Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
NOT ˘A IMPORTANT ˘A:
1) Problemele tip gril˘a (Partea A) pot avea unul sau mai multe r˘aspunsuri corecte.
Acestea trebuie indicate de candidat pe foaia de concurs. Obt¸inerea punctajului aferent
problemei este condit¸ionat˘a de identificarea tuturor variantelor de r˘aspuns corecte ¸si
numai a acelora.
2) Pentru problemele din Partea B se cer rezolv˘ari complete pe foaia de concurs.
Acestea sunt evaluate ˆın detaliu conform baremului.
PARTEA A
1. (5 puncte) Funct¸ia f : R → R, f (x) = −4x2 + 20x − 25 are:
A un maxim strict mai mic ca 0; B un minim negativ; C un maxim egal cu 0; D un minim egal cu 0;
E un maxim strict mai mare ca 0.
2. (5 puncte) Consider˘am funct¸ia f : R → R, f (x) = 2x
1 + x2 , ∀x ∈ R.
A funct¸ia f admite o asimptot˘a oblic˘a; B funct¸ia f admite asimptot˘a orizontal˘a atˆat spre +∞
cˆat ¸si spre −∞; C funct¸ia f nu are nici o asimptot˘a vertical˘a; D −1 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R; E f este o
funct¸ie monoton˘a pe R.
3. (5 puncte) Dac˘a a, b ∈ R, atunci num˘arul complex a + bi este nenul dac˘a ¸si numai dac˘a:
A a · b 6 = 0; B a2 + b2 6 = 0; C numerele a ¸si b nu sunt simultan nule; D a = b 6 = 0; E a, b ∈ R \ {0}.
4. (5 puncte) Dac˘a sin α + sin β = a ¸si cos α + cos β = b, atunci
A cos α − β
2 = ± 1
2
√a2 + b2; B cos α − β
2 = ±√a2 − b2; C cos α − β
2 = ±
√ 4 − a2 − b2
a2 + b2 ;
D cos (α − β) = a2 + b2 − 2
2 ; E cos (α + β) = a2 + b2 − 2.
5. (5 puncte) Valoarea limitei lim
n→∞
(1 + sin 2
n
)n
A nu exist˘a; B este e
2 ; C este e2; D este √e; E este 2e.
6. (5 puncte) Se consider˘a punctele A(0, 0), B(21, 0), C(0, 21). Cˆate puncte cu ambele coordonate
ˆıntregi sunt ˆın interiorul triunghiului ABC?
A 242; B 190; C 231; D 210; E 284.
PARTEA B
1. Fie G = {A ∈ M2(R) | det A 6 = 0} ¸si H =
{ ( 1 a
0 1
)∣
∣
∣
∣ a ∈ R
}
. Ar˘atat¸i c˘a:
a) (4 puncte) G este parte stabil˘a a lui M2(R) ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor;
b) (5 puncte) (G, ·) este grup (unde cu · s-a notat operat¸ia indus˘a de ˆınmult¸irea matricelor
pe G);
c) (8 puncte) (H, ·) este un subgrup al lui (G, ·) ¸si este izomorf cu grupul aditiv (R, +) al
numerelor reale.
d) (8 puncte) Fie A =
( 1 a
0 1
)
∈ H ¸si n ∈ Z un num˘ar ˆıntreg. S˘a se calculeze An.

