Pregătire cu un profesor

Concursul FMI Barem
Facultatea de Matematic˘a s, i Informatic˘a
Universitatea de Vest din Timis, oara
Aprilie, 2024
1. Timpul total de lucru: 3 ore
2. Toate subiectele sunt obligatorii!
3. Citit, i cu atent, ie informat, iile legate de tipurile de întreb˘ari, prezentate mai jos.
Tipuri de întreb˘ari
Pe foaia de concurs vet, i întâlni trei tipuri de întreb˘ari. Pentru a le recunoas, te mai us, or, în partea dreapt˘a
vet, i reg˘asi un s, ablon pentru r˘aspunsuri, cu indicat, ii legate de tipul de întrebare.
Tipul 1 Pentru întreb˘arile de acest tip vet, i marca pe foaia de concurs MODEL, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 4un singur r˘aspuns corect. Le vet, i recunoas, te dup˘a modelul indicat
în partea dreapt˘a a acestui rând.
Punctaj pe întrebare: 2p (standard)+1p (bonus pentru r˘aspuns complet).
Tipul 2 Pentru întreb˘arile de acest tip vet, i marca pe foaia de concurs MODEL, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5fie un singur r˘aspuns corect, fie dou˘a r˘aspunsuri corecte. Le vet, i
recunoas, te dup˘a modelul indicat în partea dreapt˘a a acestui rând.
Punctaj maxim pe întrebare: 2p (standard)+1p (bonus pentru r˘aspuns complet) sau 2x2p (standard, pe
variant˘a)+1p (bonus pentru r˘aspuns complet).
Tipul 3 Pentru întreb˘arile de acest tip vet, i marca pe foaia de concurs MODEL, marcat, i 1-3 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5fie un singur r˘aspuns corect, fie dou˘a r˘aspunsuri corecte, fie trei
r˘aspunsuri corecte. Le vet, i recunoas, te dup˘a modelul indicat în
partea dreapt˘a a acestui rând.
Punctaj maxim pe întrebare: 2p (standard)+1p (bonus pentru r˘aspuns complet) sau 2x2p/2x3p (stan-
dard, pe variant˘a)+1p (bonus pentru r˘aspuns complet).
Punctaj
Fiecare variant˘a de r˘aspuns corect˘a valoreaz˘a exact 2 puncte. Dac˘a r˘aspunsul oferit identific˘a toate vari-
antele corecte de r˘aspuns, la punctajul întreb˘arii se adaug˘a un bonus pentru r˘aspuns complet de 1 punct.
Orice r˘aspuns gres, it anuleaz˘a întregul punctaj al întreb˘arii respective, indiferent de num˘arul de r˘aspunsuri
corecte.
La punctajul obt, inut se adaug˘a 10 puncte, pentru start.
Pentru nota 5 sunt necesare 48 de puncte, inclusiv punctele de start, pentru nota 10 sunt necesare 86 de
puncte, inclusiv punctele de start.

Subiect și barem · pagina 2

2
Problema 1: Triunghiuri magice
Se dau trei puncte distincte A, B, C. Se s, tiu ca fiind adev˘arate urm˘atoarele afirmat, ii:
A1: Lungimea segmentului AB este egal˘a cu lungimea segmentului AC.
A2: Lungimea segmentului BC este egal˘a cu de dou˘a ori lungimea segmentului AB.
Care dintre afirmat, iile de mai sus sunt suficiente pentru ca ABC s˘a
fie triunghi echilateral? Ciorn˘a, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 4
1 Doar A1.
2 Doar A2.
3 A1 ¸si A2.
4 Niciuna "
Explicat, ii
Segmentele nu pot forma un triunghi deoarece într-un triunghi suma a dou˘a laturi
este întotdeauna mai mare decât a treia latur˘a. Dac˘a suma a dou˘a laturi este egal˘a cu
lungimea celei de-a treia atunci este vorba despre un triunghi degenerat în care 3 vârfuri
sunt coliniare.
Problema 2: Dr. Car
Dr. Car îs, i preg˘ates, te mas, ina cu 4 rot, i pentru un nou sezon. Pentru sigurant, ˘a, mas, ina este dotat˘a cu cinci
cauciucuri identice, oricare dintre acestea devenind inutilizabil dup˘a o rulare de 4 000 km. Dr. Car îs, i pro-
pune s˘a ajung˘a, printre altele, în localit˘at, ile ACity (la o distant, ˘a de 3 950km), AVillage (4 450km), ATown
(4 950 km) s, i Another (5 450 km).
În câte dintre localit˘at, ile ment, ionate poate ajunge, înainte de a fi
nevoit s˘a cumpere cauciucuri noi? Ciorn˘a, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 4
1 Doar in ACity.
2 Poate ajunge s, i în AVillage, pe
lâng˘a ACity.
3 Cu sigurant, ˘a, s, i în ATown, pe
lâng˘a cele de mai sus. "
4 În toate localit˘at, ile, f˘ar˘a în-
doial˘a.
Explicat, ii
Fie C1, C2, C3, C4, C5 cele 5 cauciucuri, Putem parcurge 5000 km cu ele dac˘a le folosim în
felul urm˘ator: primii 1000 km cu C1, C2, C3, C4; urm˘atorii 1000 km cu C5, C2, C3, C4; ur-
m˘atorii 1000 km cu C5, C1, C3, C4; urm˘atorii 1000 km cu C5, C1, C2, C4; ultimii 1000 km cu
C5, C1, C2, C3. În felul acesta, fiecare cauciuc este rulat exact 4000 km, maxim posibil. Prin
urmare putem ajunge în ACity, AVillage s, i ATown, dar nu în Another.
Problema 3: Identificarea lui C
Pe o insul˘a se g˘asesc dou˘a grup˘ari de persoane: Vedetele s, i R˘azboinicii. În timp ce Vedetele spun doar
adev˘arul, R˘azboinicii sunt permanent mincinos, i. Aflat în c˘autarea lor, exploratorul Explorer întâlnes, te un

