Pregătire cu un profesor

Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba de Matematic˘a - Clasa a XII-a
20 aprilie 2024
Versiunea 1
1. [6 puncte] Fie f : R → R o funct¸ie derivabil˘a cu f ′(x) = (x + 1)2(x − 1)(x + e)4(x − π)7,
x ∈ R. Cˆate puncte de maxim local are funct¸ia f ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
F. 5
Solut¸ie: Funct¸ia f are patru puncte critice: −e, −1, 1 ¸si π. Dintre acestea, x1 = −1
¸si x2 = −e sunt puncte “¸sa” (exist˘a vecin˘at˘at¸i ale acestora pe care derivata are semn
constant), x3 = 1 este punct de maxim local, iar x4 = π este punct de minim local.
2. [5 puncte] Fie f : R → R, f (x) =
cos xZ
sin x
et2
dt. Atunci f ′(π
4 ) are valoarea:
A. eπ2
16
B. 1
C. 2e
D. −√2e
E. −2√e
F. 2eπ2
16
Solut¸ie: Fie G : R → R o primitiv˘a a funct¸iei continue g : R → R, g(t) = et2
.
Conform formulei Leibnitz-Newton, f (x) = G(cos x) − G(sin x), x ∈ R. Deci f este
ˆıntr-adev˘ar derivabil˘a, iar conform Teoremei de derivare a funct¸iilor compuse avem
c˘a f ′(x) = −g(cos x) sin x − g(sin x) cos x = −ecos2 x sin x − esin2 x cos x, x ∈ R. Se
obt¸ine c˘a f ′(π
4 ) = −√2e.

Subiect și barem · pagina 2

3. [6 puncte] Fie f : R → R o funct¸ie de dou˘a ori derivabil˘a pe R cu proprietatea c˘a
f ′′(x) = 2x − 2, x ∈ R, f (0) = 1, iar tangenta la graficul funct¸iei ˆın punctul de abscis˘a
x = 1 este paralel˘a cu axa Ox. Atunci legea care define¸ste valorile funct¸iei f este:
A. f (x) = 2
3x3 − x2 + x + 1
B. f (x) = x3 − x2 − x + 1
C. f (x) = 1
3x3 + x2 + x + 1
D. f (x) = 1
3x3 − x2 − x + 1
E. f (x) = 1
3x3 − 2x2 + x + 1
F. f (x) = 1
3x3 − x2 + x + 1
Solut¸ie: Panta tangentei la graficul funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 1 este f ′(1)
¸si deci f ′(1) = 0 (panta dreptei Ox). Cum (f ′)′(x) = 2x − 2, x ∈ R, rezult˘a c˘a exist˘a
o constant˘a a ∈ R astfel ˆıncˆat f ′(x) = x2 − 2x + a pentru orice x ∈ R. Cum f ′(1) = 0
se obt¸ine c˘a a = 1 ¸si deci f ∈ R (x2 − 2x + 1)dx. Exist˘a atunci b ∈ R astfel ˆıncˆat
f (x) = 1
3 x3 − x2 + x + b, x ∈ R. Cum f (0) = 1 se obt¸ine c˘a f (x) = 1
3x3 − x2 + x + 1,
x ∈ R.
4. [7 puncte] Relativ la funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = 4x − 1
8x · 4x consider˘am urm˘atoarele
afirmat¸ii:
(i) f nu are asimptote;
(ii) f are asimptote orizontale spre −∞ ¸si +∞, dar nu are asimptote verticale;
(iii) f are asimptote orizontale spre −∞ ¸si +∞ ¸si o singur˘a asimptot˘a vertical˘a;
(iv) f are asimptot˘a orizontal˘a spre +∞ ¸si nu are asimptote verticale;
(v) f are asimptot˘a orizontal˘a spre +∞ ¸si o singur˘a asimptot˘a vertical˘a.
Care dintre aceste afirmat¸ii este adev˘arat˘a?
A. doar (i)
B. doar (ii)
C. doar (iii)
D. doar (iv)
E. doar (v)
F. niciuna dintre afirmat¸ii
Solut¸ie: Deoarece lim
x→∞ f (x) = lim
x→∞
1 − 4−x
8x = 0, rezult˘a c˘a dreapta de ecuat¸ie y = 0
este asimptot˘a orizontal˘a spre +∞.
Avem c˘a exist˘a lim
x→−∞ f (x) = lim
x→−∞
1 − 4−x
8x = +∞ ¸si deci graficul funct¸iei f nu
admite asimptot˘a orizontal˘a spre −∞.
De asemenea exist˘a lim
x→0 f (x) = lim
x→0
4x − 1
x
1
8 · 4x = ln 4
8 ¸si deci nu exist˘a asimptote
verticale la graficul funct¸iei f .
2

