Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
CONCURS DE ADMITERE, 15 iulie 2018
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
NOT ˘A IMPORTANT ˘A:
1) Problemele tip gril˘a (Partea A) pot avea unul sau mai multe r˘aspunsuri corecte.
Acestea trebuie indicate de candidat pe foaia de concurs. Obt¸inerea punctajului aferent
problemei este condit¸ionat˘a de identificarea tuturor variantelor de r˘aspuns corecte ¸si
numai a acelora.
2) Pentru problemele din Partea B se cer rezolv˘ari complete pe foaia de concurs.
Acestea sunt evaluate ˆın detaliu conform baremului.
PARTEA A
1. (5 puncte) Fie a = (1 + √2)7 + (1 − √2)7. Stabilit¸i care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt
adev˘arate:
A a /∈ R; B a ∈ R \ Q; C a ∈ Q \ Z; D a ∈ Z \ N; E a ∈ N.
2. (5 puncte) Fie A o mult¸ime cu 4 elemente ¸si B o mult¸ime cu 5 elemente. Num˘arul funct¸iilor
definite pe A cu valori ˆın B este:
A 0; B 45; C 54; D A4
5; E C4
5 .
3. (5 puncte) Fie m un parametru real. Num˘arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat¸iei x3 − 12x = m
este:
A 0; B 1 pentru m < −16; C 1 pentru m > 16; D 3 pentru −16 < m < 16; E 3 pentru orice
m ∈ R.
4. (5 puncte) Aria unui triunghi ABC este egal˘a cu 5 unit˘at¸i. Vˆarfurile A ¸si B au coordonatele
(2, 1), respectiv (3, −2), ˆın timp ce vˆarful C se afl˘a pe dreapta y = x + 3. Atunci coordonatele vˆarfului
C pot fi:
A (−3/2, 3/2); B (3/4, −3/2); C (7/2, 13/2);
D (11/2, −1/2); E (2, 5).
5. (5 puncte) Care dintre urm˘atoarele mult¸imi poate fi o submult¸ime a solut¸iei generale a ecuat¸iei
1 + cos 3x = 2 cos 2x ?
A
{
nπ + π
3
∣
∣
∣ n ∈ Z
}
; B
{
nπ + π
6
∣
∣
∣ n ∈ Z
}
; C
{
nπ − π
6
∣
∣
∣ n ∈ Z
}
; D { 2nπ| n ∈ Z};
E
{
nπ − π
3
∣
∣
∣ n ∈ Z
}
.
6. (5 puncte) Fie a un num˘ar real strict pozitiv diferit de 1. Valoarea limitei lim
x→0
(1 + x2)ln a − 1
tg2 x
este
A 0; B 1; C ln a
| ln a| ; D ln a; E 2 ln a.
PARTEA B
1. Consider˘am inelul (R[X], +, ·) definit pe mult¸imea R[X] a polinoamelor cu coeficient¸i reali de
operat¸iile uzuale de adunare ¸si ˆınmult¸ire a polinoamelor ¸si
A = {f ∈ R[X] | grad f ≤ 3}.
a) (8 puncte) S˘a se arate c˘a A este un subgrup al grupului (R[X], +).

Subiect · pagina 2

b) (5 puncte) S˘a se arate c˘a A nu este parte stabil˘a a lui R[X] ˆın raport cu ˆınmult¸irea
polinoamelor.
c) (7 puncte) Cˆate polinoame divizibile cu X2 − 4 din mult¸imea A dau prin ˆımp˘art¸ire la
X2 − 4X + 3 restul X + 1? Justificat¸i r˘aspunsul.
2. a) (7 puncte) Fie a ¸si b dou˘a numere reale strict pozitive. Punctele B(a, 0) ¸si D(0, b) sunt
dou˘a vˆarfuri (opuse) ale unui p˘atrat ABCD. Determinat¸i coordonatele celorlalte dou˘a vˆarfuri.
b) (8 puncte) Demonstrat¸i c˘a dac˘a α + β − γ = π, atunci
sin2 α + sin2 β − sin2 γ = 2 sin α sin β cos γ.
3. Fie a > 0. Consider˘am funct¸ia f : R → R definit˘a prin
f (x) =
{ 1
2x , x ≤ a
√x, x > a
.
a) (10 puncte) Determinat¸i num˘arul a pentru care f este continu˘a pe R.
b) (8 puncte) Determinat¸i primitivele funct¸iei f ˆın cazul valorilor a pentru care acestea exist˘a.
c) (7 puncte) Calculat¸i integrala
1∫
0
f (x) dx ˆın funct¸ie de a.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Subiect · pagina 3

