Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
CONCURS DE ADMITERE, 12 septembrie 2018
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
NOT ˘A IMPORTANT ˘A:
1) Problemele tip gril˘a (Partea A) pot avea unul sau mai multe r˘aspunsuri corecte.
Acestea trebuie indicate de candidat pe foaia de concurs. Obt¸inerea punctajului aferent
problemei este condit¸ionat˘a de identificarea tuturor variantelor de r˘aspuns corecte ¸si
numai a acelora.
2) Pentru problemele din Partea B se cer rezolv˘ari complete pe foaia de concurs.
Acestea sunt evaluate ˆın detaliu conform baremului.
PARTEA A
1. (5 puncte) Intersect¸ia cu axa Ox a graficului funct¸iei
f : R → R, f (x) =
{ 2x2
− 4, dac˘a x < 2
x − 2, dac˘a x ≥ 2
A este mult¸imea vid˘a; B este o mult¸ime cu un element; C este o mult¸ime cu dou˘a elemente;
D este o mult¸ime cu trei elemente; E este o mult¸ime cu patru elemente.
2. (5 puncte) Consider˘am tripletul (R, +, ·), unde R este mult¸imea numerelor reale ¸si +, · sunt
operat¸iile uzuale de adunare ¸si ˆınmult¸ire. Stabilit¸i care dintre afirmat¸iile de mai jos sunt adev˘arate:
A (R, +, ·) este un grup; B (R, +, ·) este un inel; C (R, +, ·) este un corp; D (R, +, ·) este un inel
care nu este corp; E (R, +, ·) nu este inel.
3. (5 puncte) Valoarea limitei lim
x→0
ln(1 + sin2 x)
x · tg(2x) este
A −∞; B 1
2 ; C 2; D +∞; E 0.
4. (5 puncte) ˆIntr-un reper cartezian xOy, se consider˘a un triunghi echilateral OAB de latur˘a `
astfel ˆıncˆat vˆarful A s˘a apart¸in˘a dreptei de ecuat¸ie x − √3y = 0. Coordonatele vˆarfului B pot fi:
A (0, `); B
(
`√3
2 , − `
2
)
; C (0, −`); D
(
− `√3
2 , `
2
)
; E
(
− `√3
2 , − `
2
)
.
5. (5 puncte) Dac˘a cos β este media geometric˘a a numerelor sin α ¸si cos α, unde 0 < α, β < π
2 ,
atunci cos 2β este egal cu:
A −2 sin2
( π
4 − α
)
; B −2 cos2
( π
4 + α
)
; C 2 sin2
( π
4 + α
)
; D 2 cos2
( π
4 − α
)
; E 2 sin2
( π
4 − α
)
.
6. (5 puncte) Consider˘am funct¸ia f : R∗ → R, definit˘a prin
f (x) = x2 + 2
x , ∀x ∈ R∗.
Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A f nu are asimptot˘a oblic˘a; B f are un singur punct de minim local; C ecuat¸ia f (x) = 3 admite
solut¸ia x = 1; D f este monoton˘a pe R∗; E f este convex˘a pe R∗.
PARTEA B
1. a) (8 puncte) S˘a se g˘aseasc˘a toate perechile de numere reale cu proprietatea c˘a atˆat suma
cˆat ¸si produsul numerelor este −2.

