Pregătire cu un profesor

Examen de admitere
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba scris˘a – Matematic˘a
septembrie 2024
Versiunea 1
1. [4 puncte] Dac˘a f : R → R, f (x) = xe−x+2, atunci f ′(2) este egal˘a cu:
A. 0
B. 1
3
C. e
2
D. −1
E. −1
e
F. 1
2
Solut¸ie: Deoarece f ′(x) = (1 − x)e−x+2, pentru orice x ∈ R, rezult˘a c˘a f ′(2) = −1.
2. [5 puncte] Dac˘a f : [0, 1] → R, f (x) = x2 + x + 2
x2 + 1 , atunci valoarea integralei
1∫
0
f ′(x)e2f (x)dx este:
A. e2(e2 − 1)
2
B. 1
2
C. e
2
D. 0
E. −1
F. e2 − e
2
Solut¸ie: Avem:
1∫
0
f ′(x)e2f (x)dx = 1
2e2f (x)
∣
∣
∣1
0
= 1
2
(e2f (1) − e2f (0)).
Deoarece f (0) = f (1) = 2, rezult˘a c˘a valoarea cerut˘a este egal˘a cu 0.

Subiect · pagina 2

3. [4 puncte] Pe mult¸imea numerelor reale, R, definim legea de compozit¸ie asociativ˘a x◦y =
3xy − 2x − 2y + 2, x, y ∈ R. Simetricul elementului x = 3 fat¸˘a de aceast˘a lege este:
A. elementul x = 3 nu este simetrizabil
B. 2
C. 7
3
D. 1
E. 5
7
F. 2
3
Solut¸ie: Se obt¸ine c˘a e = 1 este element neutru al acestei legi de compozit¸ie, iar
dac˘a x′ ar fi simetricul lui x egalitatea x ◦ x′ = 1 arat˘a c˘a x′ exist˘a ¸si x′ = 5
7.
4. [5 puncte] Pentru a ∈ C, consider˘am matricele A(a) =
( 2 + a 5
1 −a
)
. Suma ele-
mentelor mult¸imii M = {a ∈ C : A(a) nu este inversabil˘a } este:
A. 5
B. 1
C. 2
D. 12
E. 7
F. −2
Solut¸ie: Matricea A(a) nu este inversabil˘a dac˘a ¸si numai dac˘a det(A(a)) = 0 ceea
ce este echivalent cu a2 + 2a + 5 = 0. Mult¸imea M este deci mult¸imea solut¸iilor
(complexe) ale acestei ecuat¸ii ¸si atunci, conform relat¸iilor lui Vi´ete, suma cerut˘a este
egal˘a cu −2.
5. [4 puncte] Suma p˘atratelor solut¸iilor ecuat¸iei log3(3x) + logx2 9 = 7
2 este
A. 53
B. 30
C. 21
D. 3 + √3
E. 9√3 + 3
F. 84
Solut¸ie: ˆIn condit¸iile de existent¸˘a (x > 0, x 6 = 1) ecuat¸ia este echivalent˘a cu
1 + log3 x + 1
2 logx 32 = 7
2,
sau echivalent, log3 x+ 1
log3 x − 5
2 = 0. Se obt¸ine c˘a log3 x ∈
{1
2, 2
}
, ceea ce conduce
la faptul ca x ∈ {√3, 9}. Suma cerut˘a este egal˘a cu 84.
2