R˘aspunsuri ¸si solut¸ii
PARTEA A
1. E; 2. C; 3. B, C, D; 4. A, C; 5.B, C, D; 6. D.
PARTEA B
1. a) Preciz˘am c˘a putem rescrie A astfel A = {f = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 | a0, a1, a2, a3 ∈ R}.
Polinomul nul 0 are gradul −∞, prin urmare 0 ∈ A ¸si astfel A 6 = ∅ ∀f, g ∈ A, f + g ∈ A deoarece
∀f, g ∈ A, ∃ai, bi ∈ R (i = 0, 1, 2, 3) : f = a0 + a1X + a2X2 + a3X3, g = b0 + b1X + b2X2 + b3X3
prin urmare f + g = (a0 + b0) + (a1 + b1)X + (a2 + b2)X2 + (a3 + b3)X3 ∈ A (Altfel: S¸tiind c˘a
grad(f + g) ≤ max{grad f, grad g}, din grad f ≤ 3 ¸si grad g ≤ 3 rezult˘a grad(f + g) ≤ 3 ¸si astfel
f + g ∈ A) ∀f ∈ A, −f ∈ A deoarece ∀f ∈ A, ∃ai ∈ R (i = 0, 1, 2, 3) : f = a0 + a1X + a2X2 + a3X3
¸si −f = (−a0) + (−a1)X + (−a2)X2 + (−a3)X3 ∈ A
1. b) Luˆand f = X3 ∈ A avem f · f = X6 /∈ A deoarece f · f are gradul 6 (sau: dac˘a f, g ∈ A au
ambele gradul egal cu 3, cum grad(f · g) =grad f +grad g = 6, f · g /∈ A).
Observat¸ie: Simpla scriere a faptului c˘a produsul a dou˘a polinoame de grad cel mult 3 poate avea
grad mai mare decˆat 3 se noteaz˘a doar cu 0,5 puncte dac˘a nu este ˆınsot¸it˘a de un exemplu sau de
enunt¸area corect˘a a propriet˘at¸ii ce leag˘a gradul produsului a 2 polinoame de gradele celor 2 polinoame.
1. c) Solut¸ia 1: Fie a, b, c, d ∈ R ¸si f = a + bX + cX2 + dX3.
Conform teoremei ˆımp˘art¸irii cu rest pentru polinoamele din R[X], exist˘a q1 ∈ R[X] astfel ˆıncˆat
f = (X2 − 4X + 3)q1 + (X + 1) = (X − 1)(X − 3)q1 + (X + 1) (1)
De asemenea, din (X2 − 4) | f rezult˘a c˘a exist˘a q2 ∈ R[X] astfel ˆıncˆat
f = (X2 − 4)q2 = (X − 2)(X + 2)q2 (2)
Calcul˘am f (1) ¸si f (3) folosind (1) ¸si obt¸inem:
a + b + c + d = 2 (3)
a + 3b + 32c + 33d = 4 (4)
Calcul˘am f (2) ¸si f (−2) folosind (2) ¸si obt¸inem:
a + 2b + 22c + 23d = 0 (5)
a + (−2)b + (−2)2c + (−2)3d = 0 (6)
Polinomul f satisface condit¸iile din enunt¸ dac˘a ¸si numai dac˘a (a, b, c, d) este o solut¸ie a sistemului de
4 ecuat¸ii cu 4 necunoscute (S) format cu ecuat¸iile (3), (4), (5), (6). Determinantul acestui sistem este
(determinantul de tip Vandermonde)
∆ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 3 32 33
1 2 22 23
1 −2 (−2)2 (−2)3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 3 2 −2
1 32 22 (−2)2
1 33 23 (−2)3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 120 6 = 0, prin urmare sistemul (S) este
compatibil determinat, deci exist˘a un singur polinom f care satisface condit¸iile din problem˘a.
Observat¸ie: Calculul lui ∆ poate fi efectuat ¸si f˘ar˘a a ˆıl recunoa¸ste ca fiind un determinant de tip
Vandermonde, iar rezolvarea sistemului (S) nu este necesar˘a pentru stabilirea r˘aspunsului la ˆıntrebare.
Solut¸ia 2: Din (X2 − 4) | f rezult˘a c˘a exist˘a q ∈ R[X] astfel ˆıncˆat
f = (X2 − 4)q (1)