Subiect și barem · pagina 3

5. [6 puncte] Pentru care din funct¸iile de mai jos aria subgraficului este egal˘a cu
lim
n→∞
nX
k=1
4
n
r
3 + 4k
n ?
(i) f1 : [−6, −2] → R+, f (x) = √9 + x;
(ii) f2 : [0, 4] → R+, f (x) = √3 + x;
(iii) f3 : [3, 4] → R+, f (x) = √x.
A. numai pentru f1
B. numai pentru f2
C. numai pentru f3
D. numai pentru f1 ¸si f2
E. pentru toate funct¸iile
F. pentru niciuna dintre funct¸ii
Solut¸ie: Dac˘a pentru n ∈ N∗ consider˘am diviziunile d1
n =

−6 + 4k
n : k = 0, n

a intervalului [−6, −2], d2
n =
4k
n : k = 0, n

a intervalului [0, 4] ¸si sistemele de
puncte intermediare ξd1
n =

−6 + 4k
n : k = 1, n

asociat diviziunii d1
n, respectiv,
ξd2
n =
4k
n : k = 1, n

asociat diviziunii d2
n avem c˘a, ||d1
n|| = ||d2
n|| = 4
n → 0, iar
σ f1; d1
n, ξd1
n
 = σ f2; d2
n, ξd2
n
 =
nX
k=1
4
n
r
3 + 4k
n , n ≥ 1.
Deoarece f1 ¸si f2 sunt continue, rezult˘a c˘a
lim
n→∞
nX
k=1
4
n
r
3 + 4k
n = lim
n→∞ σ f1; d1
n, ξd1
n
 = lim
n→∞ σ f2; d2
n, ξd2
n
 =
=
−2Z
−6
√9 + xdx =
4Z
0
√3 + xdx = 2
3
p(3 + x)3 4
0
=
= 2
3
7√7 − 3√3.
Prin calcul direct avem c˘a
4Z
3
√xdx = 2
3
4√4 − 3√3.
3

Subiect și barem · pagina 4

6. [7 puncte] Fie A ∈ M2(C) astfel ˆıncˆat A3 + 5A − 3I2 = 02, unde I2 =
 1 0
0 1

, iar
02 =
 0 0
0 0

. Care dintre urm˘atoarele matrice este inversa matricei A?
A. 1
5
A2 − 2I2

B. 1
5
A2 − 3I2

C. 1
3
A2 + 5I2

D. 1
3
A2 − 3I2

E. 1
3
A2 − 5I2

F. 1
5
A2 + 3I2

Solut¸ie: Egalitatea A3 + 5A − 3I2 = 02 este echivalent˘a cu A(A2 + 5I2) = 3I2, ceea
ce arat˘a c˘a matricea A este inversabil˘a ¸si A−1 = 1
3
A2 + 5I2
.
7. [6 puncte] Pe mult¸imea M = {(x, y) : x, y ∈ R} definim operat¸iile:
(x, y) ∗ (u, v) = (x + u, y + v)
(x, y) ◦ (u, v) = (x, yv) , (x, y), (u, v) ∈ M.
Care dintre afirmat¸iile de mai jos sunt adev˘arate?
(P1) (x, y) ∗ (u, v) ◦ (z, t) = (x, y) ◦ (z, t) ∗ (u, v) ◦ (z, t), (∀)(x, y), (u, v), (z, t) ∈ M ;
(P2) (z, t) ◦ (x, y) ∗ (u, v) = (z, t) ◦ (x, y) ∗ (z, t) ◦ (u, v), (∀)(x, y), (u, v), (z, t) ∈ M ;
(P3) “◦” admite element neutru.
A. toate afirmat¸iile
B. numai (P1)
C. numai (P2)
D. niciuna dintre afirmat¸ii
E. numai (P1) ¸si (P2)
F. numai (P1) ¸si (P3)
Solut¸ie: Avem c˘a (x, y) ∗ (u, v) ◦ (z, t) = (x + u, y + v) ◦ (z, t) = (x + u, yt + vt),
iar (x, y) ◦ (z, t) ∗ (u, v) ◦ (z, t) = (x, yt) ∗ (u, vt) = (x + u, yt + vt), pentru orice
(x, y), (u, v), (z, t) ∈ M , ceea ce arat˘a c˘a afirmat¸ia (P1) este adev˘arat˘a.
Deoarece (z, t) ◦ (x, y) ∗ (u, v) = (z, t) ◦ (x + u, y + v) = (z, yt + vt), iar (z, t) ◦
(x, y) ∗ (z, t) ◦ (u, v) = (z, yt) ∗ (z, vt) = (2z, yt + vt) rezult˘a c˘a afirmat¸ia (P2) nu
este verificat˘a.
Dac˘a (a, b) ∈ M ar fi element neutru al legii de compozit¸ie “◦”, atunci (a, b)◦(x, y) =
(x, y) pentru orice (x, y) ∈ M sau, echivalent, (a, by) = (x, y) pentru orice (x, y) ∈ M .
Contradict¸ie. Rezult˘a c˘a afirmat¸ia (P3) nu este verificat˘a.
4

