Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Despre acest subiect
Clasa a XI-a
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a – 6 mai 2017 Proba scris˘a la Matematic˘a Clasa a XI-a 1. Se consider˘a matricea A = 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 . Calculat¸i urm˘atoarele matrice: (a) A2, A3, A4 ¸si A5; (b) A + A2 + ... + A2017. 2. Fie a, b, c ∈ R, a 6 = 0 ¸si b 6 = 0. (a) Ar˘atat¸i c˘a ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a b b b b a b a b ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −(a − b)2 · (a + 2b); (b) Discutat¸i compatibilitatea ¸si determinat¸i solut¸iile sistemului de ecuat¸ii ax + by + bz = c bx + by + az = c bx + ay + bz = c. 3. S¸tiind c˘a lim x→0 x − sin x x3 = 1 6 calculat¸i valorile urm˘atoarelor limite: (a) lim x→0 x2 − sin2 x x4 ; (b) lim x→0 x3 − sin3 x x5 ; (c) lim x→0 x − arcsin x x3 . 4. Fie a > 0, b > 0 numere reale distincte. Se consider˘a ¸sirul (xn)n≥0 definit prin x0 = a, x1 = b ¸si xn+2 = 1 + xn+1 xn , (∀) n ≥ 0. (a) Determinat¸i primii ¸sapte termeni ai ¸sirului. (b) Studiat¸i m˘arginirea, monotonia ¸si convergent¸a ¸sirului (xn). (c) Determinat¸i al 20172017-lea termen al ¸sirului.
Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a 6 mai 2017 Clasa a XI-a – Barem de rezolvare 1. Se consider˘a matricea A = 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 . Calculat¸i urm˘atoarele matrice: (a) A2, A3, A4 ¸si A5; (b) A + A2 + ... + A2017. Solut¸ie ¸si barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p (a) Se acord˘a un punct pentru fiecare matrice calculat˘a corect. A2 = −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 , A3 = 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 , A4 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 , A5 = 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p (b) Verific˘a relat¸ia A + A2 + A3 + A4 = O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Verific˘a faptul c˘a 2017 are restul 1 la imp˘art¸irea cu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Arat˘a c˘a A + A2 + ... + A2016 = O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Deduce A + A2 + ... + A2017 = A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2. Fie a, b, c ∈ R, a 6 = 0 ¸si b 6 = 0 . (a) Ar˘atat¸i c˘a ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a b b b b a b a b ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −(a − b)2 · (a + 2b); (b) Discutat¸i compatibilitatea ¸si determinat¸i solut¸iile sistemului de ecuat¸ii ax + by + bz = c bx + by + az = c bx + ay + bz = c. Solut¸ie ¸si barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p (a) Calculeaz˘a determinantul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p (b) Dac˘a determinantul matricei este nenul se obt¸ine sistem compatibil determinat cu solut¸ia x = y = z = c a + 2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p Pentru a = b se obt¸ine sistem compatibil nedeterminat cu solut¸ia x = c − a(α + β) a , y = α, z = β, α, β ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Barem · pagina 2
Pentru a = −2b ¸si c = 0 se obt¸ine sistem compatibil nedeterminat cu solut¸ia x = y = z = α, α ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Pentru a = −2b ¸si c 6 = 0 se obt¸ine sistem incompatibil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 3. S¸tiind c˘a lim x→0 x − sin x x3 = 1 6 calculat¸i valorile urm˘atoarelor limite: (a) lim x→0 x2 − sin2 x x4 ; (b) lim x→0 x3 − sin3 x x5 ; (c) lim x→0 x − arcsin x x3 . Solut¸ie ¸si barem: Observat¸ie. Pentru orice solut¸ie corect˘a a problemei sau a unui subpunct care utilizeaz˘a regula lui L’Hˆospital se acord˘a punctajul maxim. Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p (a) lim x→0 x2 − sin2 x x4 = lim x→0 x − sin x x3 · x + sin x x = lim x→0 x − sin x x3 · lim x→0 ( 1 + sin x x ) = 1 6 · (1 + 1) = 1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p (b) lim x→0 x3 − sin3 x x5 = lim x→0 x − sin x x3 · x2 + x · sin x + sin2 x x2 = lim x→0 x − sin x x3 · lim x→0 ( 1 + sin x x + ( sin x x )2) = 1 6 · (1 + 1 + 12) = 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p (c) Se face substitut¸ia x = sin y. Se obt¸ine: lim x→0 x − arcsin x x3 = lim y→0 sin y − arcsin(sin y) sin3 y = − lim y→0 y − sin y y3 · lim y→0 1 ( sin y y )3 = − 1 6 · 1 13 = − 1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p 4. Fie a > 0, b > 0 numere reale distincte. Se consider˘a ¸sirul (xn)n≥0 definit prin x0 = a, x1 = b ¸si xn+2 = 1 + xn+1 xn , (∀) n ≥ 0. (a) Determinat¸i primii ¸sapte termeni ai ¸sirului.
Barem · pagina 3
(b) Studiat¸i m˘arginirea, monotonia ¸si convergent¸a ¸sirului (xn).
(c) Determinat¸i al 20172017-lea termen al ¸sirului.
Solut¸ie ¸si barem:
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Prin calcul direct se obt¸ine x2 = b+1
a , x3 = a+b+1
ab , x4 = a+1
b , x5 = a ¸si x6 = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5p
Observat¸ie. Se acord˘a cˆate 0.5 puncte pentru fiecare calcul corect al valorilor x2, x3, x4, x5, x6.
(b) Se observ˘a c˘a ¸sirul este periodic de perioad˘a 5, adic˘a xn+5 = xn, (∀)n ≥ 0. Rezult˘a c˘a mult¸imea va-
lorilor termenilor acestui ¸sir este M = {x0, x1, x2, x3, x4} = {a, b, b+1
a , a+b+1
ab , a+1
b
} ¸si de aici min M ≤ xn ≤
max M, (∀)n ≥ 0, ceea ce implic˘a m˘arginirea ¸sirului (xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5p
S¸irul nu este convergent, deoarece, de exemplu, sub¸sirurile sale (x5n)n≥0 ¸si (x5n+1)n≥0 sunt ¸siruri constante
care au limitele distincte a, respectiv b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
S¸irul nu este monoton; dac˘a presupunem contrariul ar rezulta, din m˘arginirea acestuia, c˘a este convergent –
contradict¸ie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Observat¸ie. O alt˘a variant˘a pentru abordarea monotoniei ¸sirului se poate baza, de exemplu, pe faptul c˘a semnele
diferent¸elor x0 − x1 = a − b ¸si x1 − x5 = b − a sunt contrare.
(c) Ultima cifr˘a a num˘arului 20172017 este 7. Rezult˘a c˘a restul ˆımp˘art¸irii lui 20172017 la 5 este 2, iar res-
tul ˆımp˘art¸irii lui 20172017 − 1 la 5 este 1. Din periodicitatea ¸sirului (xn) se obt¸ine c˘a al 20172017-lea termen al
¸sirului este x20172017−1 = x1 = b (¸si x20172017 = x2 = b+1
a ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Observat¸ie. Se puncteaz˘a cu 3 puncte oricare dintre variantele x20172017−1 ¸si x20172017 .Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.