Subiect · pagina 4

Gradul lui q este cel mult 1, prin urmare exist˘a a, b ∈ R astfel ˆıncˆat q = aX + b ¸si atunci (1) devine
f = (X2 − 4)(aX + b) (2)
Conform teoremei ˆımp˘art¸irii cu rest pentru polinoamele din R[X], exist˘a q1 ∈ R[X] astfel ˆıncˆat
f = (X2 − 4X + 3)q1 + (X + 1) = (X − 1)(X − 3)q1 + (X + 1) (3)
de unde rezul˘a f (1) = 2 ¸si f (3) = 4 Folosind (2), acum rezult˘a
2 = f (1) = −3(a + b) ⇔ a + b = − 2
3 (4)
4 = f (3) = 5(3a + b) ⇔ 3a + b = 4
5 (5)
Cum sistemul format cu ecuat¸iile (4) ¸si (5) are o solut¸ie unic˘a
(
a = 11
15 , b = − 7
5
)
, exist˘a un singur
polinom f care satisface condit¸iile din problem˘a.
Observat¸ie: Nici aceast˘a solut¸ie nu necesit˘a aflarea lui f , dar conduce mai u¸sor la determinarea sa:
f = (X2 − 4)
( 11
15 X − 7
5
)
= 11
15 X3 − 7
5 X2 − 44
15 X + 28
5 .
(Avem astfel ¸si forma solut¸iei sistemului (S) din Solut¸ia 1.)
2. a) BD este una dintre diagonalele p˘atratului. Panta dreptei BD este k = − b
a , iar ecuat¸ia dreptei
este bx + ay − ab = 0. Lungimea laturii p˘atratului este BD/√2 = 1
√2
√a2 + b2. A doua diagonal˘a a
p˘atratului, AC, trece prin mijlocul E al segmentului [BD] ¸si e perpendicular˘a pe prima. Coordonatele
lui E sunt
( a
2 , b
2
)
, iar panta dreptei AC este a
b . Ecuat¸ia dreptei AC este y − b
2 = a
b
(
x − a
2
)
. Fie
C(xC , yC ) unul dintre cele dou˘a vˆarfuri r˘amase ale p˘atratului. C se afl˘a pe dreapta A, iar CD2 =
BD2/2, deci coordonatele sale verific˘a sistemul



yC − b
2 = a
b
(
xC − a
2
)
,
2 [x2
C + (yC − b)2)] = a2 + b2
Sistemul de mai sus ne conduce la ecuat¸ia 4x2
C − 4axC + a2 − b2 = 0, cu solut¸iile xC = 1
2 (a ± b). Dac˘a
alegem semnul +, obt¸inem unul dintre vˆarfuri, de exemplu, C
( a + b
2 , a + b
2
)
, iar dac˘a alegem semnul
−, obt¸inem vˆarful opus, A
( a − b
2 , b − a
2
)
.
2. b) Fie MS membrul stˆang al identit˘at¸ii de demonstrat ¸si MD membrul drept. Atunci avem
MS= sin2 α + sin2 β − sin2 γ = sin2 α + sin(β + γ) sin(β − γ)
Conform condit¸iei din enunt¸, β − γ = π − α, a¸sadar
MS= sin2 α + sin(β + γ) sin(π − α) = sin2 α + sin(β + γ) sin α = sin α [sin α + sin(β + γ)]
Folosind din nou condit¸ia din enunt¸, avem α = π − (β − γ), deci
MS= sin α [sin(π − (β − γ)) + sin(β + γ)] = sin α [sin(β − γ) + sin(β + γ)]
sau
MS= sin α [2 sin β cos γ] = 2 sin α sin β cos γ = MD.

