Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Despre acest subiect
Clasa a XII-a
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
Universitatea de Vest Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul de Matematic˘a al Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Edit¸ia a II-a, 21 mai 2016 Clasa a XII-a 1. Fie a ∈ R oarecare, x1, x2 ¸si x3 r˘ad˘acinile polinomului f = X3 − 3X2 + 5X − a, ¸si determinantul ∆ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1 x2 x3 x3 x1 x2 x2 x3 x1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . a) Determinat¸i x1, x2 ¸si x3 dac˘a a = 3. b) Ar˘atat¸i c˘a valoarea determinantului ∆ nu depinde de a. c) Ar˘atat¸i c˘a, pentru orice valoare a lui a ∈ R, polinomul f are exact o r˘ad˘acin˘a real˘a. 2. Fie a, b, c ∈ R trei numere reale distincte dou˘a cˆate dou˘a, iar A matricea sistemului liniar de ecuat¸ii x + y + z = 0 ax + by + cz = 0 a3x + b3y + c3z = 1. a) Ar˘atat¸i c˘a det(A) = (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a). b) Rezolvat¸i sistemul ˆın cazul ˆın care a + b + c 6 = 0. c) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a a + b + c = 0, atunci sistemul este incompatibil. 3. Se consider˘a funct¸ia: f : [1, ∞) → [1, ∞) definit˘a prin f (x) = x(1 + ln x). a) Studiat¸i monotonia lui f . b) Ar˘atat¸i c˘a f este convex˘a. c) Ar˘atat¸i c˘a f este bijectiv˘a ¸si calculat¸i lim x→∞ f −1(x) ln x x . d) Calculat¸i e∫ 1 f (x)dx. 4. Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = √x2 − 2x + 1 admite primitive ¸si calculat¸i ∫ f (x)dx.
Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea de Vest Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul de Matematic˘a al Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Edit¸ia a II-a, 21 mai 2016 Solut¸ii ¸si barem de corectare la Clasa a XII-a 1. Fie a ∈ R oarecare, x1, x2 ¸si x3 r˘ad˘acinile polinomului f = X3 − 3X2 + 5X − a, ¸si determinantul ∆ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1 x2 x3 x3 x1 x2 x2 x3 x1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . a) Determinat¸i x1, x2 ¸si x3 dac˘a a = 3. b) Ar˘atat¸i c˘a valoarea determinantului ∆ nu depinde de a. c) Ar˘atat¸i c˘a, pentru orice valoare a lui a ∈ R, polinomul f are exact o r˘ad˘acin˘a real˘a. Solut¸ie: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Not˘am cu ˜f funct¸ia polinomial˘a asociat˘a polinomului f . Deoarece suma coeficient¸ilor lui f este 0, rezult˘a c˘a ˜f (1) = 0, astfel c˘a o r˘ad˘acin˘a a lui f este 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p, iar f se descompune f = (X − 1)(X2 − 2X + 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p. Rezult˘a c˘a x1 = 1, iar x2,3 = 1 ± i√2 se obt¸in rezolvˆand ecuat¸ia x2 − 2x + 3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 1p. b) Din relat¸iile lui Vi´ete avem c˘a x1 + x2 + x3 = 3 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 5 x1x2x3 = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p. Calculˆand determinantul ∆ avem atunci ∆ = x3 1 + x3 2 + x3 3 − 3x1x2x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ¸si ∆ = (x1 + x2 + x3)(x2 1 + x2 2 + x2 3 − x1x2 − x1x3 − x2x3) = = (x1 + x2 + x3)((x1 + x2 + x3)2 − 3(x1x2 + x1x3 + x2x3)) = 3(32 − 3 · 5) = −18 nu depinde de valoarea lui a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p c) Deoarece ˜f este o funct¸ie polinomial˘a, ea este continu˘a, ¸si cum lim x→−∞ ˜f (x) = −∞ ¸si lim x→∞ ˜f (x) = ∞, rezult˘a c˘a f are cel put¸in o r˘ad˘acin˘a real˘a(putem considera c˘a x1 este aceasta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Cum x2 1 + x2 2 + x2 3 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 32 − 2 · 5 = −1 < 0, cel put¸in o r˘ad˘acin˘a a lui f este complex˘a nereal˘a(putem considera c˘a x2 este aceasta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Dar atunci, cum f este cu coeficient¸i reali, dac˘a x2 ∈ C \ R, atunci x3 = x2 ∈ C \ R ¸si f are exact o r˘ad˘acin˘a real˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p 2. Fie a, b, c ∈ R trei numere reale distincte dou˘a cˆate dou˘a, iar A matricea sistemului liniar de ecuat¸ii x + y + z = 0 ax + by + cz = 0 a3x + b3y + c3z = 1.