Subiect · pagina 2

b) (12 puncte) S˘a se determine rangul matricei A =


a a a 1
a a2 4 1
a −2 −2 1

. Discut¸ie dup˘a
parametrul real a.
2. a) (8 puncte) Fie P ¸si Q mijloacele diagonalelor [AC], respectiv [BD] ale unui patrulater
convex ABCD.
1. Demonstrat¸i c˘a −−→
P Q = 1
2
(−−→
AD − −−→
BC
)
.
2. Demonstrat¸i c˘a dac˘a −−→
AD + −−→
CB = 3−−→
P Q, atunci patrulaterul ABCD este un paralelogram.
b) (7 puncte) Demonstrat¸i egalitatea:
1
sin 10◦ −
√3
cos 10◦ = 4.
3. Fie a, b numere reale. Consider˘am funct¸ia f : R → R definit˘a prin
f (x) =
{ x2 + ax + b, x ≤ 0
x − 1, x > 0 .
a) (10 puncte) Determinat¸i numerele a, b pentru care f este derivabil˘a ¸si f ′ este continu˘a.
b) (8 puncte) Determinat¸i primitivele funct¸iei f ˆın cazul ˆın care acestea exist˘a.
c) (7 puncte) Calculat¸i integrala
1∫
−1
f (x) dx ˆın cazul a = 1 ¸si b = −1.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Subiect · pagina 3

R˘aspunsuri ¸si solut¸ii
PARTEA A
1. D; 2. B, C; 3. B; 4. A, B, C, D; 5.A, B; 6. A, B, C.
PARTEA B
1. a) Dou˘a numere a, b ∈ R verific˘a proprietatea din enunt¸ dac˘a ¸si numai dac˘a
{ a + b = −2
ab = −2
ceea ce e echivalent cu faptul c˘a a ¸si b sunt cele 2 r˘ad˘acini ale trinomului X2 + 2X − 2.
Folosind formula de rezolvare a ecuat¸iei de gradul 2 g˘asim aceste r˘ad˘acini:
x1 = −1 + √3, x2 = −1 − √3
Prin urmare, (a, b) ∈ {(x1, x2), (x2, x1)}, iar perechile c˘autate sunt
(−1 + √3, −1 − √3) ¸si (−1 − √3, −1 + √3).
Observat¸ie: ˆIn cazul ˆın care rat¸ionamentul nu este organizat ca un ¸sir de echivalent¸e, completarea
solut¸iei se face prin verificarea rezultatelor obt¸inute.
1. b) ˆIntrucˆat
∣
∣
∣
∣ 4 1
−2 1
∣
∣
∣
∣ = 6 6 = 0, avem rang A ≥ 2.
Bordarea acestui minor cu elemente din coloana 1 conduce la minorul de ordinul 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a a 1
a 4 1
a −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
care este nul deoarece are dou˘a coloane proport¸ionale.
A¸sadar, pentru a afla rangul matricei A avem de calculat determinantul
d =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a a 1
a2 4 1
−2 −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Sc˘adem ultima linie din prima ¸si obt¸inem ca factor pe a + 2, iar pentru a calcula determinantul r˘amas,
adun˘am dublul primei linii la ultima ¸si dezvolt˘am determinantul obt¸inut dup˘a ultima linie. Obt¸inem
succesiv:
d =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a + 2 a + 2 0
a2 4 1
−2 −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = (a + 2)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 0
a2 4 1
−2 −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = (a + 2)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 0
a2 4 1
0 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ =
= (a + 2)(4 − a2) = (2 + a)2(2 − a).
Cum d = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a a ∈ {−2, 2}, avem:
i) pentru a ∈ {−2, 2}, rang A = 2,
ii) pentru a ∈ R \ {−2, 2}, rang A = 3.
2. a) 1. Fie O un punct oarecare al planului. Putem scrie
−−→
P Q = −−→
OQ − −−→
OP .
Dar OP este mediana triunghiului OAC, care pleac˘a din O, a¸sa cum OQ este mediana triunghiului
OBD care pleac˘a din O, de aceea avem
−−→
OP = 1
2
(−→
OA + −−→
OC
)