Subiect și barem · pagina 3

concursul fmi@uvt, aprilie 2024 3
grup de trei persoane, A, B s, i C, despre care afl˘a urm˘atoarele:
• A spune despre B c˘a este din gruparea R˘azboinicilor.
• B spune c˘a atât A cât s, i C sunt din aceeas, i grupare.
Din ce grupare face parte C? Ciorn˘a, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 4
1 C este un R˘azboinic. "
2 C este o Vedet˘a.
3 Nu putem determina.
4 C ar putea fi Explorator.
Explicat, ii
Rat, ionamentul lui E este urm˘atorul:
Dac˘a A spune adev˘arul, atunci B este un R˘azboinic, prin urmare este mincinos, ceea ce
înseamn˘a c˘a A s, i C nu sunt din acelas, i grup. Prin urmare, C este tot R˘azboinic;
Dac˘a A este un R˘azboinic, atunci afirmat, ia despre B este o minciun˘a, deci B este un
Vedet˘a. Prin urmare, a doua afirmat, ie este adev˘arat˘a, iar C este R˘azboinic.
As, adar, concluziile pe care le poate trage sunt urm˘atoarele: A s, i B nu fac parte din
acelas, i grup; C este R˘azboinic.
Problema 4: Descoperirea pasiunii pentru tenis
Patru colegi, dou˘a studente, A s, i C, s, i doi student, i, B s, i D, stau împreun˘a la o mas˘a p˘atrat˘a, fiecare pe câte
o latur˘a, cu fat, a c˘atre mijlocul mesei. Fiecare dintre aces, tia practic˘a un sport diferit în timpul liber.
Trebuie s˘a afl˘am care dintre ei/ele este pasionat/˘a de tenis, s, tiind urm˘atoarele: a) Cel/cea pasionat/˘a
de înot s, ade la stânga lui A. b) Cel/cea pasionat/˘a de gimnastic˘a este în fat, a lui B. c) C s, i D stau unul
lâng˘a cel˘alalt. d) În fat, a celui/celei pasionat/e de patinaj se g˘ases, te o student˘a. e) Fie cei doi student, i stau
unul lâng˘a cel˘alalt, fie C prefer˘a patinajul.
Care dintre urm˘atorii poate fi pasionat de tenis? Ciorn˘a, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 4
1 B 2 D 3 A " 4 C
Explicat, ii
Pe baza informat, iilor oferite, deducem urm˘atoarele:
1. La stânga lui A este înot˘atorul
2. B se poate afla fie la stânga lui A, fie în fat, a lui A; nu poate fi la dreapta lui A deoarece
ar avea în fat, ˘a pasionatul de înot!
3. Dac˘a B ar fi în fat, a lui A, afirmat, ia legat˘a de C s, i D nu ar fi adev˘arat˘a, prin urmare B
este în stânga lui A, pasionat de înot, pasionatul de gimnastic˘a este în dreapta lui A s, i în
fat, a lui B.
4. Rezult˘a c˘a fie A este pasionat de patinaj, fie este pasionat de tenis. Dac˘a este pasionat
de patinaj, în fat, a lui se afl˘a C, dar propozit, ia suplimentar˘a spune c˘a C este pasionat de
patinaj, deoarece b˘aiet, ii nu stau unul lâng˘a altul!
5. Prin urmare, studenta A este pasionat˘a de tenis.