Subiect · pagina 2

2. a) (5 puncte) Fie ABC un triunghi oarecare. Demonstrat¸i c˘a pentru orice punct M din
planul triunghiului avem relat¸ia
−−→
AB · −−→
CM + −→
AC · −−→
M B + −−→
AM · −−→
BC = 0.
b) (10 puncte) Rezolvat¸i ecuat¸ia
4sin 2x + 43−sin 2x = 65, x ∈ R.
3. Consider˘am funct¸ia f : R → R definit˘a prin relat¸ia
f (x) =
{ −x2, x < 1
x − 2, x ≥ 1
a) (6 puncte) Determinat¸i punctele de extrem local ale funct¸iei f.
b) (7 puncte) Determinat¸i primitivele funct¸iei f.
c) (7 puncte) Calculat¸i
2∫
0
f (x) dx.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Subiect · pagina 3

BAREM DE CORECTARE
PARTEA A
1. C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
2. B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
3. B, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
4. A, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
5. C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
6. B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
PARTEA B
1. a) A, B ∈ G ⇔ det A 6 = 0 6 = det B ⇒ det(AB) = det A · det B 6 = 0
⇒ AB ∈ G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
b) S¸tiind c˘a ˆınmult¸irea matricelor e asociativ˘a, din proprietatea precedent˘a rezult˘a
∀A, B, C ∈ G ⊆ M2(R), (A · B) · C = A · (B · C) (ˆın G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Cum I2 =
( 1 0
0 1
)
are determinantul 1, se deduce c˘a I2 ∈ G ¸si este element unitate ˆın (G, ·) . . . 2 p
Pentru orice A ∈ G, det A 6 = 0, deci exist˘a A−1 ¸si 1 = det I2 = det A · det(A−1) ⇒ det(A−1) 6 = 0,
prin urmare exist˘a A−1 ∈ G astfel ˆıncˆat A · A−1 = A−1 · A = I2, ceea ce completeaz˘a demonstrat¸ia
faptului c˘a G este grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c) Cum
∣
∣
∣
∣ 1 a
0 1
∣
∣
∣
∣ = 1, ∀a ∈ R, H este o submult¸ime nevid˘a a lui G (I2 ∈ H), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
care este parte stabil˘a ˆın raport cu · deoarece
∀a, b ∈ R,
( 1 a
0 1
)
·
( 1 b
0 1
)
=
( 1 a + b
0 1
)
∈ H (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
¸si pentru orice a ∈ R inversa matricei
( 1 a
0 1
)
este
( 1 −a
0 1
)
∈ H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Funct¸ia f : R → H, f (a) =
( 1 a
0 1
)
este, conform (1), morfism de la (R, +) la (H, ·) . . . . . . . . . . . 2 p
Scriind definit¸iile injectivit˘at¸ii ¸si surjectivit˘at¸ii, rezult˘a imediat c˘a f este bijectiv˘a . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
d) Intuirea faptului c˘a An =
( 1 na
0 1
)
, ∀n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Demonstrat¸ia prin induct¸ie a faptului c˘a An =
( 1 na
0 1
)
, ∀n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
Dac˘a m ∈ N∗ atunci A−m = (A−1)m =
( 1 m(−a)
0 1
)
=
( 1 (−m)a
0 1
)
, ceea ce completeaz˘a
demonstrat¸ia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
2. a) (5 puncte)
(i) Descompunerea lui −−→
CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(ii) Descompunerea lui −−→
M B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(iii) Descompunerea lui −−→
BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(iv) ˆInlocuirea ˆın formul˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(v) Efectuarea calculelor ¸si rezultatul final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. b) (10 puncte)
(i) Notat¸ia 4sin 2x = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(ii) Deducerea ecuat¸iei de gradul al doilea ˆın expresia cerut˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Subiect · pagina 4

(iii) Rezolvarea ecuat¸iei de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(iv) Eliminarea solut¸iei t = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(v) Solut¸ia final˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
3. a) (6 puncte)
(i) Determinarea punctului x1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(ii) Demonstrarea faptului c˘a x1 este maxim local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(iii) Studiul punctului x2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
3. b) (7 puncte)
(i) Determinarea primitivelor pe intervalele (−∞, 1) ¸si (1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
(ii) Determinarea relat¸iei ˆıntre cele dou˘a constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(iii) Forma final˘a a primitivelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
3. c) (7 puncte)
(i) Calculul valorilor F (0) ¸si F (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
(ii) Folosirea formulei Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(iii) Rezultatul final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
NOT ˘A: Orice alt˘a solut¸ie corect˘a va fi punctat˘a corespunz˘ator.