Subiect · pagina 4

¸si −−→
OQ = 1
2
(−−→
OB + −−→
OD
)
.
A¸sadar, −−→
P Q = 1
2
(−−→
OB + −−→
OD
)
− 1
2
(−→
OA + −−→
OC
)
= 1
2
(−−→
OD − −→
OA −
(−−→
OC − −−→
OB
))
.
Pe de alt˘a parte, −−→
OD − −→
OA = −−→
AD ¸si −−→
OC − −−→
OB = −−→
BC,
deci −−→
P Q = 1
2
(−−→
AD − −−→
BC
)
.
2. Din punctul precedent rezult˘a c˘a
−−→
AD − −−→
BC ≡ −−→
AD + −−→
CB = 2−−→
P Q.
Dac˘a, pe de alt˘a parte, conform ipotezei, avem
−−→
AD + −−→
CB = 3−−→
P Q,
deducem c˘a 2−−→
P Q = 3−−→
P Q, adic˘a −−→
P Q = 0 sau P = Q. Prin urmare, diagonalele patrulaterului convex
ABCD se ˆınjum˘at˘at¸esc, adic˘a patrulaterul este un paralelogram.
2. b) ˆInmult¸im ambii membrii cu num˘arul (evident, diferit de zero) sin 10◦ · cos 10◦. Egalitatea dat˘a
este, prin urmare, echivalent˘a cu egalitatea
cos 10◦ − √3 sin 10◦ = 4 sin 10◦ · cos 10◦. (*)
Mai departe, egalitatea (∗) se poate scrie
2
(
1
2 cos 10◦ −
√3
2 sin 10◦
)
= 4 sin 10◦ · cos 10◦
sau
sin 30◦ cos 10◦ − cos 30◦ sin 10◦ = 2 sin 10◦ · cos 10◦
sau, ˆın final,
sin 20◦ = sin 20◦.
3. a) Pentru ca f s˘a fie derivabil˘a pe R, trebuie s˘a fie continu˘a. ˆIn punctele x0 6 = 0 f este continu˘a,
fiind o funct¸ie polinomial˘a ˆıntr-o vecin˘atate suficient de mic˘a a lui x0. Pentru x0 = 0 avem lim
x→0
x<0
f (x) = b,
lim
x→0
x>0
f (x) = −1, deci f este continu˘a dac˘a ¸si numai dac˘a b = −1. Pe intervalul (−∞, 0) funct¸ia este
f (x) = x2 + ax + b, deci pe acest interval f ′(x) = 2x + a, fiind o funct¸ie de gradul doi pe acest interval.
Pe intervalul (0, +∞) funct¸ia este f (x) = x − 1, deci pe acest interval f ′(x) = 1. Cum lim
x→0
x<0
f ′(x) = a,
lim
x→0
x>0
f ′(x) = 1, pentru a 6 = 1 funct¸ia f nu este derivabil˘a ˆın punctul x = 0 (dac˘a ar fi derivabil˘a, atunci
f ′ ar avea proprietatea lui Darboux, deci nu ar admite punct de discontinuitate de spet¸a I.). Pentru
a = 1 din consecint¸a teoremei lui Lagrange obt¸inem c˘a f este derivabil˘a ˆın x = 0 ¸si f ′(0) = 1, deci ˆın
acest caz f este derivabil˘a pe R ¸si f ′ continu˘a pe R. Astfel f este derivabil˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a = 1
¸si b = −1 iar ˆın acest caz f ′ este continu˘a.
b) Pentru ca f s˘a admit˘a primitive trebuie s˘a aib˘a proprietatea lui Darboux. Din relat¸iile lim
x→0
x<0
f (x) = b,
lim
x→0
x>0
f (x) = −1, deducem c˘a f are proprietatea lui Darboux dac˘a ¸si numai dac˘a b = −1. Pentru b = −1

Subiect · pagina 5

funct¸ia f este continu˘a, deci admite primitive. Folosind consecint¸a teoremei lui Lagrange pe intervalele
(−∞, 0) ¸si (0, ∞), orice primitiv˘a F : R → R a lui f are forma
F (x) =



x3
3 + a x2
2 − x + c1, x < 0
c2, x = 0
x2
2 − x + c3, x > 0
F fiind derivabil˘a este ¸si continu˘a, deci
F (0) = c2 = c1 = c3.
Astfel primitivele lui f au forma
F (x) = c +



x3
3 + a x2
2 − x, x ≤ 0
x2
2 − x, x > 0
.
c) ˆIn cazul b = −1 funct¸ia f este continu˘a, deci este integrabil˘a ¸si admite primitive. Astfel putem
folosi formula Newton-Leibniz:
1∫
−1
f (x) dx = F (1) − F (−1) = 1
2 − 1 −
(
− 1
3 + 1
2 + 1
)
= − 5
3 .
Observat¸ie: Integrala poate fi calculat˘a ¸si f˘ar˘a forma exact˘a a primitivei dac˘a o descompunem ˆın
dou˘a: 1∫
−1
f (x) dx =
0∫
−1
f (x) dx +
1∫
0
f (x) dx.