Subiect și barem · pagina 4

4
Problema 5: Dan’l Webster
S, ase broscut, e care au participat la marele concurs organizat în memoria lui Mark Twain s-au întors pe
lac, pe s, ase frunze de nuf˘ar dispuse circular, fiecare pe câte o frunz˘a. Deoarece doresc s˘a petreac˘a, vor
încerca s˘a se adune pe o singur˘a frunz˘a. Pentru aceasta, în fiecare minut exact dou˘a broscut, e sar pe o
frunz˘a al˘aturat˘a, indiferent dac˘a pe acea frunz˘a se mai g˘asesc alte broscut, e. Dup˘a câte minute se vor putea
g˘asi împreun˘a pe o singur˘a frunz˘a, pentru a începe petrecerea?
0
12
54
3
Ciorn˘a, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 4
1 Niciodat˘a " 2 3 minute 3 10 minute 4 o or˘a
Explicat, ii
S˘a presupunem c˘a petrecerea va fi pe frunza 0. Broscu¸tele de pe frunzele 1, 3, 5 trebuie
s˘a fac˘a un num˘ar impar de salturi ca s˘a ajung˘a pe frunza 0. Broscu¸tele de pe frunzele 0,
2,4 trebuie s˘a fac˘a un num˘ar par de salturi ca s˘a ajung˘a acolo. Num˘arul total de salturi al
celor 6 broscu¸te ca s˘a ajung˘a pe frunza 0 este suma a 3 numere impare cu 3 numere pare,
adic˘a num˘ar impar. Dac˘a se fac 2 salturi/minut, num˘arul total de salturi în n minute este
2 · n, num˘ar par. Deci este imposibil ca broscu¸tele s˘a se strâng˘a pe frunza 0.
Problema 6: Cut the rod
Împ˘aratul Ros, u trebuie s˘a construiasc˘a o nou˘a arip˘a a palatului s˘au. Pentru aceasta, se înt, elege cu echipa
de mes, teri mari, calfe s, i zidari, ca la sfâr¸situl fiec˘arei luni k s˘a existe într-un cuf˘ar o cantitate de aur cu greu-
tatea k × G, iar echipa va lua întregul cuf˘ar odat˘a cu finalizarea construct, iei.
Deoarece întreaga munc˘a va dura 11 luni, iar Împ˘aratul Ros, u are pentru aceasta o bar˘a destul de lung˘a
de aur, cu o greutate egal˘a cu 23 × G, acesta îs, i pune problema t˘aierii acesteia cu un num˘ar minim de
t˘aieturi, astfel încât s˘a poat˘a realiza pl˘at, ile lunare, dup˘a ce bijutierul l-a asigurat c˘a poate decupa orice
bucat˘a de greutate k × G folosind o singur˘a t˘aietur˘a. Ciorn˘a, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 4
1 10 t˘aieturi. 2 7 t˘aieturi. 3 4 t˘aieturi. " 4 3 t˘aieturi.