Subiect · pagina 5

R˘aspunsuri ¸si solut¸ii
PARTEA A
1. C; 2. B, C, D; 3. B, C; 4. A, D; 5. C; 6. B.
PARTEA B
1. a) A, B ∈ G, deci det A 6 = 0 6 = det B ¸si astfel det(AB) = det A · det B 6 = 0. ˆIn consecint¸˘a AB ∈ G.
b) S¸tiind c˘a ˆınmult¸irea matricelor e asociativ˘a, din proprietatea deja demonstrat˘a rezult˘a
∀A, B, C ∈ G ⊆ M2(R), (A · B) · C = A · (B · C) (ˆın G). Cum I2 =
( 1 0
0 1
)
are determinantul
1, se deduce c˘a I2 ∈ G. Astfel I2 este element unitate ¸si ˆın (G, ·). Pentru orice A ∈ G, din faptul c˘a
det A 6 = 0 rezult˘a c˘a exist˘a A−1, iar din relat¸ia 1 = det I2 = det A · det(A−1) deducem det(A−1) 6 = 0,
prin urmare A−1 ∈ G ¸si A · A−1 = A−1 · A = I2, deci (G, ·) este grup.
c) Cum
∣
∣
∣
∣ 1 a
0 1
∣
∣
∣
∣ = 1, ∀a ∈ R, H este o submult¸ime nevid˘a a lui G (I2 ∈ H). Pe de alt˘a parte
∀a, b ∈ R,
( 1 a
0 1
)
·
( 1 b
0 1
)
=
( 1 a + b
0 1
)
∈ H, deci H este parte stabil˘a ˆın raport cu operat¸ia
” · ”. Pentru orice a ∈ R inversa matricei
( 1 a
0 1
)
este
( 1 −a
0 1
)
∈ H, deci H este un subgrup
al grupului (G, ·). Mai mult funct¸ia f : R → H, f (a) =
( 1 a
0 1
)
este morfism de la (R, +) la (H, ·)
deoarece
∀a, b ∈ R,
( 1 a
0 1
)
·
( 1 b
0 1
)
=
( 1 a + b
0 1
)
. (1)
f este injectiv˘a ¸si surjectiv˘a, deci f este o biject¸ie. Astfel (R, +) este izomorf cu (H, ·).
d) Demonstr˘am prin metoda induct¸iei matematice c˘a
An =
( 1 na
0 1
)
, ∀n ∈ N∗.
Pentru n = 1 proprietatea este adev˘arat˘a. Dac˘a m ∈ N∗ ¸si Am =
( 1 ma
0 1
)
, atunci
Am+1 = Am · A =
( 1 ma
0 1
)
·
( 1 a
0 1
)
=
( 1 (m + 1)a
0 1
)
,
deci relat¸ia este adev˘arat˘a ¸si pentru m + 1. Astfel pe baza principiului induct¸iei matematice relat¸ia
este adev˘arat˘a pentru orice n ∈ N∗. Dac˘a m ∈ N∗, atunci
A−m = (A−1)m =
( 1 m(−a)
0 1
)
=
( 1 (−m)a
0 1
)
.
Pentru m = 0 avem A0 = I2, deci
An =
( 1 na
0 1
)
, ∀n ∈ Z. (2)
Observat¸ie: O alt˘a abordare pentru c) ¸si d) ar putea fi: funct¸ia F : R → G, F (a) =
( 1 a
0 1
)
este,
conform (1), morfism injectiv de la (R, +) la (G, ·) ¸si F (R) = H. Rezult˘a c˘a H e subgrup ˆın G, c˘a
(R, +) ' (H, ·) ¸si c˘a F (na) = [F (a)]n, pentru orice n ∈ Z, adic˘a are loc (2).

