Pregătire cu un profesor

Universitatea de Vest din Timi¸soara
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a – 6 mai 2017
Proba scris˘a la Matematic˘a
Clasa a XII-a
1. S˘a se calculeze: 2∫
0
max(ln(1 + x2), 1)dx.
2. Notˆand cu x1, x2, x3 r˘ad˘acinile polinomului
f = 2X3 + X + 7 ,
construit¸i un polinom cu coeficient¸i ˆıntregi g, de gradul al treilea, avˆand r˘ad˘acinile
y1 = 1 + x2 + x3 , y2 = 1 + x3 + x1 , y3 = 1 + x1 + x2 .
3. S˘a se calculeze:
lim
x→∞ 2xe−x2
x∫
0
et2
dt.
4. (a) Demonstrat¸i c˘a dac˘a u ¸si v sunt numere reale cu |u|, |v| < 1, atunci
∣
∣
∣
∣
u + v
uv + 1
∣
∣
∣
∣ < 1 .
(b) Pe mult¸imea G = (0, 2) se consider˘a legea de compozit¸ie definit˘a astfel:
x ∗ y = xy
xy − x − y + 2 ∀x, y ∈ G .
Demonstrat¸i c˘a (G, ∗) este un grup comutativ.
(c) Verificat¸i c˘a funct¸ia
f : G → (0, ∞) , f (x) = 2
x − 1 ∀x ∈ G
este un izomorfism de la grupul (G, ∗) la grupul (R∗
+, ·).
(d) Dat¸i un exemplu de izomorfism de la grupul (R, +) la grupul (G, ∗).

Deschide documentul original

Barem · 2 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea de Vest din Timi¸soara
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a – 6 mai 2017
Barem - proba scris˘a la Matematic˘a
Clasa a XII-a
1. Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
Studiem semnul funct¸iei f : R → R, f (x) = ln(1 + x2) − 1.
f ′(x) = 2x
1 + x2 ; f ′(x) = 0 ⇔ x = 0; f (x) = 0 ⇔ x = ±√e − 1
x −√e − 1 0 √e − 1 2
f ′(x) - - - 0 + + + +
f (x) ↘ 0 ↘ -1 ↗ 0 ↗
Deci max(ln(1 + x2), 1) =
{
1, pentru x ∈ [0, √e − 1]
ln(1 + x2), pentru x ∈ [√e − 1, 2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p.
2∫
0
max(ln(1 + x2), 1)dx =
√e−1∫
0
1dx +
2∫
√e−1
ln(1 + x2)dx = √e − 1+
+
2∫
√e−1
ln(1 + x2)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p.
= 2 ln 5 − 4 + 2arctg2 + 2√e − 1 − 2arctg√e − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p.
2. Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
x1 + x2 + x3 = 0 , x2x2 + x2x3 + x3x1 = 1/2 , x1x2x3 = −7/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
y1 = 1 − x1 , y2 = 1 − x2 , y3 = 1 − x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p.
y1 + y2 + y3 = 3 − (x1 + x2 + x3) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
y1y2 + y2y3 + y3y1 = 3 − 2(x1 + x2 + x3) + x1x2 + x2x3 + x3x1 = 7/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
y1y2y3 = 1 − (x1 + x2 + x3) + x1x2 + x2x3 + x3x1 − x1x2x3 = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
Polinomul g = Y 3 − 3Y 2 + 7/2Y − 5 are r˘ad˘acinile y1, y2, y3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p.
Polinomul h = 2g = 2Y 3 − 6Y 2 + 7Y − 10 satisface toate condit¸iile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
3. Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
Deoarece ex > x, ∀x ≥ 0, rezult˘a et2
> t2, prin urmare lim
x→∞
x∫
0
et2
dt = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p.
Aplic˘am teorema lui l’Hospital:
lim
x→∞
2x
x∫
0
et2
dt
ex2 = 2 lim
x→∞
x∫
0
et2
dt + xex2
2xex2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3p.
= 1 + lim
x→∞
x∫
0
et2
dt
xex2 = 1 + lim
x→∞
ex2
ex2 + 2x2ex2 = 1 + lim
x→∞
1
1 + 2x2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p.
4. Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.

Barem · pagina 2

Dac˘a |u|, |v| < 1, atunci uv + 1 > 0, (u + 1)(v + 1) > 0 ¸si
(u − 1)(v − 1) > 0 , de unde rezult˘a
∣
∣
∣ u+v
uv+1
∣
∣
∣ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
Notˆand x = u + 1, y = v + 1, din subpunctul precedent rezult˘a
x ∗ y ∈ G ∀x, y ∈ G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p.
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ∀x, y, z ∈ G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
x ∗ y = y ∗ x ∀x, y ∈ G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
1 este element neutru pentru legea ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
Orice element x ∈ G admite simetricul x′ = 2 − x ∈ G fat¸˘a de legea ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
Funct¸ia f este bijectiv˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p.
Funct¸ia f este morfism de grupuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.
Alegem h = f −1 ◦ g, unde g(y) = ey ∀y ∈ R este un izomorfism de grupuri de la (R, +) la (R∗
+, ·), adic˘a
h : R → G , h(y) = 2
ey +1 ∀y ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2017

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?