Subiect și barem · pagina 5

concursul fmi@uvt, aprilie 2024 5
Explicat, ii
Luna 1: k=1, 1 t˘aietur˘a
Luna 2: k=2, 1 t˘aietur˘a (se scoate bucata k=1 s, i se pune bucata cu k=2)
Luna 3: k=1+2 (se pun ambele buc˘at, i), 0 t˘aieturi
Luna 4: k=4 (se taie o bucata de 4 s, i se scot celelalte 2 din cuf˘ar), 1 t˘aietur˘a
Luna 5: k=4+1 (bucata de 4 s, i bucata de 1), 0 t˘aieturi
Luna 6: k=4+2 (bucata de 4 s, i bucata de 2), 0 t˘aieturi
Luna 7: k=4+2+1 (toate cele 3 buc˘at, i), 0 t˘aieturi
Luna 8: k=4+4 (se taie o bucata de 4 s, i se pune cu cealalt˘a bucata de 4), 1 t˘aietur˘a
Luna 9: k=4+4+1 (doua buc˘at, i de 4 s, i una de 1), 0 t˘aieturi
Luna 10: k=4+4+2 (doua buc˘at, i de 4 s, i una de 2), 0 t˘aieturi
Luna 11: k=4+4+2+1 (toate cele 4 buc˘at, i t˘aiate), 0 t˘aieturi
Problema 7: Aliniere
Un grup de 10 oameni t˘acut, i cu în˘alt, imi diferite stau aliniat, i, unul în spatele celuilalt. Aces, tia trebuie s˘a
se organizeze astfel încât cel mai înalt s˘a fie primul, dar fiecare poate privi doar în fat, ˘a. Dac˘a cineva e mai
înalt îl va anunt, a pe cel din fat, ˘a b˘atându-l pe um˘ar. În cadrul unui pas mai mult, i oameni pot face schimb,
dar fiecare poate face schimb o singur˘a dat˘a. Dac˘a exist˘a o ordine A, B, C, astfel încât A < B s, i B < C,
atunci C îl va devansa pe B în primul pas s, i pe A în al doilea pas. Drept urmare, la fiecare pas un om va
avea urm˘atoarele opt, iuni:
• observ˘a c˘a este mai înalt decât cel din fat, a sa, s, i va trece în fat, a acestuia.
• observ˘a c˘a e mai scund decât cel din fat, a sa, s, i va r˘amâne pe loc.
• cel din spate e mai înalt, s, i va fi devansat.
Cât, i pas, i sunt necesari pentru a ne asigura c˘a cel mai înalt dintre ei
ajunge primul? Ciorn˘a, marcat, i exact un r˘aspuns:
1 2 3 41 100 2 10 3 9 " 4 55
Explicat, ii
În cel mai r˘au caz, cel mai înalt se afl˘a pe ultima pozit, ie, N. Pentru ca acesta s˘a ajung˘a pe
prima pozit, ie el va trebui s˘a bat˘a pe um˘ar N − 1 persoane. Drept urmare, avem nevoie de
N − 1 pas, i pentru a garanta c˘a cel mai înalt se afl˘a pe prima pozit, ie, indiferent unde s-ar
afla la început. În cazul nostru N = 10, deci r˘aspunsul este 9.
Problema 8: Bile
Într-o cutie se afl˘a zece bile albe s, i zece bile negre. Care este num˘arul
minim de bile care ar trebui extrase din cutie, pe nev˘azute, astfel
încât s˘a avem cel put, in o pereche alb-negru? Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5

Subiect și barem · pagina 6

6
1 2 2 10 3 11 " 4 19 5 toate
Explicat, ii
În cel mai r˘au caz se pot extrage consecutiv 10 bile de aceeas, i culoare. Deci, abia a un-
sprezecea bil˘a ne va garanta obt, inerea unei perechi alb-negru.
Problema 9: Cifre
Se consider˘a zece numere, reprezentate folosind doar cifrele 0 s, i 1. Despre aceste numere se cunosc ur-
m˘atoarele informat, ii: a) primul num˘ar cont, ine o cifr˘a nenul˘a b) al doilea num˘ar cont, ine dou˘a cifre nenule
c) fiecare dintre numerele urm˘atoare va cont, ine de dou˘a ori mai multe cifre nenule fat, ˘a de num˘arul prece-
dent d) ultimul num˘ar din acest˘a serie va cont, ine exact o cifr˘a nul˘a.
Câte cifre nule vor cont, ine, în total, cele zece numere, s, tiind c˘a toate
sunt scrise cu acelas, i num˘ar total de cifre? Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
1 777 2 4107 " 3 107 4 10123 5 123
Explicat, ii
Ultimul num˘ar are 29 + 1 cifre. În total, cele 10 numere au 10 · (29 + 1) cifre, dintre care
∑10
k=1 2k−1 sunt 1. Rezult˘a c˘a num˘arul de cifre egale cu 0 este 10 · (29 + 1) − ∑10
k=1 2k−1 =
4107.
Problema 10: Broscut, a
O broscut, ˘a poate trece de pe un mal pe altul al unei ape, s˘arind pe nis, te nuferi. Exist˘a s, apte nuferi, în linie,
iar broscut, a poate s˘ari fie pe frunza învecinat˘a, fie peste frunza învecinat˘a, direct pe urm˘atoarea. Broscut, a
se deplaseaz˘a într-un singur sens, pân˘a ajunge pe cel˘alalt mal. Deoarece broscut, a foloses, te de fiecare dat˘a
o alt˘a rut˘a pentru a traversa apa, estimat, i num˘arul total de alternative pe care le are broscut, a la dispozit, ie.
Cu sigurant, ˘a sunt destule pentru o zi! Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 51 13 2 20 3 27 4 24 5 34 "
Explicat, ii
Importante sunt salturile, nu frunzele. Broscut, a are nevoie de 8 salturi:
(A) poate trece dintr-o parte în alta s˘arind din frunz˘a în frunz˘a (o rut˘a).
(B) poate trece dintr-o parte în alta s˘arind o data peste o frunz˘a, în rest din frunz˘a în
frunz˘a, sunt 7 rute (de fapt, 7!/(1!*6!)).
(C) poate trece dintr-o parte în alta s˘arind de doua ori peste o alta frunz˘a, în rest din
frunz˘a în frunz˘a, vom avea 6!/(2!*4!) = 15 rute.
(D) poate trece dintr-o parte în alta s˘arind de trei ori peste o alt˘a frunz˘a, s, i odat˘a din
frunz˘a în frunz˘a, vom avea: 5!(3!*2!) = 10 rute.
(E) poate trece dintr-o parte în alta s˘arind din 2 în 2 (o rut˘a).
În total avem 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34 rute.