Subiect · pagina 5

3. a) Funct¸ia este continu˘a ˆın punctele x 6 = a (fiind exponent¸ial˘a sau de tip putere ˆıntr-o vecin˘atatea
lui x, ¸si a > 0 garanteaz˘a c˘a √x este definit pentru x > a). ˆIn punctul x = a avem
limx→a
x<a
f (x) = 1
2a ¸si
limx→a
x>a
f (x) = √a,
deci condit¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a pentru continuitatea lui f este 1
2a = √a. Membrul drept al acestei
ecuat¸ii este o funct¸ie strict cresc˘atoare, iar membrul stˆang o funct¸ie descresc˘atoare (ca ¸si funct¸ie de a),
deci ecuat¸ia poate avea cel mult o solut¸ie. Pe de alt˘a parte a = 1
2 este o solut¸ie, deci f este continu˘a
dac˘a ¸si numai dac˘a a = 1
2 .
3. b) Dac˘a exist˘a o primitiv˘a a lui f, atunci f are proprietatea lui Darboux, deci nu are discontinuitate
de spet¸a I. Pentru a 6 = 1
2 , f ar avea ˆıns˘a o astfel de discontinuitate, deci f este primitivabil˘a dac˘a ¸si
numai dac˘a a = 1
2 . Dac˘a a = 1
2 , atunci primitivele lui f au forma
F (x) =



− 1
2x · 1
ln 2 + c1, x ≤ 1
2
2
3 x 3
2 + c2, x > 1
2
.
Acestea trebuie s˘a fie continue, deci
− 1
√2 ln 2 + c1 = 1
3√2 + c2.
Astfel primitivele au forma
F (x) =



− 1
2x · 1
ln 2 + c, x ≤ 1
2
2
3 x 3
2 − 1√2 ln 2 − 1
3√2 + c, x > 1
2
.
Acestea sunt ¸si derivabile datorit˘a consecint¸ei teoremei lui Lagrange, ¸si are loc F ′(x) = f (x) pentru
orice x ∈ R.
3. c) Dac˘a 0 < a < 1, atunci
1∫
0
f (x) dx =
a∫
0
f (x) dx +
1∫
a
f (x) dx =
a∫
0
1
2x dx +
1∫
a
√x dx = − 1
2x ln 2
∣
∣
∣
∣
a
0
+
2
3 x 3
2
∣
∣
∣
∣
1
a
= 2
3 − 2
3 a 3
2 − 1
2a ln 2 + 1
ln 2 .
Dac˘a 1 ≤ a, atunci
1∫
0
f (x) dx =
1∫
0
1
2x dx = − 1
2x ln 2
∣
∣
∣
∣
1
0
= 1
2 ln 2 .

