Pregătire cu un profesor

Examen de admitere
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba scris˘a – Matematic˘a
iulie 2024
1. [4 puncte] Derivata funct¸iei f : (0, +∞) → R, f (x) = x 1
x are, ˆın fiecare punct x > 0,
valoarea:
A. f ′(x) = x 1
x · ln x
B. f ′(x) = x 1
x · −1
x2
C. f ′(x) = x 1
x · ln x
x2
D. f ′(x) = (x 1
x ) · 1−ln x
x2
E. f ′(x) = x 1
x
F. f nu este derivabil˘a pe (0, ∞)
Solut¸ie: T, inem seama de egalitatea x 1
x = e 1
x ·ln x, valabil˘a pentru orice x > 0, s, i
aplic˘am regulile de derivare:
f ′(x) =

e 1
x ·ln x
′
= e 1
x ·ln x ·
 1
x · ln x
′
= x 1
x · (ln x)′ · x − (ln x) · x′
x2 = x 1
x · 1 − ln x
x2 .
2. [4 puncte] ˆIn reperul cartezian xOy se consider˘a dreapta de ecuat¸ie d : 2x − y = 5.
Dreapta perpendicular˘a pe dreapta d ˆın punctul A(1, −3) are ecuat¸ia:
A. x + y = −2
B. x + 2y = 5
C. x + 2y = −5
D. x − 2y = 7
E. x
2 + y = 5
2
F. −x
2 + y = 5
2
Solut¸ie: O dreapt˘a perpendicular˘a pe dreapta d are ecuat¸ia x + 2y = C. Constanta
C se determin˘a punˆand condit¸ia ca punctul A s˘a apart¸in˘a dreptei, de unde rezult˘a
c˘a punctul C are valoarea −5.

Subiect · pagina 2

3. [5 puncte] Valoarea limitei lim
x→0
sin(3x) + 5x3 − 3x2 − 3x
x2(x + 1)2 este:
A. 0
B. ∞
C. -3
D. 3
E. 1
F. nu exist˘a
Solut¸ie: Folosind propriet˘at¸ile limitelor, avem:
L = lim
x→0
sin(3x) + 5x3 − 3x2 − 3x
x2(x + 1)2 = lim
x→0
1
(x + 1)2 ·

5x − 3 − 3x − sin(3x)
x2

=
= 1 ·

0 − 3 − 9 · lim
y→0 y · y − sin(y)
y3

= −3 − 9 · 0 · 1
6 = −3.
(Am notat y = 3x ¸si am calculat, folosind regula lui l’Hˆospital,
lim
y→0
y − sin(y)
y3 = lim
y→0
1 − cos(y)
3y2 = lim
y→0
sin(y)
6y = 1
6 .

4. [5 puncte] Fie sistemul de ecuat¸ii:



−3x + y + 2z = 5
x + 2y − 4z = −6
ax − 3y + 2z = 1.
Care dintre afirmat¸iile de mai jos este adev˘arat˘a?
A. Sistemul este incompatibil pentru orice valoare a lui a
B. Sistemul este compatibil nedeterminat pentru orice a ∈ R
C. Cˆand sistemul este compatibil determinat, solut¸ia sa depinde de a
D. Exist˘a o valoare a pentru care sistemul este incompatibil
E. Sistemul este compatibil determinat pentru a̸ = 2
F. Sistemul este compatibil determinat pentru orice a > 0
Solut¸ie: Matricea sistemului este
A =


−3 1 2
1 2 −4
a −3 2

 .
Calculˆand det(A) = 8(2−a), se poate observa c˘a sistemul este compatibil determinat
pentru a̸ = 2. Astfel, afirmat¸ia E este adev˘arat˘a, iar A, B ¸si F sunt false. Pentru
a̸ = 2, solut¸ia sistemului este x = 0, y = 1, z = 2, deci C este fals˘a, iar dac˘a a = 2,
sistemul este compatibil nedeterminat, solut¸ia acestuia fiind y = 5x
4 + 1, z = 7x
8 + 2,
deci afirmat¸ia D este fals˘a.
2

