 1
x  2, pentru orice x > 1.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.

Subiect · pagina 2

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2017
Solut¸ii ¸si barem de corectare la Matematic˘a
Subiectul. 1 Fie A =
0
@
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1
A, iar I3 =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A.
i) Calculat¸i A2, A3 ¸si I3 + A + A2.
ii) Determinat¸i suma S = I3 + A + A2 + A3 + . . . + A2017
iii) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a X 2 M3(C) atunci AX = XA dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a x, y, z 2 C astfel ˆıncˆat
X =
0
@ x y z
z x y
y z x
1
A.
iv) Dac˘a ε este una din solut¸iile ecuat¸iei x2 +x+1 = 0, iar B = I3 +εA+ε2A2, ar˘atat¸i c˘a Bn = 3n1B,
pentru orice n 2 N.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Calculeaza corect A2 =
0
@ 0 0 1
1 0 0
0 1 0
1
A, A3 = I3 si I2 + A + A2 =
0
@ 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
A, . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
ii) Justi ca faptul ca A3n = I3, pentru orice n 2 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Obtine S = I3 + A + A2 671∑
k=0
A3k(I3 + A + A2) = I3 + A + 672A2(I3 + A + A2) = I3 + A + 672(I3 + A + A2)
= 673(I3 + A + A2)  A2 =
0
@ 673 673 672
672 673 673
673 672 673
1
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1p)
iii) Arata ca toate matricile de forma X =
0
@ x y z
z x y
y z x
1
A comuta cu A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Lu^and X =
0
@ x y z
a b c
u v t
1
A 2 M3(C), din AX = XA deduce ca b = t = x, c = u = y si a = v = z . (2p)
iv) Justi ca ε3 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Calculeaza si obtine B2 = 3B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Demonstreaza inductiv ca Bn = 3n1B, pentru orice n 2 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Subiectul. 2 Pentru a 2 R definim pe R legile de compozit¸ie
x  y = x + y + a
x ⊙ y = xy + a(x + y) + a2  a
i) Ar˘atat¸i c˘a, pentru orice a 2 R, ecuat¸ia x  x = x ⊙ x are dou˘a solut¸ii reale distincte.
ii) Aflat¸i structura generat˘a pe R de aceste dou˘a legi de compozit¸ie.

Subiect · pagina 3

Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Ecuatia x  x = x ⊙ x este echivalenta cu x2 + 2(a  1)x + a2  2a = 0 si are ∆ = 4 > 0, deci solutiile
reale distincte (x1 = a, x2 = 2  a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
ii) Observam ca pentru a = 0 cele doua legi de compozitie devin adunarea si ^nmultirea numerelor reale,
prin urmare (R, , ⊙) este corp comutativ
Pentru orice a 2 R, arbitrar xat, avem:
- legea "" este asociativa, comutativa, admite element neutru pe "a" si orice element din R este
simetrizabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p)
- legea "⊙" este asociativa , comutativa, are element neutru "1  a" si orice element din R diferit de
"a" este simetrizabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p)
- legea "⊙" este distribitiva fata de legea "" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Prin urmare (R, , ⊙) este un corp comutativ, pentru orice a 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Obs: Eventualul raspuns "(R, , ⊙) este inel comutativ" se puncteaza analog.
Subiectul. 3 Se consider˘a funct¸ia f : (0, 1) ! R, f (x) = ln x
x .
i) Determinat¸i asimptotele la graficul funct¸ie f .
ii) Demonstrat¸i c˘a f (x)  1
e , pentru orice x 2 (0, 1).
iii) Comparat¸i numerele eπ ¸si πe.
iv) Determinat¸i intervalele de convexitate, respectiv concavitate, ale funct¸iei f .
v) Calculat¸i
e∫
1
f (x) dx.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Avem lim
x↘0
ln x
x = 1, deci dreapta Oy este asimptota verticala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5p)
Cum lim
x!1
ln x
x = 0, rezulta ca Ox este asimptota orizontala spre +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5p)
ii) Avem f ′(x) = 1  ln x
x2 , pentru orice x 2 (0, 1) si deci f ′(x) > 0, pentru orice x 2 (0, e), iar f ′(x) < 0,
pentru orice x 2 (e, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Rezulta ca x = e este punct de maxim global pentru functia f si, prin urmare, f (x)  f (e) = 1
e , pentru
orice x 2 (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
iii) Fie x1 = e si x2 = π. Cum x1, x2 2 [e, 1) cu x1 < x2, din monotonia functie f , rezulta ca f (e) > f (π)
sau ln e
e > ln π
π , ceea ce este echivalent cu eπ > πe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
iv) Avem f ′′(x) = 2 ln x  3
x3 , de unde obtinem ca functia f este concava pe intervalul (0, e3/2] si convexa
pe intervalul [e3/2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
v)
e∫
1
ln x
x dx =
e∫
1
ln x( ln x)′ dx = 1
2 ln2 x e
1
= 1
2 (1  0) = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)

Subiect · pagina 4

Subiectul. 4 Se consider˘a funct¸iile f, F : R ! R, f (x) = xex ¸si F (x) = (x  1)ex.
i) S˘a se verifice c˘a F este o primitiv˘a a funct¸ie f .
ii) S˘a se calculeze aria suprafet¸ei plane determinate de graficul funct¸ie f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ie
x = 1 ¸si x = 1.
iii) S˘a se demonstreze c˘a
x∫
1
f (t)f ′′(t)  (f ′(t))2
f 2(t) dt = x + 1
x  2, pentru orice x > 1.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Calculeaza F ′ si observa ca F ′ = f pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
ii) A =
1∫
1
jf (x)j dx = 
0∫
1
f (x) dx +
1∫
0
f (x) dx = F (1)  2F (0) + F (1) = 2
(
1  1
e
)
. . . . . . . . . . . . . (3p)
iii) Observa f (t)f ′′(t)  (f ′(t))2
f 2(t) =
( f ′
f
)′
(t), pentru orice t  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Cu formula Leibnitz-Newton se obtine ca
x∫
1
f (t)f ′′(t)  (f ′(t))2
f 2(t) dt = f ′(t)
f (t)
x
1 = x + 1
x  2 . . . . . . . . (3p)
Not˘a: Orice alta varianta de rezolvare corecta se puncteaza corespunzator.
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.