Subiect · pagina 6

BAREM DE CORECTARE
PARTEA A
1. E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
2. C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
3. B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
4. A, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
5. B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
6. D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
PARTEA B
1. a) Preciz˘am c˘a putem rescrie A astfel
A = {f = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 | a0, a1, a2, a3 ∈ R}.
a) Polinomul nul 0 are gradul −∞, prin urmare 0 ∈ A ¸si astfel A 6 = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
∀f, g ∈ A, f + g ∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
deoarece ∀f, g ∈ A, ∃ai, bi ∈ R (i = 0, 1, 2, 3) :
f = a0 + a1X + a2X2 + a3X3, g = b0 + b1X + b2X2 + b3X3
prin urmare f + g = (a0 + b0) + (a1 + b1)X + (a2 + b2)X2 + (a3 + b3)X3 ∈ A
(Altfel: S¸tiind c˘a grad(f + g) ≤ max{grad f, grad g}, din grad f ≤ 3 ¸si grad g ≤ 3 rezult˘a
grad(f + g) ≤ 3 ¸si astfel f + g ∈ A)
∀f ∈ A, −f ∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
deoarece ∀f ∈ A, ∃ai ∈ R (i = 0, 1, 2, 3) : f = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 ¸si
−f = (−a0) + (−a1)X + (−a2)X2 + (−a3)X3 ∈ A
1. b) Luˆand f = X3 ∈ A avem f · f = X6 /∈ A deoarece f · f are gradul 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
(sau: dac˘a f, g ∈ A au ambele gradul egal cu 3, cum grad(f · g) =grad f +grad g = 6, f · g /∈ A)
Observat¸ie: Simpla scriere a faptului c˘a produsul a dou˘a polinoame de grad cel mult 3 poate avea grad
mai mare decˆat 3 se noteaz˘a doar cu 0,5 puncte dac˘a nu este ˆınsot¸it˘a de un exemplu sau de enunt¸area
corect˘a a propriet˘at¸ii ce leag˘a gradul produsului a 2 polinoame de gradele celor 2 polinoame.
1. c) Solut¸ia 1: Fie a, b, c, d ∈ R ¸si f = a + bX + cX2 + dX3.
Conform teoremei ˆımp˘art¸irii cu rest pentru polinoamele din R[X], exist˘a q1 ∈ R[X] astfel ˆıncˆat
f = (X2 − 4X + 3)q1 + (X + 1) = (X − 1)(X − 3)q1 + (X + 1) (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
De asemenea, din (X2 − 4) | f rezult˘a c˘a exist˘a q2 ∈ R[X] astfel ˆıncˆat
f = (X2 − 4)q2 = (X − 2)(X + 2)q2 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calcul˘am f (1) ¸si f (3) folosind (1) ¸si obt¸inem:
a + b + c + d = 2 (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
a + 3b + 32c + 33d = 4 (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calcul˘am f (2) ¸si f (−2) folosind (2) ¸si obt¸inem:
a + 2b + 22c + 23d = 0 (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
a + (−2)b + (−2)2c + (−2)3d = 0 (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Polinomul f satisface condit¸iile din enunt¸ dac˘a ¸si numai dac˘a (a, b, c, d) este o solut¸ie a sistemului de
4 ecuat¸ii cu 4 necunoscute (S) format cu ecuat¸iile (3), (4), (5), (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinantul acestui sistem este (determinantul de tip Vandermonde)
∆ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 3 32 33
1 2 22 23
1 −2 (−2)2 (−2)3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 3 2 −2
1 32 22 (−2)2
1 33 23 (−2)3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 120 6 = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
prin urmare sistemul (S) este compatibil determinat, deci exist˘a un singur polinom f care satisface
condit¸iile din problem˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Observat¸ie: Calculul lui ∆ poate fi efectuat ¸si f˘ar˘a a ˆıl recunoa¸ste ca fiind un determinant de tip
Vandermonde, iar rezolvarea sistemului (S) nu este necesar˘a pentru stabilirea r˘aspunsului la ˆıntrebare.
Solut¸ia 2: Din (X2 − 4) | f rezult˘a c˘a exist˘a q ∈ R[X] astfel ˆıncˆat

Subiect · pagina 7

f = (X2 − 4)q (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Gradul lui q este cel mult 1, prin urmare exist˘a a, b ∈ R astfel ˆıncˆat q = aX + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
¸si atunci (1) devine
f = (X2 − 4)(aX + b) (2).
Conform teoremei ˆımp˘art¸irii cu rest pentru polinoamele din R[X], exist˘a q1 ∈ R[X] astfel ˆıncˆat
f = (X2 − 4X + 3)q1 + (X + 1) = (X − 1)(X − 3)q1 + (X + 1) (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
de unde rezul˘a f (1) = 2 ¸si f (3) = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Folosind (2), acum rezult˘a
2 = f (1) = −3(a + b) ⇔ a + b = − 2
3 (4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
4 = f (3) = 5(3a + b) ⇔ 3a + b = 4
5 (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Cum sistemul format cu ecuat¸iile (4) ¸si (5) are o solut¸ie unic˘a
(
a = 11
15 , b = − 7
5
)
, exist˘a un singur
polinom f care satisface condit¸iile din problem˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Observat¸ie: Nici aceast˘a solut¸ie nu necesit˘a aflarea lui f , dar conduce mai u¸sor la determinarea sa:
f = (X2 − 4)
( 11
15 X − 7
5
)
= 11
15 X3 − 7
5 X2 − 44
15 X + 28
5 .
(Avem astfel ¸si forma solut¸iei sistemului (S) din Solut¸ia 1.)
2. a) BD este una dintre diagonalele p˘atratului.
(i) Panta dreptei BD este k = − b
a , iar ecuat¸ia dreptei este bx + ay − ab = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(ii) Lungimea laturii p˘atratului este BD/√2 = 1
√2
√a2 + b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(iii) A doua diagonal˘a a p˘atratului, AC, trece prin mijlocul E al segmentului [BD] ¸si e perpendicular˘a
pe prima. Coordonatele lui E sunt
( a
2 , b
2
)
, iar panta dreptei AC este a
b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(iv) Ecuat¸ia dreptei AC este y − b
2 = a
b
(
x − a
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(v) Fie C(xC , yC ) unul dintre cele dou˘a vˆarfuri r˘amase ale p˘atratului. C se afl˘a pe dreapta A, iar
CD2 = BD2/2, deci coordonatele sale verific˘a sistemul