Subiect și barem · pagina 7

concursul fmi@uvt, aprilie 2024 7
Problema 11: Baze de numerat, ie
Un student descoper˘a urm˘atoarea adunare, într-o notit, ˘a mai veche dintr-un curs, unde I, O, C, X sunt cifre
diferite, iar I nenul:
I O O +
I O O
C O X
În plus, din notit, ele respective afl˘a c˘a exist˘a o solut, ie unic˘a a acestei adun˘ari. Nu i-a fost greu s˘a afle c˘a,
în baza 10, exist˘a mai mult decât o solut, ie. Prin urmare, îs, i pune problema identific˘arii tuturor bazelor de
numerat, ie pentru care adunarea are o solut, ie unic˘a. Care dintre urm˘atoarele baze de enumerat, ie ofer˘a o
solut, ie unic˘a? Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
1 5 2 2 3 16 4 6 " 5 7 "
Explicat, ii
Solut, ia se bazeaz˘a pe sistemul de ecuat, ii (unde b=baza):
2 · O = b + X
2 · O + 1 = b + O
2I + 1 = C
de unde rezult˘a c˘a O = b − 1 s, i X = b − 2.
Num˘arul de variante se determin˘a analizând câte cifre I satisfac inegalitatea 2 · I + 1 < b
dup˘a care se verific˘a în câte cazuri valoarea lui C e diferit˘a de O s, i X.
Rezult˘a c˘a pentru b = 5 exist˘a doar I = 1 îns˘a conduce la solut, ia 144 + 144 = 343 (cifre
care nu sunt distincte). Pentru b = 6 condit, ia e satisf˘acut˘a pentru I = 1 s, i I = 2, dar e
corect doar pentru I = 1 (155 + 155 = 354) pentru c˘a pentru I = 2 se obt, ine 255 + 255 =
554 s, i cifrele nu sunt distincte.
Pentru b = 7 tot I = 1 s, i I = 2 satisfac condit, ia îns˘a doar pentru I = 1 se obt, ine un caz cu
cifre distincte (166 + 166 = 365).
Problema 12: Misterul vârstei medii
Alex a întârziat la una dintre activit˘at, ile dintr-un grup de studiu, dar odat˘a cu sosirea lui, vârsta medie a
celor aflat, i în grupul de lucru a crescut cu exact 4 ani. Andreea, sora lui geam˘an˘a, a întârziat s, i mai mult.
S, i, lucru interesant, odat˘a cu sosirea ei, vârsta medie a celor aflat, i în sal˘a a crescut cu exact 3 ani.
Câte persoane se aflau în sal˘a, înaintea sosirii lui Alex? Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
1 5 2 6 " 3 7 4 8 5 9

Subiect și barem · pagina 8

8
Explicat, ii
Fie:
S – suma init, ial˘a a vârstelor,
a – vârsta lui Alex s, i a Andreei,
n – num˘arul init, ial de persoane.
Prima condit, ie conduce la S+a
n+1 = S
n + 4, deci S = a · n − 4 · n · (n + 1)
A doua condit, ie conduce la S+2a
n+2 = S+a
n+1 + 3, deci S = a · n − 3 · (n + 1) · (n + 2)
Din egalarea relat, iilor de mai sus rezult˘a 4 · n · (n + 1) = 3 · (n + 1) · (n + 2) de unde
rezult˘a n = 6
Problema 13: Continuarea misterului
S, tiind c˘a cei doi frat, i sunt profesori, iar vârsta acestora este dublul vârstei medii a celor aflat, i init, ial în
grupul de studiu, care este vârsta fiec˘aruia dintre aces, tia? Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
1 25 2 56 " 3 36 4 48 5 62
Explicat, ii
Condit, ia din enunt, conduce la a = 2S
n = S
3 , adic˘a S = 3a.
Se înlocuies, te în prima din relat, iile de la problema anterioar˘a s, i se obt, ine 3·a+a
7 = 3·a
6 + 4
de unde rezult˘a a = 56.
Problema 14: Cuburi
Un cub transparent de latur˘a N este decupat în 1331 de cuburi mai mici, de latur˘a 1, prin t˘aieturi paralele
cu fet, ele cubului init, ial, dup˘a ce fet, ele opuse ale cubului init, ial au fost colorate, dou˘a câte dou˘a, cu ros, u,
galben s, i albastru, respectiv. Determinat, i num˘arul minim de t˘aieturi necesare pentru a obt, ine cele 1331
de cuburi mai mici, precum s, i num˘arul cuburilor rezultate care au fet, ele colorate cu una sau dou˘a culori:
Apoi, aleget, i r˘aspunsul corect dintre urm˘atoarele:
1 33 t˘aieturi s, i 594 cubulet, e colorate cu una sau dou˘a culori Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
2 30 t˘aieturi s, i 108 cubulet, e colorate cu dou˘a culori "
3 30 t˘aieturi s, i 594 cubulet, e colorate cu una sau dou˘a culori "
4 33 t˘aieturi s, i 602 cubulet, e colorate cu una sau dou˘a culori