Subiect · pagina 3

5. [5 puncte] Se consider˘a funct¸ia f : R −→ R, definit˘a prin f (x) = x + cos(x) pentru
orice x ∈ R. Valoarea limitei lim
n→∞
f (1) + f (2) + · · · + f (n)
n2 este:
A. 0
B. ∞
C. 1
2
D. 1
E. 1
4
F. nu exist˘a
Solut¸ie: Avem:
lim
n→∞
f (1) + f (2) + · · · + f (n)
n2 = lim
n→∞
1 + 2 + · · · + n
n2
+ lim
n→∞
cos(1) + cos(2) + · · · + cos(n)
n2
= lim
n→∞
n(n + 1)
2n2 + 0 = 1
2 ,
deoarece
− 1
n = −n
n2 < cos(1) + cos(2) + · · · + cos(n)
n2 < n
n2 = 1
n, n ∈ N∗.
6. [5 puncte] Consider˘am un punct M pe segmentul [AB] de lungime 20 cm. Atunci cea
mai mic˘a valoare, ˆın cm2, a sumei ariilor cercurilor de diametre [AM ] s, i [BM ] este:
A. 200
B. 300
C. 40π
D. 50π
E. 60π
F. 70π
Solut¸ie: Solut, ia 1 Not˘am lungimea segmentului [AM ] cu x. Atunci suma ariilor
cercurilor este πx2
4 + π(20 − x)2
4 = π
2
(x − 10)2 + 100 care are minimul 50π cˆand
x = 10.
Solut, ia 2 Suma ariilor este π
4 ·(AM 2 +BM 2) = π
8 ·(AM +BM )2 +(AM −BM )2 =
π
8 · AB2 + (AM − BM )2 ≥ π
8 · AB2 = 50π cm2, cu egalitate dac˘a ¸si numai dac˘a
AM = BM = 1
2 · AB = 10 cm.
7. [4 puncte] Mult¸imea solut¸iilor din intervalul [0, 2π) ale ecuat¸iei sin(2x)+sin(x) = 0 este:
A. x ∈ 0, π
2 , π, 3π
2
B. x ∈ 0, π
3 , π, 4π
3
C. x ∈ 0, 2π
3 , π, 4π
3
D. x ∈ 0, π
2 , π, 3π
2 , 2π
E. x ∈ 0, π
3 , π, 5π
3
F. x ∈ 0, 2π
3 , 4π
3 , 5π
3
3

Subiect · pagina 4

Solut¸ie: Deoarece sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), ecuat, ia devine:
2 sin(x) cos(x) + sin(x) = 0 ⇐⇒ sin(x)(2 cos(x) + 1) = 0.
Avem dou˘a cazuri:
Cazul 1: sin(x) = 0, deci x ∈ {0, π}, sau
Cazul 2: 2 cos(x) + 1 = 0, sau echivalent cos(x) = −1
2 , deci x ∈ 2π
3 , 4π
3 .
8. [5 puncte] Mult, imea solut, iilor inecuat, iei 2e2x − 5ex + 2 ≤ 0 este:
A. (−∞, 0] ∪ [2, ∞)
B. [0, 2]
C. [0, ln(2)]
D. [− ln(2), ln(2)]
E. (−∞, ln(2)] ∪ [2, ∞)
F. [0, ln(2)] ∪ [2, ∞)
Solut¸ie: Rescriem inecuat, ia sub forma unei inecuat, ii de gradul al doilea ˆın raport
cu y = ex:
2y2 − 5y + 2 ≤ 0 ⇐⇒ (y − 2)(2y − 1) ≤ 0 ⇐⇒ 1
2 ≤ y ≤ 2.
Revenim la x ¸si folosim monotonia funct¸iei logaritmice:
1
2 ≤ ex ≤ 2 ⇐⇒ ln
1
2

≤ x ≤ ln(2) ⇐⇒ − ln(2) ≤ x ≤ ln(2).
9. [4 puncte] Mult, imea tuturor numerelor complexe z ∈ C care verific˘a egalitatea
|z + 2i|2 + |z − 2i|2 = 2|z|2 + 8
este:
A. C
B. {1}
C. {0, 1, i}
D. ∅
E. {2i, -2i}
F. {1, -1, 2i, -2i}
Solut¸ie: Solut, ia 1 Consider˘am z = a + ib, unde a, b ∈ R. Atunci:
|z + 2i|2 = |a + i(b + 2)|2 = a2 + (b + 2)2
|z − 2i|2 = |a + i(b − 2)|2 = a2 + (b − 2)2
|z|2 = a2 + b2
Substituind ˆın egalitate, obt, inem:
a2 + (b + 2)2 + a2 + (b − 2)2 = 2(a2 + b2) + 8
⇔ a2 + b2 + 4b + 4 + a2 + b2 − 4b + 4 = 2a2 + 2b2 + 8
4

Subiect · pagina 5

⇔ 2a2 + 2b2 + 8 = 2a2 + 2b2 + 8,
ceea ce reprezint˘a o identitate adev˘arat˘a pentru orice a, b ∈ R.
ˆIn concluzie, egalitatea este verificat˘a pentru orice z ∈ C.
Solut, ia 2 Cu identitatea paralelogramului |z +w|2 +|z −w|2 = 2(|z|2 +|w|2), valabil˘a
pentru toate numerele complexe z ¸si w, ˆınlocuind w = 2i, obt¸inem c˘a egalitatea din
enunt¸ are loc pentru orice z ∈ C.
10. [4 puncte] Fie A =
a −1 −1
2 0 1