yC − b
2 = a
b
(
xC − a
2
)
,
2 [x2
C + (yC − b)2)] = a2 + b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(vi) Sistemul de mai sus ne conduce la ecuat¸ia 4x2
C − 4axC + a2 − b2 = 0, cu solut¸iile
xC = 1
2 (a ± b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(vii) Dac˘a alegem semnul +, obt¸inem unul dintre vˆarfuri, de exemplu, C
( a + b
2 , a + b
2
)
, iar dac˘a
alegem semnul −, obt¸inem vˆarful opus, A
( a − b
2 , b − a
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. b)
Fie MS membrul stˆang al identit˘at¸ii de demonstrat ¸si MD membrul drept. Atunci avem
(i) MS=sin2 α + sin2 β − sin2 γ = sin2 α + sin(β + γ) sin(β − γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(ii) Conform condit¸iei din enunt¸, β − γ = π − α, a¸sadar
MS=sin2 α + sin(β + γ) sin(π − α) = sin2 α + sin(β + γ) sin α = sin α [sin α + sin(β + γ)] . . . . 2 p

Subiect · pagina 8

(iii) Folosind din nou condit¸ia din enunt¸, avem α = π − (β − γ), deci
MS=sin α [sin(π − (β − γ)) + sin(β + γ)] = sin α [sin(β − γ) + sin(β + γ)] sau . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(iv) MS=sin α [2 sin β cos γ] = 2 sin α sin β cos γ=MD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
3. a) Funct¸ia este continu˘a ˆın punctele x 6 = a (fiind exponent¸ial˘a sau de tip putere ˆıntr-o vecin˘atatea
lui x, ¸si a > 0 garanteaz˘a c˘a √x este definit pentru x > a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
ˆIn punctul x = a avem limx→a
x<a
f (x) = 1
2a ¸si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
limx→a
x>a
f (x) = √a, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
deci condit¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a pentru continuitatea lui f este 1
2a = √a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Membrul drept al acestei ecuat¸ii este o funct¸ie cresc˘atoare, iar membrul stˆang o funct¸ie descresc˘atoare
(ca ¸si funct¸ie de a), deci ecuat¸ia poate avea cel mult o solut¸ie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Pe de alt˘a parte a = 1
2 este o solut¸ie, deci f este continu˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a = 1
2 . . . . . . . . . . . . . 1 p
3. b) Dac˘a exist˘a o primitiv˘a a lui f, atunci f are proprietatea lui Darboux, deci nu are discontinuitate
de spet¸a I. Pentru a 6 = 1
2 , f ar avea ˆıns˘a o astfel de discontinuitate, deci f este primitivabil˘a dac˘a ¸si
numai dac˘a a = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Dac˘a a = 1
2 , atunci primitivele lui f au forma F (x) =



− 1
2x · 1
ln 2 + c1, x ≤ 1
2
2
3 x 3
2 + c2, x > 1
2
. . . . . . . . . . . . 4 p
Acestea trebuie s˘a fie continue, deci − 1√2 ln 2 + c1 = 1
3√2 + c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Astfel primitivele au forma F (x) =



− 1
2x · 1
ln 2 + c, x ≤ 1
2
2
3 x 3
2 − 1√2 ln 2 − 1
3√2 + c, x > 1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
3. c) Dac˘a 0 < a < 1, atunci
1∫
0
f (x) dx =
a∫
0
f (x) dx +
1∫
a
f (x) dx =
a∫
0
1
2x dx +
1∫
a
√x dx = − 1
2x ln 2
∣
∣
∣
∣
a
0
+
2
3 x 3
2
∣
∣
∣
∣
1
a
= 2
3 − 2
3 a 3
2 − 1
2a ln 2 + 1
ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
Dac˘a 1 ≤ a, atunci
1∫
0
f (x) dx =
1∫
0
1
2x dx = − 1
2x ln 2
∣
∣
∣
∣
1
0
= 1
2 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
NOT ˘A: La toate problemele din partea B orice alt˘a solut¸ie corect˘a va fi punctat˘a corespunz˘ator.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Model de pregătire · 2018Informatică · Model oficial 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2018 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2018

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1