Subiect și barem · pagina 5

8. [6 puncte] Pe mult¸imea A = Z8 (a claselor de resturi modulo 8) consider˘am operat¸iile
x ∗ y = x + y + ˆ6
x ◦ y = xy − ˆ2x − ˆ2y + ˆ6 , x, y ∈ Z8.
Cunoscˆand c˘a (A, ∗, ◦) este un inel, s˘a se determine mult¸imea divizorilor lui zero din
acest inel.
Not˘a: Un element d ∈ A, diferit de elementul nul 0A al inelului, se nume¸ste divizor al
lui zero dac˘a exist˘a d′ ∈ A \ {0A} astfel ˆıncˆat d ◦ d′ = 0A sau d′ ◦ d = 0A.
A. {ˆ2}
B. {ˆ4}
C. {ˆ2, ˆ4}
D. {ˆ0, ˆ2, ˆ4}
E. {ˆ0, ˆ2, ˆ4, ˆ6}
F. {ˆ0, ˆ4, ˆ6}
Solut¸ie: Se verific˘a imediat c˘a elementul nul al inelului este 0A = ˆ2. Dac˘a x ∈ A\{ˆ2}
este un divizor al lui zero, atunci exist˘a y ∈ A\{ˆ2} astfel ˆıncˆat x◦y = ˆ2, sau echivalent
(x − ˆ2)(y − ˆ2) = ˆ0. Obt¸inem c˘a x ∈ {ˆ0, ˆ4, ˆ6}. Se verific˘a imediat c˘a ˆ0 ◦ ˆ6 = ˆ4 ◦ ˆ6 = ˆ2,
ceea ce arat˘a c˘a mult¸imea divizorilor lui zero din inelul (A, ∗, ◦) este egal˘a cu {ˆ0, ˆ4, ˆ6}.
9. [7 puncte] Dac˘a A, B ∈ M3(C) cu det(A) = 5, det(B) = −2, iar A∗ noteaz˘a adjuncta
matricii A, atunci det(2B−1A∗) este egal cu:
A. −5
B. 5
C. −20
D. 20
E. −100
F. 100
Solut¸ie: Deoarece det(B−1) =  det(B)−1 = −1
2, det(A∗) =  det(A)2 = 52, avem
c˘a det(2B−1A∗) = 23 det(B−1) det(A∗) = 8 ·

− 1
2

· 52 = −100.
10. [5 puncte] Ordinul elementului σ =
 1 2 3 4 5 6 7
5 2 6 4 7 1 3

∈ S7 este:
A. 1
B. 5
C. 8
D. 6
E. 2
F. 12
Solut¸ie: Se obt¸ine σ2, σ3, σ4̸ = e (e fiind permutarea identitate din S7), iar σ5 = e.
Deci ord(σ) = 5.
5

Subiect și barem · pagina 6

11. [5 puncte] Dac˘a a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi, consider˘am sistemul de
ecuat¸ii liniare 


ay + bx = c
az + cx = b
bz + cy = a
.
Care din afirmat¸iile de mai jos sunt adev˘arate?
(P1) Sistemul este incompatibil;
(P2) Sistemul este compatibil determinat;
(P3) Sistemul este compatibil nedeterminat;
(P4) Sistemul este compatibil determinat, iar dac˘a (x0, y0, z0) este solut¸ia sa atunci
x0, y0, z0 ≥ 1;
(P5) Sistemul este compatibil determinat, iar dac˘a (x0, y0, z0) este solut¸ia sa atunci
x0, y0, z0 ∈ (−1, 1);
A. Numai (P1)
B. Numai (P2)
C. Numai (P2) ¸si (P4)
D. Numai (P2) ¸si (P5)
E. Niciuna din afirmat¸ii
F. Numai (P3)
Solut¸ie: Matricea sistemului este A =


