Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Despre acest subiect
Clasa a XI-a
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
21 mai 2016
Clasa a XI-a
1. Calculat¸i valorile urm˘atoarelor limite:
(a) lim
x→0
1 − cos x
x2 ;
(b) lim
x→0
1 − cos x · cos 2x
x2 .
2. Spunem c˘a un ¸sir (xn)n≥0 are proprietatea (R) dac˘a verific˘a egalitatea
6xn+2 − xn+1 − xn = 0
pentru orice n ≥ 0.
(a) Ar˘atat¸i c˘a ¸sirurile (yn)n≥0 ¸si (zn)n≥0 definite prin
yn =
( 1
2
)n
, zn =
(
− 1
3
)n
, (∀)n ≥ 0
au proprietatea (R).
(b) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a α, β ∈ R ¸si ¸sirurile (un)n≥0, (vn)n≥0 au proprietatea (R), atunci ¸sirul (αun + βvn)n≥0 are
de asemenea proprietatea (R).
(c) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a a, b ∈ R, iar (xn)n≥0 este un ¸sir care are proprietatea (R) ¸si pentru care x0 = a, x1 = b,
atunci exist˘a ¸si sunt unic determinate dou˘a numere reale C, D astfel ˆıncˆat
xn = C ·
( 1
2
)n
+ D ·
(
− 1
3
)n
pentru orice n ≥ 0.
(d) Ar˘atat¸i c˘a orice ¸sir cu proprietatea (R) este convergent ¸si are limita 0.
3. Fie A =
( a b
c d
)
∈ M2(R) astfel ˆıncˆat det(A) = tr(A) = 1, unde tr(A) := a + d este urma matricei A.
(a) Ar˘atat¸i c˘a A2 + I2 = A.
(b) Determinat¸i num˘arul de elemente ale mult¸imii {An : n ∈ N}.
(c) Ar˘atat¸i c˘a ecuat¸ia X2016 = I2 are o infinitate de solut¸ii X ∈ M2(R) cu det(X) = tr(X) = 1.
4. Fie a > 0, a 6 = 1, un num˘ar real fixat. Fie funct¸ia Fa : R → M2(R), Fa(x) =
( cosa x sina x
sina x cosa x
)
, (∀)x ∈ R,
unde sina x := ax − a−x
2 , cosa x := ax + a−x
2 .
(a) Ar˘atat¸i c˘a Fa(x) · Fa(y) = Fa(x + y), (∀)x, y ∈ R.
(b) Studiat¸i injectivitatea ¸si surjectivitatea funct¸iei Ga : R → M2(R), Ga(x) = (Fa(x))2016, (∀)x ∈ R.
(c) Rezolvat¸i ecuat¸ia tr(Ga(x)) = 2 det(Ga(x)).Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a 21 mai 2016 Clasa a XI-a – Barem de corectare 1. Calculat¸i valorile urm˘atoarelor limite: (a) lim x→0 1 − cos x x2 ; (b) lim x→0 1 − cos x · cos 2x x2 . Solut¸ie ¸si barem: Observat¸ie: O solut¸ie corect˘a a problemei care utilizeaz˘a regula lui L’Hˆopital se puncteaz˘a cu 10 puncte. Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p (a) lim x→0 1 − cos x x2 = lim x→0 2 sin2 x 2 x2 = 1 2 · lim x→0 sin2 x 2 ( x 2 )2 = 1 2 · ( lim x→0 sin x 2 x 2 )2 = 1 2 · 12 = 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p (b) lim x→0 1 − cos x · cos 2x x2 = lim x→0 1 − cos x + cos x − cos x · cos 2x x2 = lim x→0 1 − cos x x2 + lim x→0 cos x · lim x→0 1 − cos 2x x2 = 1 2 + lim x→0 2 sin2 x x2 = 1 2 + 2 ( lim x→0 sin x x )2 = 1 2 + 2 · 12 = 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6p 2. Spunem c˘a un ¸sir (xn)n≥0 are proprietatea (R) dac˘a verific˘a egalitatea 6xn+2 − xn+1 − xn = 0 pentru orice n ≥ 0. (a) Ar˘atat¸i c˘a ¸sirurile (yn)n≥0 ¸si (zn)n≥0 definite prin yn = ( 1 2 )n , zn = ( − 1 3 )n , (∀)n ≥ 0 au proprietatea (R). (b) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a α, β ∈ R ¸si ¸sirurile (un)n≥0, (vn)n≥0 au proprietatea (R), atunci ¸sirul (αun + βvn)n≥0 are de asemenea proprietatea (R).