, B =


1 1
b −1
0 1

, cu a, b ∈ R, b̸ = 0. Dac˘a
rang(AB) = 1, atunci a
b este egal cu:
A. 4
B. −4
C. −1
D. 1
E. −3
F. 3
Solut¸ie: Prin calcul direct se obt¸ine AB =
a − b a
2 3

. Cum rang(AB) = 1, trebuie
ca det(AB) = 0, adic˘a 3(a − b) − 2a = 0 ¸si asftel a
b = 3.
11. [5 puncte] Num˘arul matricelor A ∈ M2({0, 1}) pentru care suma elementelor de pe
diagonala principal˘a a matricei AA⊤ este egal˘a cu 3, este:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
F. 6
Observat¸ie: A⊤ reprezint˘a transpusa matricei A.
Solut¸ie: Pentru A =
a b
c d

∈ M2({0, 1}) avem AA⊤ =
a2 + b2 ac + bd
ac + bd c2 + d2

.
Cum ecuat¸ia a2 + b2 + c2 + d2 = 3, cu a, b, c, d ∈ {0, 1}, are 4 solut¸ii (a, b, c, d),
num˘arul de matrice cu proprietatea cerut˘a este 4.
5

Subiect · pagina 6

12. [4 puncte] Valoarea integralei
2Z
0
[x]{x} dx este:
A. 1
B. 3
4
C. 1
3
D. 2
3
E. 1
2
F. 2
Observat¸ie: [x], {x} reprezint˘a partea ˆıntreag˘a, respectiv partea fract¸ionar˘a a num˘arului
real x.
Solut¸ie: Folosind eventual identitatea {x} = x − [x], x ∈ R, obt, inem:
2Z
0
[x]{x} dx =
1Z
0
0 · x dx +
2Z
1
1 · (x − 1) dx = 0 + 1
2 = 1
2.
13. [5 puncte] Fie P ∈ Q[X] un polinom de grad 4 cu proprietatea c˘a funct¸ia polinomial˘a
asociat˘a are valorile P (0) = P (1) = 1, P (2) = 4, P (3) = 9 ¸si P (4) = 16. Atunci P (−1)
este
A. P (−1) = 0
B. P (−1) = 2
C. P (−1) = 4
D. P (−1) = 6
E. P (−1) = 8
F. P (−1) = 10
Solut¸ie: Mult¸imea zerourilor polinomului R = P − X2 este Z(R) = {1, 2, 3, 4}.
Deducem c˘a exist˘a un num˘ar rat¸ional r cu proprietatea c˘a R = r(X − 1)(X − 2)(X −
3)(X − 4). Cum R(0) = 1, obt¸inem c˘a r = 1
24 . Atunci
P (−1) = (−1)2 + R(−1) = 1 + (−2)(−3)(−4)(−5)
24 = 1 + 5 = 6.
14. [5 puncte] Num˘arul solut¸iilor (x, y, z) ∈ R × R × R ale sistemului



x + y + z = 0
x2 + y2 + z2 = 6
x3 + y3 + z3 = 6
este:
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 3
F. 1
6

Subiect · pagina 7

Solut¸ie: Dac˘a (x, y, z) este o solut¸ie a sistemului, atunci
xy + xz + yz = 1
2
(x + y + z)2 − (x2 + y2 + z2) = −3
¸si
xyz = 1
3
(x3 + y3 + z3) − (x + y + z) · (x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz) = 2 .
Folosind relat¸iile lui Vi`ete obt¸inem c˘a polinomul P = (t − x)(t − y)(t − z) ∈
R[t] poate fi rescris sub forma P = t3 − 3t − 2. R˘ad˘acinile acestui polinom fi-
ind t1 = t2 = −1 ¸si t3 = 2, obt¸inem c˘a mult¸imea solut¸iilor sistemului dat este
S = {(−1, −1, 2), (−1, 2, −1), (2, −1, −1)}. Num˘arul solut¸iilor este deci 3.
15. [4 puncte] Dac˘a N =
 a a
a a

| a ∈ R

, elementul neutru E ∈ N pentru operat¸ia
obi¸snuit˘a de ˆınmult¸ire a matricelor pe mult¸imea N este:
A. E = O2×2
B. E = I2
C. E =
 1 1
1 1

