Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Matematică și Informatică – UniBuc
Examen de admitere · Informatică · 2016
Facultatea de Matematică și Informatică · UniBuc
Înapoi la arhivăDespre acest subiect
Subiect oficial
Sursa documentelor: Facultatea de Matematică și Informatică – UniBuc. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 2 pagini
Subiect · pagina 1
Universitatea din Bucure¸sti 21.07.2016
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2016
Domeniul de licent¸˘a – Informatic˘a
I. Algebr˘a. Fie mult¸imea A = {a + ib√3 | a, b ∈ Z}.
(a) S˘a se arate c˘a (5 + 2i√3)2 = 13 + 20i√3.
(b) S˘a se calculeze |5 + 2i√3|.
(c) S˘a se arate c˘a A este parte stabil˘a ˆın raport cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea numerelor complexe ¸si
A este inel ˆımpreun˘a cu aceste operat¸ii.
(d) Dac˘a u, v ∈ A ¸si uv = 5 + 2i√3, atunci s˘a se arate c˘a unul dintre numerele u ¸si v este 1 sau −1.
(e) S˘a se determine u ∈ A pentru care u2 = 13 + 8i√3.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : [−1, 1] → R, f (x) = arcsin(1 − 2x2).
(a) S˘a se determine punctele din domeniul de definit¸ie al funct¸iei f ˆın care aceasta nu este deri-
vabil˘a.
(b) Studiat¸i convexitatea funct¸iei f .
(c) Calculat¸i I =
√2
2∫
1
2
f (x) dx.
(d) Demonstrat¸i c˘a funct¸ia g :
[1
2 , √2
2
]
→ [0, π
6
], g(x) = f (x) este bijectiv˘a ¸si determinat¸i
J =
π
6∫
0
g−1(x) dx.
III. Geometrie. Pe laturile (AB) ¸si (AC) ale triunghiului ABC se consider˘a punctele D respectiv
E astfel ˆıncˆat AD
DB = k ¸si AE
EC = p.
(a) Dac˘a p = k, s˘a se g˘aseasc˘a valoarea lui k pentru care DE
BC = 2
3 .
(b) Dac˘a p = k iar (CD ¸si (BE sunt bisectoarele unghiurilor ∠BCA ¸si ∠CBA, s˘a se arate c˘a
triunghiul ABC este isoscel.
(c) S˘a se arate c˘a mijloacele segmentelor (AB), (AC) ¸si (DE) sunt coliniare dac˘a ¸si numai dac˘a
p = 1
k .
Timp de lucru 3 ore.Subiect · pagina 2
Universitatea din București 21.07.2016 Facultatea de Matematică și Informatică IV. Informatică. Ionuț tocmai a terminat liceul și susține examenul de admitere la facultate. Știind că s-a pregătit foarte bine pentru examen, el dorește să își anunțe reușita după examen printr-o postare pe Facebook. Iounț cunoaște n utilizatori reprezentați de numerele de la 1 la n, între care există m relații de prietenie de forma i j, unde i și j sunt utilizatori, iar n și m sunt numere naturale nenule. Un utilizator nu poate fi prieten cu el însuși, iar o relație de prietenie între doi utilizatori ne spune că fiecare dintre ei este prieten cu celălalt. Întrucât dorește ca postarea lui să fie cât mai răspândită, Ionuț vrea să afle care sunt utilizatorii cei mai bine conectați din mulțimea sa de cunoscuți, pentru ca eventual să le ceară prietenia. Pentru aceasta, Ionuț trebuie să găsească cea mai mare submulțime de utilizatori cunoscuți, în care fiecare utilizator din această submulțime are cel puțin k prieteni aflați la rândul lor în submulțime, unde k este un număr natural nenul. Fiind date la intrare numerele n, m și k, pe aceeași linie, separate prin spațiu, precum și 2m numere naturale cuprinse între 1 și n, pe o linie nouă, separate prin spațiu, reprezentând în ordine cele m relații de prietenie între cei n utilizatori, ajutați-l pe Ionuț să găsească o soluție la problema sa, rezolvând următoarele subpuncte: a) Să se determine și să se afișeze, în ordine de la 1 la n, numărul de prieteni al fiecăruia dintre cei n utilizatori, conform relațiilor de prietenie date. b) Să se determine și să se afișeze, printr-o soluție de complexitate timp cât mai bună, în funcție de datele de intrare, membrii celei mai mari submulțimi de utilizatori, cu proprietatea că fiecare utilizator din această submulțime are cel puțin k prieteni aflați la rândul lor în submulțime. În cazul în care nu există o astfel de submulțime pentru k dat, răspunsul va fi cuvântul NU. Exemple: Date de intrare Date de ieșire 5 5 2 1 2 5 1 3 2 4 5 1 4 a) 3 2 1 2 2 b) 1 4 5 5 5 3 1 2 5 1 3 2 4 5 1 4 a) 3 2 1 2 2 b) NU 11 18 3 1 8 4 7 7 10 11 10 2 1 2 3 8 9 8 3 9 3 9 2 5 6 5 11 1 4 10 6 7 6 2 8 11 7 11 6 a) 3 4 3 2 2 4 4 4 3 3 4 b) 2 3 6 7 8 9 10 11 Note: 1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu (Pascal,C,C++). Pentru fiecare soluție se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit și ale implementării sub formă de program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instrucțiunilor condiționale. 2. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales, inclusiv cele de intrare/ieșire, dar nu și alte funcții din biblioteci specializate. 3. Se va considera că datele de intrare ale programelor sunt oricât de mari, dar fără a pune probleme de reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard.
Barem · 1 pagină
Barem · pagina 1
Universitatea din Bucure¸sti 21.07.2016
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2016
Domeniul de licent˘a - Informatic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Verificarea identit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) |5 + 2i√3| = √37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) A e parte stabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(A, +, ·) inel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) Demonstrarea faptului c˘a uv = 5 + 2i√3 implic˘a u ∈ {±1} sau v ∈ {±1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(e) Determinarea solut¸iilor u1 = 4 + i√3 ¸si u2 = −4 − i√3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul lui f ′(x) pentru x 6 = −1, x 6 = 0 ¸si x 6 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f nu este derivabil˘a ˆın −1, 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) f este concav˘a pe (−1, 0) ¸si pe (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f este concav˘a pe [−1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) I = √3 − √2 − π
12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) Demonstrarea bijectivit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
J = √3 − √2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) DE‖BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
DE/BC = 2/3 implic˘a k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Teorema bisectoarei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
(c) Orice solut¸ie: analitic˘a (de exemplu axa Ox dat˘a de BC, axa Oy dat˘a de ˆın˘alt¸imea
prin A), vectorial˘a sau sintetic˘a (Menelaus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Modelarea enunt¸ului sub form˘a de graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(a) Orice solut¸ie corect˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Implementarea corect˘a a relat¸iilor de prietenie cu ajutorul unei structuri de adiacent¸˘a . . . . . . . . . . 1 p
Orice solut¸ie corect˘a, indiferent de complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
la care se adaug˘a pentru o solut¸ie de complexitate O(n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
¸si pentru o solut¸ie de complexitate mai bun˘a decˆat O(n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Programele nu au gre¸seli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Claritatea rezolv˘arilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
1Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă examen de admitere din 2016 pentru Informatică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.