Barem · pagina 2
(c) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a a, b ∈ R, iar (xn)n≥0 este un ¸sir care are proprietatea (R) ¸si pentru care x0 = a, x1 = b,
atunci exist˘a ¸si sunt unic determinate dou˘a numere reale C, D astfel ˆıncˆat
xn = C ·
( 1
2
)n
+ D ·
(
− 1
3
)n
pentru orice n ≥ 0.
(d) Ar˘atat¸i c˘a orice ¸sir cu proprietatea (R) este convergent ¸si are limita 0.
Solut¸ie ¸si barem:
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Se verific˘a faptul c˘a ¸sirurile (yn) ¸si (zn) au proprietatea (R) prin calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(b) Se scrie ce ˆınseamn˘a c˘a (un) ¸si (vn) au proprietatea (R):
6un+2 − un+1 − un = 0; 6vn+2 − vn+1 − vn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Se calculeaz˘a
6(αun+2 +βvn+2)−(αun+1 +βvn+1)−(αun +βvn) = α (6un+2 − un+1 − un)+β (6vn+2 − vn+1 − vn) = 0 . . . 1p
de unde rezult˘a c˘a ¸sirul (αun + βvn)n≥0 are proprietatea (R)
(c) Se caut˘a mai ˆıntˆai valori ale lui C, D care s˘a verifice pentru termenii init¸iali:
C + D = a
C · 1
2 + D ·
(
− 1
3
)
= b.
Se rezolv˘a sistemul liniar de mai sus cu necunoscutele C, D ¸si se obt¸ine solut¸ia unic˘a:
C = 2a + 6b
5 ; D = 3a − 6b
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
Pentru valorile C, D astfel determinate se consider˘a ¸sirul tn = C ·
( 1
2
)n
+ D ·
(
− 1
3
)n
, n ≥ 0. Avem evident
x0 = t0 = a; x1 = t1 = b. Prin induct¸ie matematic˘a se demonstreaz˘a c˘a xn = tn, ∀n ≥ 0. Afirmat¸ia este
adev˘arat˘a pentru n = 0 ¸si n = 1; o presupunem adev˘arat˘a pentru n ¸si n + 1 ¸si o demonstr˘am pentru n + 2,
observˆand ˆın prealabil c˘a din punctele (a) ¸si (b) rezult˘a c˘a ¸sirul (tn) are ¸si el proprietatea (R):
xn+2 = xn+1 + xn
6 = tn+1 + tn
6 = tn+2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(d) Afirmat¸ia rezult˘a din expresia termenului general al unui ¸sir cu proprietatea (R) obt¸inut˘a la punctul (c) ¸si
din faptul c˘a ¸sirurile (yn) ¸si (zn) sunt convergente cu limita 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
3. Fie A =
( a b
c d
)
∈ M2(R) astfel ˆıncˆat det(A) = tr(A) = 1, unde tr(A) := a + d este urma matricei
A.
(a) Ar˘atat¸i c˘a A2 + I2 = A.
(b) Determinat¸i num˘arul de elemente ale mult¸imii {An : n ∈ N}.
(c) Ar˘atat¸i c˘a ecuat¸ia X2016 = I2 are o infinitate de solut¸ii X ∈ M2(R) cu det(X) = tr(X) = 1.
Solut¸ie ¸si barem:
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Din det(A) = tr(A) = 1 obt¸ine A =
( a b
− a2−a+1
b 1 − a
)
, unde a, b ∈ R, b 6 = 0.
Deduce
A2 =
( a − 1 b
− a2−a+1
b −a
)
,Barem · pagina 3
¸si obt¸ine
A2 + I2 = A.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(Obs. Se puncteaz˘a cu 2p ¸si solut¸ia direct˘a, bazat˘a pe aplicarea relat¸iei Cayley-Hamilton pentru
matricea A.)