D. E = e ·
 1 1
1 1

E. E = π ·
 1 1
1 1

F. E = 1
2 ·
 1 1
1 1

Solut¸ie: Se verific˘a imediat c˘a dac˘a X(a) =
 a a
a a

, atunci X(a)·X(b) = X(2ab).
Elementul neutru este deci E = X 1
2
.
16. [4 puncte] Derivata funct¸iei f :
1
2, +∞

→ R, f (x) =
r x2
2x − 1 are, ˆın fiecare punct
x > 1
2 , valoarea:
A. f ′(x) = 1
2 ·
r2x − 1
x2
B. f ′(x) = 2x − 1
x2√2x − 1
C. f ′(x) = x − 1
(2x − 1)1
2
D. f ′(x) = x − 1
(2x − 1)3
2
E. f ′(x) =
√2x − 1
2x
F. f ′(x) = x + 1
2√2x − 1
Solut¸ie: Aplicˆand regulile de derivare, obt¸inem:
f ′(x) = 1
2
r x2
2x − 1
 x2
2x − 1
′
= x − 1
(2x − 1)3
2
, x > 1
2.
7

Subiect · pagina 8

17. [5 puncte] Valoarea integralei
1Z
0
e2x
1 + ex dx este:
A. e − 1 + ln 1
1 + e
B. e − 1 − ln 2
1 + e
C. e + 1 + ln 1
1 + e
D. e + 1 + ln 2
1 + e
E. e − 1 + ln 2
1 + e
F. e − 1 − ln 2
1 − e
Solut¸ie: Not˘am cu f funct, ia de sub semnul integral. Se consider˘a funct, ia φ : [2, 1 +
e] → [0, 1], φ(u) = ln(u − 1). Folosim prima formul˘a de schimbare de variabil˘a s, i
obt¸inem:
1Z
0
e2x
1 + ex dx =
Z φ(1+e)
φ(2)
f (x)dx =
Z 1+e
2
f (φ(u))φ′(u)du
=
1+eZ
2
(u − 1)2
u · 1
u − 1 du =
1+eZ
2
u − 1
u du
= u 1+e
2
− ln u 1+e
2
= e − 1 + ln 2
1 + e.
18. [4 puncte] ˆIntr-un reper cartezian fixat, consider˘am dreptele de ecuat¸ii d1 : 2x−y+1 = 0,
d2 : 2x + y + 1 = 0, d3 : 2x + y − 2 = 0, d4 : 2x − y − 2 = 0 ¸si d5 : 2x − y = 0. Num˘arul
total de puncte de intersect¸ie ale celor 5 drepte este:
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
E. 6
F. 10
Solut¸ie: Avem dreptele paralele d1||d4||d5 ¸si d2||d3. Cum d2 intersecteaz˘a d1, d4, d5 in
3 puncte, iar d3 intersecteaz˘a d1, d4, d5 in 3 puncte, num˘arul punctelor de intersect¸ie
este 2 × 3 = 6.
8

Subiect · pagina 9

19. [5 puncte] ˆIntr-un reper cartezian fixat, consider˘am punctele A(−2, 1), B(1, 3), C(2, 2)
¸si D(−3, 2). Cˆate din urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
(i) ABCD este paralelogram;
(ii) ACBD este paralelogram;
(iii) Triunghiurile ABC si ACD au aceeasi arie;
(iv) Dreptele AB si CD sunt paralele;
(v) Triunghiurile ABC si ABD au aceeasi arie.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
F. 5
Solut¸ie: Cum segmentele [AB] si [CD] au acela¸si mijloc, deducem c˘a ACBD este
paralelogram, adic˘a (ii). Rezult˘a c˘a ¸si afirmat¸iile (iii) ¸si (v) sunt adev˘arate. De
asemenea, avˆand pante diferite, dreptele AB ¸si CD nu sunt paralele. Prin urmare,
(i) ¸si (iv) sunt false.
20. [4 puncte] Fie f : R → R definit˘a prin relat, iile f (x) = arctan 1+x
1−x dac˘a x̸ = 1 s, i
f (1) = 0. S˘a se calculeze valoarea limitei lim
x→1 f ′(x).
A. 0
B. limita nu exist˘a
C. π
2
D. 1
2
E. -π
2
F. niciuna dintre variantele ment, ionate mai sus
Solut¸ie: Funct¸ia f este derivabil˘a pe mult, imea R \ {1}, cu derivata:
f ′(x) = 1
1 + 1+x
1−x
2 ·
 1 + x
1 − x
′
= 1
1 + x2 , x ∈ R \ {1}.
Trecˆand la limit˘a pentru x → 1, obt, inem valoarea 1
2 .
Num˘arul total de puncte este: 90
9

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2024Informatică · Subiect și baremDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2024 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2024

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1