Subiect · pagina 6

BAREM DE CORECTARE
PARTEA A
1. D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
2. B, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
3. B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
4. A, B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
5. A, B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
6. A, B, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
PARTEA B
1. a) Dou˘a numere a, b ∈ R verific˘a proprietatea din enunt¸ dac˘a ¸si numai dac˘a{ a + b = −2
ab = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
ceea ce e echivalent cu faptul c˘a a ¸si b sunt cele 2 r˘ad˘acini ale trinomului X2 + 2X − 2 . . . . . . . . . . . 2p
Folosind formula de rezolvare a ecuat¸iei de gradul 2 g˘asim aceste r˘ad˘acini:
x1 = −1 + √3, x2 = −1 − √3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Prin urmare, (a, b) ∈ {(x1, x2), (x2, x1)}, iar perechile c˘autate sunt
(−1 + √3, −1 − √3) ¸si (−1 − √3, −1 + √3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
Observat¸ie: ˆIn cazul ˆın care rat¸ionamentul nu este organizat ca un ¸sir de echivalent¸e, completarea
solut¸iei se face prin verificarea rezultatelor obt¸inute.
1. b) ˆIntrucˆat
∣
∣
∣
∣ 4 1
−2 1
∣
∣
∣
∣ = 6 6 = 0, avem rang A ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Bordarea acestui minor cu elemente din coloana 1 conduce la minorul de ordinul 3∣
∣
∣
∣
∣
∣
a a 1
a 4 1
a −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ care este nul deoarece are dou˘a coloane proport¸ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
A¸sadar, pentru a afla rangul matricei A avem de calculat determinantul d =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a a 1
a2 4 1
−2 −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Avem d l1−l3
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a + 2 a + 2 0
a2 4 1
−2 −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = (a + 2)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 0
a2 4 1
−2 −2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
l3+2l1
= (a + 2)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 0
a2 4 1
0 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ =
= (a + 2)(4 − a2) = (2 + a)2(2 − a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
d = 0 ⇔ a ∈ {−2, 2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Pentru a ∈ {−2, 2}, rang A = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Pentru a ∈ R \ {−2, 2}, rang A = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
2. a) 1. Fie O un punct oarecare al planului.
(i) −−→
P Q = −−→
OQ − −−→
OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(ii) OP ¸si OQ sunt medianele din O ˆın triunghiurile OAC, respectiv OBD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(iii) −−→
OP = 1
2
(−→
OA + −−→
OC
)
¸si −−→
OQ = 1
2
(−−→
OB + −−→
OD
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(iv) −−→
P Q = 1
2
(−−→
OB + −−→
OD
)
− 1
2
(−→
OA + −−→
OC
)
= 1
2
(−−→
OD − −→
OA −
(−−→
OC − −−→
OB
))
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(v) −−→
OD − −→
OA = −−→
AD ¸si −−→
OC − −−→
OB = −−→
BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(vi) −−→
P Q = 1
2
(−−→
AD − −−→
BC
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Subiect · pagina 7