Subiect · pagina 3

6. [4 puncte] Fie a, b ∈ R ¸si polinomul p = X4 −X2 +4aX −b ∈ R[X]. Dac˘a x1 = 1−i ∈ C
este r˘ad˘acin˘a a polinomului p, atunci restul ˆımp˘art¸irii polinomului p la X2 − 2X + 2 este
egal cu
A. X − i
B. 2X − 1
C. −i
D. 0
E. X
F. X + 1
Solut¸ie: Deoarece p ∈ R[X], iar x1 = 1−i este r˘ad˘acin˘a, rezult˘a c˘a ¸si x2 = x1 = 1+i
este tot o r˘ad˘acin˘a a polinomului p. Atunci p se va divide prin (X −.1+i)(X −1−i) =
X2 − 2X + 2, deci restul cerut este polinomul nul.
7. [5 puncte] Fie f, F : R → R, f (x) = ex sin x, F (x) = (a sin x + b cos x)ex. Perechea (a, b)
de numere reale, pentru care funct¸ia F este o primitiv˘a a funct¸iei f este
A. (1, 0)
B. (1, 1)
C.
(1
2, −1
2
)
D. (1, −1)
E. (−1, 1)
F.
(
(0, 3
2
)
Solut¸ie: Funct¸ia F este derivabil˘a ¸si F ′(x) = ((a−b) sin x+(a+b) cos x)ex. Rezult˘a
c˘a funct¸ia F va fi o primitiv˘a a funct¸iei f dac˘a ¸si numai dac˘a
{ a − b = 1
a + b = 0 , sistem
cu solut¸ia
(1
2, −1
2
)
.
8. [5 puncte] ˆIntr-un reper cartezian fixat, consider˘am punctele A(−2, 1), B(a, 3) ¸si respec-
tiv C(2, 2). Fie M, N, P mijloacele laturilor [BC], [AC], respectiv [AB]. Suma numerelor
reale a pentru care aria ∆M N P este egal˘a cu 1 este:
A. 8
B. 1
C. 2
D. 0
E. 12
F. −3
Solut¸ie: Avem c˘a A∆ABC = 1
2|
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1
−2 a 2
1 3 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣ | = |a − 6|
2 . Deoarece A∆M N P =
1
4A∆ABC , rezult˘a c˘a |a − 6| = 8 ceea ce este echivalent cu a ∈ {−2, 14}.
3

Subiect · pagina 4

9. [5 puncte] Fie A =
(2 −1
1 0
)
∈ M2(R). Atunci matricea A2024 este egal˘a cu
A. 2024I2
B. 21012I2
C. I2
D. 2024A − 2023I2
E. 2024(A − I2)
F. 2024A
Solut¸ie: Avem c˘a A = I2 + B, unde B =
(1 −1
1 −1
)
∈ M2(R).
Deoarece B · I2 = I2 · B, iar B2 = O2, rezult˘a (conform formulei binomului lui
Newton) c˘a An = C0
nI2 + C1
nB = I2 + nB = I2 + n(A − I2) = nA − (n − 1)I2, pentru
orice n ∈ N.
O alt˘a variant˘a posibil˘a de rezolvare este determinarea prin induct¸ie a formei matricei
An.
10. [5 puncte] Fie f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x
√x . Cˆate din urm˘atoarele afirmat¸ii sunt
adev˘arate:
(i) f ′(e2) = 1;
(ii) Funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe (0, ∞);
(iii) Funct¸ia f este derivabil˘a pe (0, ∞);
(iv) x = e2 este punct de extrem local pentru funct¸ia f ;
(v) Funct¸ia f are un unic punct de extrem local.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
F. 5
Solut¸ie: Funct¸ia f este raportul bine definit a dou˘a funct¸ii derivabile pe (0, ∞) ¸si
deci funct¸ia f este derivabil˘a pe intervalul (0, ∞), iar f ′(x) = 2 − ln x
2x√x , pentru orice
x ∈ (0, ∞). Atunci f ′(e2) = 0 6 = 1. Rezult˘a c˘a afirmat¸ia (i) este fals˘a, iar (iii) este
adev˘arat˘a.
Funct¸ia f ′ este pozitiv˘a pe intervalul (0, e2) ¸si negativ˘a pe intervalul (e2, ∞) ceea
ce arat˘a c˘a f nu este monoton˘a pe intervalul (0, ∞), iar punctul critic x = e2 este
punct de maxim local, deci afirmat¸ia (ii) este fals˘a, iar afirmat¸ia (iv) este adev˘arat˘a.
Funct¸ia f este derivabil˘a pe intervalul deschis (0, ∞), iar unicul punct critic, x0 = e2,
este punct de maxim local pentru f . Rezult˘a c˘a afirmat¸ia (v) este adev˘arat˘a.
4