Subiect și barem · pagina 9

concursul fmi@uvt, aprilie 2024 9
Explicat, ii
1331 = 113, deci N = 11 ¸si se efectueaz˘a 10 t˘aieturi echidistante paralele cu fiecare fa¸t˘a a
cubului. Deducem c˘a:
(1) Num˘arul total de t˘aieturi este 3 · 10 = 30.
(2) Cubule¸tele f˘ar˘a fe¸te colorate sunt cele din "interior"; 93 = 729.
(3) Doar cele 8 cubule¸te din col¸turile cubului ini¸tial au fe¸tele colorate cu 3 culori.
(4) Cubul ini¸tial are 12 muchii; de-a lungul fiec˘areia sunt 9 cubule¸te cu fe¸te colorate cu 2
culori; deci num˘arul cubule¸telor cu fe¸te colorate cu 2 culori este 12 · 9 = 108.
(5) Restul, adic˘a 1331 − 729 − 8 − 108 = 486, au o singur˘a fa¸t˘a colorat˘a.
(6) Num˘arul cubule¸telor cu 1 sau dou˘a fe¸te colorate este 486 + 108 = 594.
Problema 15: Din întuneric
Sorin lucreaz˘a la hotelul California s, i are grij˘a de un culoar cu 10 de becuri, dispuse la distant, ˘a egal˘a,
fiecare cu întrerup˘ator propriu. Pentru c˘a este nev˘az˘ator, el face mai multe ture pentru a se asigura c˘a
unele becuri sunt aprinse pentru oaspet, i. În prima tur˘a va comuta fiecare întrerup˘ator: dac˘a e deschis
acesta va fi închis, s, i invers. În a doua tur˘a, va comuta întrerup˘atoarele corespunz˘atoare multiplilor de 2, în
a treia pe cele corespunz˘atoare multiplilor de 3, s, .a.m.d..
Câte becuri vor fi aprinse dup˘a 5 ture, având în vedere c˘a init, ial toate
becurile erau stinse? Ciorn˘a, marcat, i 1-2 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
1 2 2 5 3 4 4 6 " 5 7
Explicat, ii
Va fi prezentat˘a starea becurilor dup˘a fiecare tur˘a:
Init, ial 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tura 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tura 2: 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Tura 3: 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
Tura 4: 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0
Tura 5: 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1
Dup˘a tura 5 vor fi 6 becuri aprinse.

Subiect și barem · pagina 10

10
Problema 16: Divizibil
Fie dat˘a funct, ia de mai jos s, i matricea al˘aturat˘a, A. A =
15 40 51 61
44 12 33 71
2 33 5 54
12 32 15 45funct, ia RunIt(n, m, a)
mm ← 0
pentru j ← 1, m execut˘a
x ← 0
pentru i ← 1, n execut˘a
dac˘a a[i][j] mod 3 = 0 atunci
x ← x + 1
dac˘a x > mm atunci
mm ← x
întoarce mm
Care din urm˘atoarele variante sunt adev˘arate?
1 RunIt(3, 3, A) → 2 " Ciorn˘a, marcat, i 1-3 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
2 RunIt(2, 4, A) → 2 "
3 RunIt(3, 3, A) → 1
4 RunIt(4, 4, A) → 3 "
5 RunIt(4, 4, A) → 2
Explicat, ii
Algoritmul va calcula num˘arul de elemente divizibile cu 3 în fiecare coloan˘a din ma-
tricea A, returnând valoarea maxim˘a. Parametrii n s, i m vor restrânge num˘arul de linii,
respectiv num˘arul de coloane parcurse.
Problema 17: Recursivitate
Fie urm˘atoarea funct, ie recursiv˘a:
funct, ia RunIt(intreg n) : real
dac˘a n = 1 atunci
întoarce 2
întoarce 1
4 · RunIt(n − 1) + 3
4
Care dintre urm˘atoarele afirmat, ii sunt adev˘arate? Aleget, i toate variantele corecte.
1 Formula recursiv˘a de calcul este: a1 = 2, an+1 = 1
4 an + 3
4 , n ≥ 1 " Ciorn˘a, marcat, i 1-3 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
2 Termenul n al s, irului descris de funct, ia recursiv˘a poate fi scris sub
urm˘atoarea form˘a: a1 = 2, an = 4n−1+1
4n−1 , n ≥ 2 "
3 Termenul n al s, irului descris de funct, ia recursiv˘a poate fi scris sub
urm˘atoarea form˘a: a1 = 2, an = 1
4n−1 + 3
4n−2 , n ≥ 2