b a 0
c 0 a
0 c b

 ¸si deci det(A) = −2abc̸ = 0.
Aceasta arat˘a c˘a sistemul este compatibil unic determinat (deci afirmat¸ia (P2) este
adev˘arat˘a). Conform formulelor lui Cramer se obt¸ine x0 = b2 + c2 − a2
2bc = cos A ∈
(−1, 1) (deoarece m( ˆA) ∈ (0, π)), y0 = a2 + c2 − b2
2ac = cos B ∈ (−1, 1), iar x0 =
a2 + b2 − c2
2ab = cos C ∈ (−1, 1). Rezult˘a c˘a afirmat¸ia (P5) este ¸si ea adev˘arat˘a.
12. [6 puncte] Fie x1, x2 ¸si x3 r˘ad˘acinile polinomului X3 + X + 1 ∈ C[X]. Urm˘atorul deter-
minant x1(1 + x2 − x3) x2(1 + x3 − x1) x3(1 + x1 − x2)
x1 + x2 x3 + x1 x2 + x3
x1(x2
1 − x2x3) x2(x2
2 − x3x1) x3(x2
3 − x1x2)
are valoarea:
A. −1
B. 1
C. 0
D. i
E. −i
F. 1+i
2
Solut¸ie: Observ˘am, pe baza relat¸iilor lui Vi`ete, c˘a x1 + x2 + x3 = 0. Adun˘am apoi
coloanele a doua ¸si a treia la prima coloan˘a. Noile elemente ale primei coloane au
valorile x1 + x2 + x3 = 0, 2(x1 + x2 + x3) = 0, respectiv x3
1 + x3
2 + x3
3 − 3x1x2x3 =
(x1 + x2 + x3)(x2
1 + x2
2 + x2
3 − x1x2 − x2x3 − x3x1) = 0. Prin urmare, determinantul
este egal cu 0.
6

Subiect și barem · pagina 7

13. [6 puncte] Pentru care dintre valorile num˘arului natural n specificate mai jos polinomul
(X − 1)n + 2Xn + 2 ∈ C[X] se divide cu polinomul X2 + 1 ∈ C[X]?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
E. 10
F. 2024
Solut¸ie: Polinomul X2 + 1 are r˘ad˘acinile i ¸si −i. Prin urmare, conform Teoremei
lui B´ezout, (i − 1)n + 2in + 2 = 0 ¸si (−i − 1)n + 2(−i)n + 2 = 0. Dac˘a n este multiplu
de 4 (adic˘a n = 4k cu k ∈ N), atunci in = (i4)k = 1 ¸si (i − 1)n = ((i − 1)4)k = (−4)k.
Ecuat¸ia (i − 1)n + 2in + 2 = 0 devine (−4)k + 4 = 0, care are solut¸ia unic˘a k = 1.
Deducem c˘a n = 4. Observ˘am, de asemenea, c˘a (−i − 1)4 + 2(−i)4 + 2 = 0. Calcule
similare arat˘a c˘a ecuat¸iile de mai sus nu sunt verificate ˆın cazul ˆın care n nu este un
multiplu de 4.
14. [5 puncte] S˘a se determine suma coeficient¸ilor restului ˆımp˘art¸irii polinomului f =
X2024 + X2 + 1 ∈ C[X] la polinomul g = X1012 + X3 − 2 ∈ C[X].
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
F. 2024
Solut¸ie: Din teorema ˆımp˘art¸irii cu rest exist˘a ¸si sunt unice polinoamele q, r ∈ C[X]
cu propriet˘at¸ile f = gq + r ¸si grad(r) < grad(g). Observ˘am c˘a suma coeficient¸ilor
restului r se obt¸ine prin calculul valorii acestui rest ˆın punctul x = 1. Astfel, suma
c˘autat˘a este r(1) = f (1) − g(1)q(1) = 3 − 0 · q(1) = 3.
15. [7 puncte] Dac˘a n ∈ N∗ este fixat, valoarea integralei In =
1Z
0
{nx}2023dx (unde {a}
reprezint˘a partea fract¸ionar˘a a num˘arului real a) este:
A. In = 1
n3 − 6n2 + 11n + 2018;
B. In = 1
2024n;
C. In = 1
2024
D. In = 1
n2 − 3n + 2026
E. In = 1
2023n + 1;
F. In = 1
2025n − 1
Solut¸ie: Funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) = {nx} este periodic˘a de perioad˘a T = 1
n ¸si
7

Subiect și barem · pagina 8

atunci
In =
Z 1
0
{nx}2023dx = n
Z 1/n
0
{nx}2023dx = n
Z 1/n
0
(nx)2023dx =
= n2024 x2024
2024
1/n
0
= 1
2024.
8

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2024Informatică · Subiect și baremDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2024 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2024

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect și barem · pagina 1