Subiect · pagina 5

11. [4 puncte] Suma S = 1 + i + i2 + i3 + . . . + i2024, unde i ∈ C cu i2 = −1, este egal˘a cu:
A. 0
B. −1
C. 1
D. −i
E. i
F. 2024
Solut¸ie: Deoarece in + in+1 + in+2 + in+3 = 0, pentru orice n ∈ N, iar 2024 = 4 · 506,
se obt¸ine c˘a c˘a S = 1.
12. [5 puncte] ˆIn triunghiul ∆ABC se ¸stie c˘a AB = 4, AC = 3√3, iar m(̂BAC) = π
6 .
Distant¸a de la vˆarful A la latura [BC] este egal˘a cu:
A. 6
B. 6√3
7
C. 6√21
7
D. 3√21
7
E. 2√2
F. 23
Solut¸ie: Avem c˘a A∆ABC = AB · AC · sin( ˆA)
2 = 3√3. Pe de alta parte A∆ABC =
d(A, BC) · BC
2 ¸si deci d(A, BC) = 2A∆ABC
BC . Din Teorema Cosinusului se obt¸ine c˘a
BC = √7, ceea ce conduce la faptul c˘a d(A, BC) = 6√21
7 .
13. [5 puncte] Distant¸a de la punctul A(2, 0) la mijlocul segmentului [BC], cu B(−1, 1) ¸si
C(5, −1), este:
A. 3
B. 1
C. −1
D. √2
E. 0
F. 4
Solut¸ie: Dac˘a M noteaz˘a mijlocul segmentului [BC] atunci xM = xB + xC
2 = 2, iar
yM = yB + yC
2 = 0. Rezult˘a c˘a M = A ¸si deci distant¸a cerut˘a este egal˘a cu 0.
5

Subiect · pagina 6

14. [4 puncte] Dac˘a x1, x2, x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului f = X3 − X2 + 3, iar a =
1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
¸si b = x2x3
x1
+ x1x3
x2
+ x1x2
x3
atunci a2 − b2 − ab este egal cu:
A. 5
3
B. −4
3
C. 0
D. −4
E. 18
F. 15
2
Solut¸ie: Conform relat¸iilor lui Vi´ete S1 = x1 +x2 +x3 = 1, S2 = x1x2 +x1x3 +x2x3 =
0, iar S3 = x1x2x3 = −3. Deoarece a = S2
S3
= 0, iar b = x2
1x2
2 + x2
1x2
3 + x2
2x2
3
x1x2x3
=
S2
2 − 2S1S3
S3
= −2 se obt¸ine c˘a a2 − b2 − ab = −4.
15. [4 puncte] Valoarea limitei lim
x→−∞(√x2 + 2x + x) este:
A. −∞
B. 2
C. 1
D. 0
E. −1
F. 1
2
Solut¸ie:
lim
x→−∞(√x2 + 2x + x) = lim
x→−∞
2x
√x2 + 2x − x = lim
x→+∞
2
−
√
1 + 2
x − 1
= −1.
16. [5 puncte] Valoarea num˘arului complex a ∈ C pentru care matricea A =( a − 1 2 − a
a −a
)
este inversa matricei B =
( 1 −3
1 −2
)
este:
A. 5
B. 1
C. 2
D. −2
E. −1
F. 0
Solut¸ie: Matricea A este inversa matricei B dac˘a ¸si numai dac˘a AB = I2, ceea ce
este echivalent cu
( 1 −a − 1
0 −a
)
=
( 1 0
0 1
)
. Se obt¸ine c˘a a = −1.
6

Subiect · pagina 7

17. [4 puncte] Aria suprafet¸ei cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f : [−1, 2] → R, f (x) = x2 − x,
axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = −1, respectiv x = 2, este:
A. 3
B. 5
6
C. 5
3
D. 1
6
E. 11
6
F. 2
Solut¸ie:
AΓf =
2∫
−1
|x2 − x| dx =
0∫
−1
(x2 − x) dx +
1∫
0
(x − x2) dx +
2∫
1
(x2 − x) dx =
=
(x3
3 − x2
2
)∣
∣
∣0
−1
+
(x2
2 − x3
3
)∣
∣
∣1
0
+
(x3
3 − x2
2
)∣
∣
∣2
1
=
= 5
6 + 1
6 + 5
6 = 11
6 .
18. [5 puncte] Fie sistemul de ecuat¸ii liniare



