Răspuns pe scurt
Pentru orice număr real x, √(x²) = |x|. Rezultatul radicalului este pozitiv sau zero, chiar dacă x este negativ. Astfel, √(x²) este x pentru x ≥ 0 și −x pentru x < 0.
Pentru orice număr real x, √(x²) = |x|. Rezultatul radicalului este pozitiv sau zero, chiar dacă x este negativ. Astfel, √(x²) este x pentru x ≥ 0 și −x pentru x < 0.
Ia x = −7. Pătratul său este 49, iar √49 = 7. Dacă ai „tăia” radicalul cu pătratul și ai lăsa x, ți-ar ieși −7. Tocmai aici intervine modulul. Ghidul este pentru elevii de clasele VII–VIII care reiau radicalii la teme sau pentru pregătirea de examen; exemplele sunt construite pentru explicație.
Modulul păstrează distanța față de zero
Modulul unui număr este distanța lui față de 0 pe axa numerelor. Numerele −7 și 7 sunt la aceeași distanță de 0, deci |−7| = |7| = 7. Pentru zero, |0| = 0. Definiția este ilustrată în manualul de matematică pentru clasa a VII-a, pagina 20.
Ca să afli √(x²), cauți un număr pozitiv sau zero al cărui pătrat este x². |x| îndeplinește ambele condiții. Pentru x ≥ 0, modulul păstrează x; pentru x < 0, ia opusul −x, care este pozitiv și are același pătrat.
Regula √(x²) = |x| este prezentată și de OpenStax, în lecția despre radicali.
La √((x − 5)²), verifici întreaga paranteză
Pătratul se aplică întregii expresii x − 5. Ea poate fi pozitivă, zero sau negativă, așa că regula dă:
√((x − 5)²) = |x − 5|.
Ca să scrii fără modul, verifici când x − 5 este pozitiv sau zero și când este negativ:
- Dacă x ≥ 5, atunci x − 5 ≥ 0, deci |x − 5| = x − 5.
- Dacă x < 5, atunci x − 5 < 0, deci |x − 5| = −(x − 5) = 5 − x.
Poți controla cele două cazuri cu valori aflate de o parte și de alta a lui 5. Verifică și valoarea 5, unde paranteza devine zero.
| x | x − 5 | √((x − 5)²) |
|---|---|---|
| 2 | −3 | √9 = 3 |
| 5 | 0 | √0 = 0 |
| 8 | 3 | √9 = 3 |
La x = 2, răspunsul scris ca x − 5 ar fi −3. Formula pentru acest caz este 5 − x și dă 3. La x = 8, folosești x − 5 și obții tot 3. Numerele de sub radical sunt egale în aceste două exemple, deși parantezele au semne diferite.
Unde apar cele două soluții ale lui x² = 49?
Ecuația cere toate valorile care verifică egalitatea: 7² = 49 și (−7)² = 49, deci x = 7 sau x = −7. Cele două soluții pot fi scrise și x = ±7. Simbolul √49 singur înseamnă 7. Manualul arată trecerea de la ecuația cu pătrat la cea cu modul la ecuațiile de forma x² = a, pagina 42.
În geometrie contează și ce reprezintă x: o lungime de latură este pozitivă. Vezi cum se folosește această condiție la aflarea unei catete cu teorema lui Pitagora.
Un minus din fața radicalului rămâne acolo
Calculează separat cele trei expresii. La a doua, observă minusul aflat în afara radicalului:
- √((−9)²)
- −√((−9)²)
- √((3 − 8)²)
Prima expresie dă √81 = 9. În a doua, calculezi același radical și abia apoi aplici minusul din față: −√81 = −9. În a treia, paranteza este 3 − 8 = −5; după pătrat ai 25, deci rezultatul este 5.
Pentru o verificare fără caiet, acoperă răspunsurile și urmărește cele două semne minus din a doua expresie. Unul intră în pătratul parantezei, celălalt se aplică după radical. Refă calculul în această ordine.