(b) Utilizˆand relat¸ia de la subpunctul (a), deduce A3 = A2 − A = (A − I2) − A = −I2 ¸si astfel prin ˆınmult¸ire
succesiv˘a cu A obt¸ine A4 = −A, A5 = −A2, A6 = I2. Arat˘a inductiv c˘a A6k = I2, pentru orice k ∈ N,
k ≥ 1 (relat¸ia este evident adev˘arat˘a pentru k = 0). Deduce astfel c˘a pentru orice k ∈ N avem A6k+1 = A,
A6k+2 = A2, A6k+3 = −I2, A6k+4 = −A, A6k+5 = −A2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Justific˘a faptul c˘a matricele ±I2, ±A, ±A2 sunt diferite, deduce {An : n ∈ N} = {±I2, ±A, ±A2} ¸si con-
cluzioneaz˘a c˘a num˘arul de elemente ale mult¸imii {An : n ∈ N} este 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(c) Din (a) deduce c˘a matricele A =
( a b
c d
)
∈ M2(R) care verific˘a det(A) = tr(A) = 1 sunt de forma
A =
( a b
− a2−a+1
b 1 − a
)
, unde a, b ∈ R, b 6 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Folosind subpunctul (b) observ˘a c˘a pentru orice k ∈ N, avem c˘a A6k = I2. Deoarece 2016 = 6 · 336, obt¸ine
concluzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(Obs. Se puncteaz˘a tot cu 1p dac˘a finalizeaz˘a utilizˆand relat¸ia A2016 = (A3)672 = (−I2)672 = I2.)
4. Fie a > 0, a 6 = 1 un num˘ar real fixat. Fie funct¸ia Fa : R → M2(R), Fa(x) =
( cosa x sina x
sina x cosa x
)
, (∀)x ∈ R,
unde sina x := ax − a−x
2 , cosa x := ax + a−x
2 .
(a) Ar˘atat¸i c˘a Fa(x) · Fa(y) = Fa(x + y), (∀)x, y ∈ R.
(b) Studiat¸i injectivitatea ¸si surjectivitatea funct¸iei Ga : R → M2(R), Ga(x) = (Fa(x))2016, (∀)x ∈ R.
(c) Rezolvat¸i ecuat¸ia tr(Ga(x)) = 2 det(Ga(x)).
Solut¸ie ¸si barem:
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Deduce formulele
sina(x + y) = sina x · cosa y + sina y · cosa x, cosa(x + y) = cosa x · cosa y + sina x · sina y, (∀)x, y ∈ R,
¸si concluzioneaz˘a c˘a Fa(x) · Fa(y) = Fa(x + y), pentru orice x, y ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
(b) Arat˘a c˘a Ga : R → M2(R) este injectiv˘a. Consider˘a x, y ∈ R astfel ˆıncˆat Ga(x) = Ga(y) ¸si deduce utilizˆand
subpunctul (a): Fa(2016 · x) = Fa(2016 · y) ⇔ [sina(2016 · x) = sina(2016 · y) ¸si cosa(2016 · x) = cosa(2016 · y)].
Prin adunarea relat¸iilor obt¸ine sina(2016 · x) + cosa(2016 · x) = sina(2016 · y) + cosa(2016 · y) ⇔ a2016·x = a2016·y
¸si astfel deduce x = y, concluzionˆand c˘a Ga este injectiv˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Arat˘a c˘a Ga : R → M2(R) nu este surjectiv˘a. Pentru matricea Y = O2 ∈ M2(R) nu exist˘a x ∈ R astfel ˆıncˆat
Y = Ga(x), deoarece det(Ga(x)) = (det(Fa(x)))2016 = (cos2
a x − sin2
a x)2016 = 12016 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(Obs. Se puncteaz˘a tot cu 1p orice alegere corect˘a a unei matrice Y ∈ M2(R) pentru care nu
exist˘a x ∈ R astfel ˆıncˆat Y = Ga(x).)
(c) Folosind relat¸ia cos2
a x − sin2
a x = 1, (∀)x ∈ R, deduce
det(Ga(x)) = det(Fa(2016 · x)) = cos2
a(2016 · x) − sin2
a(2016 · x) = 1
¸si astfel ecuat¸ia tr(Ga(x)) = 2 det(Ga(x)) devine
tr(Fa(2016 · x)) = 2 ⇔ cosa(2016 · x) = 1 ⇔ a2016·x + a−2016·x = 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Finalizeaz˘a, concluzionˆand c˘a ecuat¸ia a2016·x + a−2016·x = 2 are o unic˘a solut¸ie, x = 0 ¸si ˆın consecint¸˘a x = 0
este unica solut¸ie a ecuat¸iei tr(Ga(x)) = 2 det(Ga(x)).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1pContinuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2016 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.