Subiect · pagina 6

2. a) Avem:
−−→
CM = −−→
AM − −→
AC,
−−→
M B = −−→
AB − −−→
AM ,
−−→
BC = −→
AC − −−→
AB,
prin urmare
S = −−→
AB · −−→
CM + −→
AC · −−→
M B + −−→
AM · −−→
BC = −−→
AB ·
(−−→
AM − −→
AC
)
+
+ −→
AC ·
(−−→
AB − −−→
AM
)
+ −−→
AM ·
(−→
AC − −−→
AB
)
.
Dup˘a desfacerea parantezelor ¸si folosirea comutativit˘at¸ii produsului scalar obt¸inem S = 0.
b) Cu notat¸ia
t = 4sin 2x
ecuat¸ia devine
t + 64
t = 65
sau
t2 − 65t + 64 = 0.
R˘ad˘acinile acestei ecuat¸ii sunt 1 = 40 ¸si 64 = 43.
Suntem, astfel, condu¸si la solut¸iile
sin 2x = 3
care nu convine (deoarece sin 2x ≤ 1), ¸si
sin 2x = 0,
care admite solut¸iile x ∈
{ kπ
2
∣
∣
∣
∣ k ∈ Z
}
.
3. a) Pe intervalul (−∞, 1) funct¸ia este f (x) = −x2, deci pe acest interval f ′(x) = −2x. Astfel din
ecuat¸ia f ′(x) = 0 deducem x1 = 0 ¸si din semnul derivatei (f ′(x) > 0 pentru x < 0 ¸si f ′(x) < 0
pentru 0 < x < 1) rezult˘a c˘a x1 = 0 este un punct de extrem local pentru f. f fiind derivabil˘a pe
(−∞, 1) ¸si ecuat¸ia f ′(x) = 0 neavˆand alte solut¸ii, x1 este singurul punct de extrem local al funct¸iei
situat ˆın intervalul (−∞, 1). Pe intervalul (1, ∞) funct¸ia este strict cresc˘atoare (fiind de gradul unu ¸si
avˆand coeficientul termenului dominant pozitiv), deci pe acest interval nu are puncte de extrem local.
R˘amˆane de studiat punctul x2 = 1 ˆın care funct¸ia nu este derivabil˘a. f (1) = −1 ¸si pentru x ∈ (−1, 1)
−x2 > −1, deci
f (x) > f (1), ∀x ∈ (−1, 1).
Pe de alt˘a parte dac˘a x ≥ 1, atunci x − 2 ≥ −1, deci
f (x) ≥ f (1), ∀x ∈ [1, ∞).
Astfel
f (x) ≥ f (1), ∀x ∈ (−1, ∞),
adic˘a x2 este punct de minim local.
b) Folosind consecint¸ele teoremei lui Lagrange pe intervalele (−∞, 1) ¸si (1, ∞), orice primitiv˘a
F : R → R a lui f are forma
F (x) =
{
− x3
3 + c1, x < 1
x2
2 − 2x + c2, x > 1
F fiind derivabil˘a este ¸si continu˘a, deci
F (1) = − 1
3 + c1 = − 3
2 + c2.

Subiect · pagina 7

Astfel primitivele lui f au forma
F (x) = C +
{
− x3
3 , x < 1
x2
2 − 2x + 7
6 , x ≥ 1 .
c) Folosim formula Newton-Leibniz:
2∫
0
f (x) dx = F (2) − F (0) = 2 − 4 + 7
6 − 0 = − 5
6 .
Observat¸ie: Integrala poate fi calculat˘a ¸si f˘ar˘a forma exact˘a a primitivei dac˘a o descompunem ˆın
dou˘a: 2∫
0
f (x) dx =
1∫
0
f (x) dx +
2∫
1
f (x) dx.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Model de pregătire · 2018Informatică · Model oficial 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2018 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2018

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1