Pregătire cu un profesor

Universitatea din Bucure¸sti 22.07.2016
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2016
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
I. Algebr˘a. Fie matricea A =
(
2 1
3 2
)
∈ M2(R).
(a) S˘a se calculeze 2A2 − 3A.
(b) S˘a se arate c˘a (2A2 − 3A)A = A(2A2 − 3A).
(c) S˘a se determine toate matricele X ∈ M2(R) pentru care AX = XA.
(d) S˘a se arate c˘a mult¸imea C = {X ∈ M2(R)| AX = XA} este parte stabil˘a ˆın raport cu adunarea ¸si
ˆınmult¸irea matricelor ¸si c˘a C este inel ˆımpreun˘a cu aceste operat¸ii.
(e) S˘a se arate c˘a An 6 = I2 pentru orice n ∈ N∗.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = ex(x2 − 5x + 7).
(a) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei spre −∞ la graficul funct¸iei f ¸si punctele de extrem local ale acestei
funct¸ii.
(b) S˘a se arate c˘a pentru orice n ∈ N∗ ecuat¸ia f (n)(x) = 0 are dou˘a solut¸ii reale, unde f (n) este derivata
de ordinul n a funct¸iei f .
(c) Calculat¸i I =
1∫
0
f (x) dx.
(d) Demonstrat¸i c˘a lim
n→∞
1
9n
2∫
1
(f (x))n dx = 0.
III. Geometrie. Fie ABCDEF un hexagon regulat de latur˘a 2.
(a) Calculat¸i aria triunghiului ACE.
(b) Calculat¸i | −→
AC + −→
BD |.
(c) Pe segmentele (AC) ¸si (CE) se consider˘a punctele M respectiv N astfel ˆıncˆat AM
AC = CN
CE = k.
Determinat¸i num˘arul k astfel ˆıncˆat punctele B, N ¸si M s˘a fie coliniare.
IV. Informatic˘a.
Se d˘a un ¸sir de n numere ˆıntregi, cu n num˘ar natural nenul, mai mic decˆat 32000. Se elimin˘a primul
element din ¸sir ¸si toate elementele ¸sirului aflate pe pozit¸ii care reprezint˘a numere prime, ˆın ordinea cresc˘atoare
a pozit¸iilor. Operat¸ia se repet˘a cu elementele r˘amase ˆın ¸sir, repozit¸ionate dup˘a eliminarea celorlalte, pˆan˘a
cˆand este eliminat ¸si ultimul element r˘amas. S˘a se scrie un program care afi¸seaz˘a elementele ¸sirului init¸ial,
ˆın ordinea ˆın care au fost eliminate conform algoritmului descris mai sus.
Exemplul 1. Pentru n = 10 ¸si ¸sirul 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 programul va afi¸sa 1 2 3 5 7 4 6 8 10 9.
Exemplul 2. Pentru n = 20 ¸si ¸sirul 4, 23, 16, −7, 89, 115, 23, 11, 15, 2, −8, −9, 21, 0, 75, 23, 32, −1, 4, 5
programul va afi¸sa 4 23 16 89 23 −8 21 32 4 −7 115 11 2 0 5 15 −9 75 −1 23.
Not˘a: Programele vor fi scrise ˆıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ˆın liceu (Pascal, C, C++).
Pentru fiecare solut¸ie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit ¸si ale implement˘arii sub form˘a de pro-
gram: semnificat¸ia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instruct¸iunilor condit¸ionale.
Timp de lucru 3 ore.

Deschide documentul original

Barem · 1 pagină

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 22.07.2016
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2016
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul lui 2A2 − 3A:
(
8 5
15 8
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Verificarea egalit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Determinarea matricelor X:
(
x y
3y x
)
, cu x, y ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) C parte stabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(C, +, ·) - inel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(e) An 6 = I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) y = 0 asimptot˘a orizontal˘a spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x = 1 ¸si x = 2 puncte de extrem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Calculul derivatei de ordinul n: f (n)(x) = ex(x2 + (2n − 5)x + (n2 − 6n + 7)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuat¸ia x2 + (2n − 5)x + (n2 − 6n + 7) = 0 are dou˘a r˘ad˘acini reale ∀ n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(c) I = 8e − 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) Demonstrarea inegalit˘at¸ii 0 ≤ f (x) ≤ 3e, ∀ x ∈ [1, 2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul ariei triunghiului ACE (3√3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(b) | −→
AC + −→
BD | = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(c) k = 1√3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Generarea tuturor numerelor prime pˆan˘a la n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Eliminarea corect˘a a elementelor pentru o iterat¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Efectuarea tuturor iterat¸iilor pentru obt¸inerea solut¸iei corecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Programele nu au gre¸seli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Claritatea rezolv˘arilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
1

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2016 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2016

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Barem · pagina 1

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?