Subiect și barem · pagina 11

concursul fmi@uvt, aprilie 2024 11
4 RunIt(0) va returna 3
4 . 5 RunIt(2) = 1.25. "
Explicat, ii
Formula recursiv˘a se deduce din cazul de baz˘a s, i apelul recursiv al funct, iei.
Pentru observarea formulei termenului general se pot dezvolta primii k termeni. De
exemplu, pentru k = 4:
a1 = 2 a2 = 1
4 · 2 + 3
4 = 3+2
4 = 4+1
4 = 41+1
41
a3 = 1
4 · 5
4 + 3
4 = 5
42 + 12
42 = 16+1
16 = 42+1
42
a4 = 1
4 · 17
42 + 3
4 = 17
43 + 48
43 = 64+1
64 = 43+1
43 .
Se poate observa c˘a termenul general an = 4n−1+1
4n−1 .

Subiect și barem · pagina 12

12
Problema 18: Invariant
Se consider˘a secvent, a de mai jos, unde V, Z s, i T sunt tablouri de numere întregi, de dimensiune 2024.
a ← 0; b ← 0; c ← 0
cât timp a < 2024 S, I b < 2024 execut˘a
dac˘a V[a] > T[b] atunci
Z[c] ← V[a]
c ← c + 1
a ← a + 1
altfel
Z[c] ← T[b]
c ← c + 1
b ← b + 1
Care dintre expresiile de mai jos este/sunt adevarat˘a/adevarate pe tot parcursul execut, iei prelucr˘arii repet-
itive?
1 a < 2024 SAU b < 2024" Ciorn˘a, marcat, i 1-3 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
2 a < 2025 S, I b < 2025"
3 c = a + b"
4 a > 2024 S, I b < 2024
5 a < 2024 S, I b > 2024
Explicat, ii
Vom trata fiecare expresie în parte
• a < 2024 SAU b < 2024 – condit, ia din structura repetitiv˘a ne garanteaz˘a c˘a ambele
sunt mai mici decât 2024 pe tot parcursul execut, iei; drept urmare oricare dintre ele
îndeplines, te condit, ia
• a < 2025 S, I b < 2025 – structura repetitiv˘a se va opri înainte de acest rezultat
• c = a + b – variabila c va cres, te indiferent de rezultatul instruct, iunii dac˘a, iar a s, i b vor
cres, te alternativ.
• a > 2024 S, I b < 2024 – dac˘a a > 2024 atunci structura repetitiv˘a se va opri
• a < 2024 S, I b > 2024 – dac˘a b > 2024 atunci structura repetitiv˘a se va opri
Problema 19: Maitreyi
Se consider˘a algoritmul RunMe(n), de mai jos, unde n este un num˘ar natural pozitiv, 1 ≤ n ≤ 1 000 000.
funct, ia RunMe(n)
c ← 0
cât timp n > 0 execut˘a
dac˘a (n mod 3) ≥ 1 atunci n ← n − 1
altfel

Subiect și barem · pagina 13

concursul fmi@uvt, aprilie 2024 13
n ← n div 3
c ← c + 1
întoarce c
Precizat, i care dintre urm˘atoarele afirmat, ii sunt adev˘arate:
1 Algoritmul determin˘a num˘arul de cifre ale unui num˘ar n; Ciorn˘a, marcat, i 1-3 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
2 Algoritmul determin˘a num˘arul de cifre în baza trei ale unui
num˘ar n;
3 Algoritmul determin˘a exponentul celei mai mari puteri a lui 3, cel
mult egal˘a cu num˘arul n; "
4 Algoritmul verific˘a dac˘a un num˘ar n este putere a lui 3;
5 Algoritmul determin˘a un multiplu al lui 3, cel mult egal cu n;
Explicat, ii
Structura repetitiv˘a împarte succesiv num˘arul n la valoarea 3. Dac˘a n este multiplu de
3, atunci variabila c va fi incrementat˘a. De aici rezult˘a c˘a variabila c va num˘ara de câte
ori poate fi împ˘art, it succesiv n la 3, adic˘a exponentul unei puteri a lui 3. Aceast˘a valoare
poate fi cel mult egal˘a cu n.