Barem · pagina 2
a) Ar˘atat¸i c˘a det(A) = (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a). b) Rezolvat¸i sistemul ˆın cazul ˆın care a + b + c 6 = 0. c) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a a + b + c = 0, atunci sistemul este incompatibil. Solut¸ie: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Sc˘azˆand prima coloan˘a din celelalte, avem det(A) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 1 a b c a3 b3 c3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 a b − a c − a a3 b3 − a3 c3 − a3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ b − a c − a b3 − a3 c3 − a3 ∣ ∣ ∣ ∣ = = (b − a)(c − a) · ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 a2 + ab + b2 a2 + ac + c2 ∣ ∣ ∣ ∣ = (b − a)(c − a)(ac + c2 − ab − b2) = = (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p. b) ˆIn acest caz putem aplica regula lui Cramer, deoarece δ = det(A) = (a+b+c)(a−b)(b−c)(c−a) 6 = 0. Atunci δx = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 1 0 b c 1 b3 c3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = c − b , δy = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 1 a 0 c a3 1 c3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a − c , δz = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 0 a b 0 a3 b3 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = b − a. Obt¸inem x = δx δ = 1 (a+b+c)(b−a)(c−a) , y = δy δ = 1 (a+b+c)(a−b)(c−b) , z = δz δ = 1 (a+b+c)(a−c)(b−c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p. c) ˆIn acest caz, det(A) = 0, iar mp = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 a b ∣ ∣ ∣ ∣ = b − a 6 = 0 este un minor principal al matricei A. Dar atunci minorul caracteristic mc = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 0 a b 0 a3 b3 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = b − a 6 = 0 , astfel c˘a sistemul este incompatibil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p. 3. Se consider˘a funct¸ia: f : [1, ∞) → [1, ∞) definit˘a prin f (x) = x(1 + ln x). a) Studiat¸i monotonia lui f . b) Ar˘atat¸i c˘a f este convex˘a. c) Ar˘atat¸i c˘a f este bijectiv˘a ¸si calculat¸i lim x→∞ f −1(x) ln x x . d) Calculat¸i e∫ 1 f (x)dx.
Barem · pagina 3
Solut¸ie:
start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
a) Calculeaz˘a f ′(x) = 2 + ln x > 0, ∀x ∈ [1, ∞), deci f este strict cresc˘atoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
b) Calculeaz˘a f ′′(x) = 1
x > 0, ∀x ∈ (1, ∞), deci f este convex˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
c) f este strict cresc˘atoare, rezult˘a f injectiv˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
f este funct¸ie continu˘a ¸si f (1) = 1, lim
x→∞ f (x) = ∞, rezult˘a f surjectiv˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Not˘am f −1(x) = y; cˆand x → ∞ rezult˘a y → ∞. Avem:
lim
x→∞
f −1(x) ln x
x = lim
y→∞
y ln f (y)
f (y) = lim
y→∞
ln f (y)
1 + ln y = lim
y→∞
yf ′(y)
f (y) = lim
y→∞
y(2 + ln y)
y(1 + ln y) = 1 . . . . . . . . . . . . 3p
d) Integr˘am prin p˘art¸i.
e∫
1
x(1+ln x)dx = x2
2 (1+ln x)|e
1 −
e∫
1
x
2 dx = 3e2
4 − 1
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
4. Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = √x2 − 2x + 1 admite primitive ¸si calculat¸i ∫ f (x)dx.
Solut¸ie:
start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
f (x) = √x2 − 2x + 1 = |x − 1| =
{
x − 1, x ≥ 1
−x + 1, x < 1 . Rezult˘a c˘a f este continu˘a pe R, deci admite
primitive pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
O primitiv˘a F a lui f este de forma: F (x) =
x2
2 − x + c1, x > 1
c2, x = 1
−x2
2 + x + c3, x < 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
F trebuie s˘a fie continu˘a ˆın x0 = 1, deci lim
x↘1 F (x) = lim
x↗1 F (x) = F (1), de unde: −1
2 + c1 = c2 = 1
2 + c3
¸si obt¸inem c1 = c2 + 1
2 ¸si c3 = c2 − 1
2. Prin urmare, F (x) =
x2
2 − x + 1
2 + c2, x > 1
c2, x = 1
−x2
2 + x − 1
2 + c2, x < 1
. . . . . . . . 2p
Aplicˆand consecint¸a Teoremei lui Lagrange rezult˘a c˘a F este derivabil˘a ˆın x0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Deci ∫ f (x)dx =
x2
2 − x + 1
2, x > 1
0, x = 1
−x2
2 + x − 1
2, x < 1
+ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pContinuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2016 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.