(m + 1)x + y + mz = −5
x − y − mz = 10
(2 − m)x + y + z = 1 − m
, a c˘arui ma-
trice o not˘am cu A(m), unde m ∈ R. Consider˘am propriet˘at¸ile:
(i) det(A(2)) = 4;
(ii) Pentru orice m ∈ R sistemul este compatibil;
(iii) Suma elementelor m ∈ R pentru care sistemul este incompatibil este egal˘a cu −1;
(iv) Valoarea num˘arului real m pentru care (1, 3, −4) este solut¸ie a sistemului dat este
m = 3 ;
(v) Exist˘a m ∈ R pentru care sistemul dat admite dou˘a solut¸ii distincte.
Una din afirmat¸iile de mai jos este adev˘arat˘a. Care este aceasta?
A. Toate propriet˘at¸ile sunt adev˘arate.
B. Numai propriet˘at¸ile (i) ¸si (v) sunt adev˘arate.
C. Singura proprietate fals˘a este (ii).
D. Toate propriet˘at¸ile sunt false.
E. Singurele propriet˘at¸i adev˘arate sunt (iii) ¸si (iv).
F. Numai propriet˘at¸ile (i), (iii) ¸si (iv) sunt adev˘arate.
Solut¸ie: Avem c˘a det(A(m)) = (m+2)(m−1) ¸si deci det(A(2)) = 4, ceea ce implic˘a
faptul c˘a (i) este adev˘arat˘a.
Pentru m = −2 avem un minor principal al sistemului pe ∆p =
∣
∣
∣
∣ 1 −1
4 1
∣
∣
∣
∣ = 5 6 = 0
c˘aruia ˆıi corespunde minorul caracteristic ∆c =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−1 1 −5
1 −1 10
4 1 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 25 6 = 0, ceea ce
arat˘a c˘a sistemul este incompatibil, deci proprietatea (ii) este fals˘a
Analog ca mai sus se arat˘a c˘a ¸si pentru m = 1 sistemul este incompatibil ¸si cum
pentru m ∈ R\{−2, 1} avem c˘a sistemul este de tip Cramer (deci compatibil) rezult˘a
7

Subiect · pagina 8

c˘a singurele valori ale lui m ∈ R pentru care sistemul este incompatibil sunt m = −2
¸si m = 1. Rezult˘a c˘a proprietatea (iii) este adev˘arat˘a.
Tripletul (1, 3, −4) este solut¸ie a sistemului dat dac˘a ¸si numai dac˘a sunt verificate
simultan egalit˘at¸ile m + 1 + 3 − 4m = −5, 1 − 3 + 4m = 10, respectiv 2 − m + 3 − 4 =
1 − m, ceea ce se ˆıntˆampl˘a dac˘a ¸si numai dac˘a m = 3, deci proprietatea (iv) este
adev˘arat˘a.
Sistemul admite dou˘a solut¸ii distincte dac˘a ¸si numai dac˘a este compatibil nedeter-
minat. Din cele de mai sus rezult˘a c˘a sistemul dat este fie compatibil determinat, fie
incompatibil. Deci, proprietatea (v) este fals˘a.
19. [4 puncte] Valoarea num˘arului m ∈ R, pentru care dreptele d1 : (m + 1)x − 2y + 3 = 0
¸si respectiv d2 : 3x + y − 1 = 0 sunt paralele, este:
A. −7
B. 3
7
C. 0
D. 2024
E. √2
F. 23
Solut¸ie: Dreptele d1 ¸si d2 sunt paralele dac˘a ¸si numai dac˘a au aceea¸si pant˘a, deci
m + 1
2 = −3, ceea ce este echivalent cu m = −7.
20. [4 puncte] Integrala nedefinit˘a a funct¸iei f : R → R, f (x) = x sin x este:
A.
∫
f (x) dx = x cos x + C
B.
∫
f (x) dx = −x cos x + C
C.
∫
f (x) dx = x2
2 sin x − x cos x + C
D.
∫
f (x) dx = x2
2 sin x + x cos x + C
E.
∫
f (x) dx = −x cos x + sin x + C
F.
∫
f (x) dx = −x cos x − sin x + C
Solut¸ie: Conform formulei de integrare prin p˘art¸i, vom avea:
∫
f (x) dx = −
∫
x(cos x)′dx = −x cos x +
∫
cos x dx = −x cos x + sin x + C.
Num˘arul total de puncte este: 90
8

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2024Informatică · Subiect și baremDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2024 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2024

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1