2.
(i) −−→
AD − −−→
BC ≡ −−→
AD + −−→
CB = 2−−→
P Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5p
(ii) −−→
AD + −−→
CB = 3−−→
P Q =⇒ 2−−→
P Q = 3−−→
P Q =⇒ −−→
P Q = 0 sau P = Q ⇒ ABCD – paralelogram. . . . 1.5p
2. b)
(i) sin 10◦ · cos 10◦ 6 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p
(ii) Egalitatea dat˘a este echivalent˘a cu cos 10◦ − √3 sin 10◦ = 4 sin 10◦ · cos 10◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(iii) sau cu 2
(
1
2 cos 10◦ −
√3
2 sin 10◦
)
= 4 sin 10◦ · cos 10◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(iv) sau sin 30◦ cos 10◦ − cos 30◦ sin 10◦ = 2 sin 10◦ · cos 10◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(v) sau, ˆın final, sin 20◦ = sin 20◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
3. a) Pentru ca f s˘a fie derivabil˘a pe R, trebuie s˘a fie continu˘a. ˆIn punctele x0 6 = 0 f este continu˘a,
fiind o funct¸ie polinomial˘a ˆıntr-o vecin˘atate suficient de mic˘a a lui x0. Pentru x0 = 0 avem lim
x→0
x<0
f (x) = b,
lim
x→0
x>0
f (x) = −1, deci f este continu˘a dac˘a ¸si numai dac˘a b = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
Pe intervalul (−∞, 0) funct¸ia este f (x) = x2 + ax + b, deci pe acest interval f ′(x) = 2x + a, fiind o
funct¸ie de gradul doi pe acest interval. Pe intervalul (0, +∞) funct¸ia este f (x) = x − 1, deci pe acest
interval f ′(x) = 1. Cum lim
x→0
x<0
f ′(x) = a, lim
x→0
x>0
f ′(x) = 1, pentru a 6 = 1 funct¸ia f nu este derivabil˘a ˆın
punctul x = 0 (dac˘a ar fi derivabil˘a, atunci f ′ ar avea proprietatea lui Darboux, deci nu ar admite
punct de discontinuitate de spet¸a I.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
Pentru a = 1 din consecint¸a teoremei lui Lagrange obt¸inem c˘a f este derivabil˘a ˆın x = 0 ¸si
f ′(0) = 1, deci ˆın acest caz f este derivabil˘a pe R ¸si f ′ continu˘a pe R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Astfel f este derivabil˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a = 1 ¸si b = −1 ¸si iar acest caz f ′ este continu˘a. . 1 p
b) Pentru ca f s˘a admit˘a primitive trebuie s˘a aib˘a proprietatea lui Darboux. Din relat¸iile lim
x→0
x<0
f (x) = b,
lim
x→0
x>0
f (x) = −1, deducem c˘a f are proprietatea lui Darboux dac˘a ¸si numai dac˘a b = −1. Pentru b = −1
funct¸ia f este continu˘a, deci admite primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Folosind consecint¸ele teoremei lui Lagrange pe intervalele (−∞, 0) ¸si (0, ∞), orice primitiv˘a
F : R → R a lui f are forma F (x) =



x3
3 + a x2
2 − x + c1, x < 0
c2, x = 0
x2
2 − x + c3, x > 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
F fiind derivabil˘a este ¸si continu˘a, deci F (0) = c2 = c1 = c3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Astfel primitivele lui f au forma F (x) = c +



x3
3 + a x2
2 − x, x ≤ 0
x2
2 − x, x > 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c) Pentru b = −1 funct¸ia f este continu˘a, deci este integrabil˘a ¸si admite primitive. . . . . . . . . . . . . . 2 p
Folosim formula Newton-Leibniz:
1∫
−1
f (x) dx = F (1) − F (−1) = 1
2 − 1 − (− 1
3 + 1
2 + 1) = − 5
3 . 5 p
Observat¸ie: Integrala poate fi calculat˘a ¸si f˘ar˘a forma exact˘a a primitivei dac˘a o descompunem ˆın
dou˘a: 1∫
−1
f (x) dx =
0∫
−1
f (x) dx +
1∫
0
f (x) dx.

Subiect · pagina 8

ˆIn acest caz se vor acorda cˆate 2 puncte pentru descompunerea integralei ¸si pentru calculul celor
dou˘a integrale, iar 1 punct pentru rezultatul final.
NOT ˘A: La toate problemele din partea B orice alt˘a solut¸ie corect˘a va fi punctat˘a corespunz˘ator.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Model de pregătire · 2018Informatică · Model oficial 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2018 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2018

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1