Subiect și barem · pagina 14

14
Problema 20: O spiral˘a
Se consider˘a un tablou bidimensional a cu NL linii
s, i NC coloane. Care din urm˘atorii algoritmi afis, eaz˘a
elementele tabloului a prin parcurgere sub form˘a de
spiral˘a? O astfel de traversare este ilustrat˘a în figura
al˘aturat˘a:
a[1][1]
a[2][1]
a[NL][1]
a[NL][NC]a[NL][1]
1 Niciunul dintre algoritmii de mai jos Ciorn˘a, marcat, i 1-3 r˘aspunsuri:
1 2 3 4 5
2 funct, ia Spirala(NL, NC, a)
i, l ← 1, c ← 1
cât timp l ≤ NL S, I c ≤ NC execut˘a
pentru i ← c, NC execut˘a
Write a[l][i], " "
l ← l + 1
pentru i ← l, NL execut˘a
Write a[i][NC], " "
NC ← NC − 1
dac˘a l ≤ NL atunci
pentru i ← NC, c, −1 execut˘a
Write a[NL][i], " "
NL ← NL − 1
dac˘a c ≤ NC atunci
pentru i ← NL, l, −1 execut˘a
Write a[i][c], " "
c ← c + 1
"
3 funct, ia Spirala(NL, NC, a)
i, l ← 1, c ← 1
cât timp l ≤ NL S, I c ≤ NC execut˘a
pentru i ← 1, NC execut˘a
Write a[i][NC], " "
NL ← NL − 1
dac˘a l ≤ NL atunci
pentru i ← NC, c, −1 execut˘a
Write a[NC][i], " "
NC ← NC + 1
dac˘a c ≤ NC atunci
pentru i ← NL, l, −1 execut˘a
Write a[i][c], " "
c ← c + 1
pentru i ← c, NL execut˘a
Write a[l][i], " "
l ← l + 1
4 funct, ia Spirala(NL, NC, a)
i, l ← 1, c ← 1
cât timp l ≤ NL S, I c ≤ NC execut˘a
dac˘a l ≤ NL atunci
pentru i ← NC, c, −1 execut˘a
Write a[NL][i], " "
NC ← NC − 1
dac˘a c ≤ NC atunci
pentru i ← NL, l, −1 execut˘a
Write a[i][c], " "
c ← c + 1
pentru i ← c, NC execut˘a
Write a[l][i], " "
l ← l + 1
pentru i ← 1, NL execut˘a
Write a[i][NC], " "
NL ← NL − 1
5 funct, ia Spirala(NL, NC, a)
i, l ← 1, c ← 1
cât timp l ≤ NL S, I c ≤ NC execut˘a
pentru i ← c, NC execut˘a
Write a[l][i], " "
l ← l + 1
pentru i ← 1, NL execut˘a
Write a[i][NC], " "
NC ← NC − 1
dac˘a l ≤ NL atunci
pentru i ← NC, c, −1 execut˘a
Write a[NL][i], " "
NL ← NL − 1
dac˘a c ≤ NC atunci
pentru i ← NL, l, −1 execut˘a
Write a[i][c], " "
c ← c + 1

Subiect și barem · pagina 15

concursul fmi@uvt, aprilie 2024 15
Explicat, ii
Varianta 2: Acest algoritm implementeaz˘a parcurgerea în spiral˘a conform specificat, iilor.
Varianta 3: Ordine gres, it˘a: Algoritmul scrie elementele de pe ultima coloan˘a înc˘a din
prima iterat, ie ( Write a[i][NC], " "), ceea ce este incorect.
Varianta 4: Ordine gres, it˘a: Algoritmul parcurge de la dreapta la stânga ultimul rând
înainte de a fi parcurs primul rând s, i coloana din dreapta
Varianta 5: Ordine gres, it˘a: Des, i începe corect parcurgând de la stânga la dreapta pe
primul rând, a doua structur˘a pentru începe de la valoarea 1 în loc de l, afis, ând mai
multe elemente decât sunt necesare.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2024 pentru Informatică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.