Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Despre acest subiect
Clasa a XII-a
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a 30 Mai 2015 Clasa a XII-a 1. Fie a ∈ C, ε ∈ C \ R astfel ˆıncˆat ε3 = 1, matricea A = 1 1 1 1 ε ε2 1 ε2 ε ¸si sistemul x + y + z = a x + εy + ε2z = a x + ε2y + εz = a. a) S˘a se arate c˘a det(A) ∈ R · i. b) S˘a se arate c˘a sistemul este compatibil determinat. c) S˘a se rezolve sistemul. 2. Se consider˘a polinomul f = X3 − 2X2 + 2X + 1 ∈ R[X] ale c˘arui r˘ad˘acini complexe se noteaz˘a cu x1, x2, x3. a) S˘a se arate c˘a polinomul f nu are toate r˘ad˘acinile reale. b) S˘se calculeze valoarea expresiei E = (1 + x1)(1 + x2)(1 + x3). c) S˘a arate c˘a exact una dintre r˘ad˘acinile lui f este real˘a ¸si c˘a suma celorlalte dou˘a r˘ad˘acini este un num˘ar real din intervalul (2, 3). 3. Se consider˘a f : R → R, f (x) = x + √x2 + 1. a) S˘a se arate c˘a f (x) > 0, (∀)x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a dac˘a g : R → R, g(x) = ln(f (x)), atunci (f (x) − x) · g′(x) = 1, (∀)x ∈ R. c) S˘a se arate c˘a g(x) < x, (∀)x > 0. 4. Fie (In)n≥1 ¸sirul definit prin In = 1∫ 0 xn 4x + 5 dx. a) S˘a se calculeze I1. b) S˘a se arate c˘a 4In+1 + 5In = 1 n + 1, (∀)n ≥ 1. c) S˘a se arate c˘a (In)n≥1 este strict descresc˘ator ¸si convergent la 0. d) S˘a se determine lim n→∞ nIn.
Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a 30 Mai 2015 Clasa a XII-a 1. Fie a ∈ C, ε ∈ C \ R astfel ˆıncˆat ε3 = 1, matricea A = 1 1 1 1 ε ε2 1 ε2 ε ¸si sistemul x + y + z = a x + εy + ε2z = a x + ε2y + εz = a. a) S˘a se arate c˘a det(A) ∈ R · i. b) S˘a se arate c˘a sistemul este compatibil determinat. c) S˘a se rezolve sistemul. Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Prin conjugare, avem c˘a det(A) = det(A) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 1 1 ε2 ε 1 ε ε2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 1 1 ε ε2 1 ε2 ε ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − det(A), de unde rezult˘a c˘a det(A) ∈ R · i(varianta alternativ˘a - prin calcul direct se obt¸ine c˘a det(A) = 3(ε2 − ε) = 3i√3 ∈ R · i). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p b) Deoarece det(A) = 3i√3 6 = 0, rezult˘a c˘a 3 = rang(A) ≤ rang(A|B) ≤ 3, astfel c˘a rang(A) = rang(A|B) ¸si sistemul este compatibil. Cum rang(A) = 3 = num˘arul necunos- cutelor, rezult˘a c˘a sistemul este compatibil determinat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p c) Cum (x = a, y = 0, z = 0) este o solut¸ie, iar sistemul este compatibil determinat, solut¸ia este unic˘a.(variant˘a alternativ˘a - cu regula lui Cramer, ∆x = a · det(A), ∆y = 0 ¸si ∆z = 0, de unde rezult˘a x = a, y = 0, z = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p 2. Se consider˘a polinomul f = X3 − 2X2 + 2X + 1 ∈ R[X] ale c˘arui r˘ad˘acini complexe se noteaz˘a cu x1, x2, x3. a) S˘a se arate c˘a polinomul f nu are toate r˘ad˘acinile reale. b) S˘a se calculeze valoarea expresiei E = (1 + x1)(1 + x2)(1 + x3). c) S˘a arate c˘a exact una dintre r˘ad˘acinile lui f este real˘a ¸si c˘a suma celorlalte dou˘a r˘ad˘acini 1
Barem · pagina 2
este un num˘ar real din intervalul (2, 3). Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Din relat¸iile lui Vi´ete, avem c˘a s1 = x1 + x2 + x3 = 2, s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 2 ¸si s3 = x1x2x3 = −1 6 = 0, astfel c˘a cele trei r˘ad˘acini sunt nenule. Dac˘a x1, x2, x3 ∈ R, atunci ar rezulta S2 > 0. Dar S2 = x2 1 + x2 2 + x2 3 = s2 1 − 2s2 = 0, de unde rezult˘a c˘a nu toate cele trei r˘ad˘acini pot fi reale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p b) Avem c˘a E = −(−1 − x1)(−1 − x2)(−1 − x3) = −f (−1) = −((−1)3 − 2(−1)2 + 2(−1) + 1) = −(−4) = 4.(varianta alternativ˘a - E = 1 + s1 + s2 + s3 = 1 + 2 + 2 − 1 = 4.). . . . . . . . . . . . . . .3p c) Deoarece funct¸ia polinomial˘a asociat˘a polinomului f este continu˘a, deci are proprietatea valorilor intermediare, iar f (−1) = −4 < 0 ¸si f (0) = 1 > 0, rezult˘a c˘a f are o r˘ad˘acin˘a real˘a ˆın intervalul (−1, 0). Putem considera c˘a aceasta este x1. Cum nu toate r˘ad˘acinile sunt reale, putem considera c˘a x2 ∈ C \ R. Dar atunci, cum f ∈ R[X], rezult˘a c˘a x3 = x2 ∈ C \ R. Prin urmare, f are o singur˘a r˘ad˘acin˘a real˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Suma celor dou˘a r˘ad˘acini nereale este x2 + x3 = s1 − x1 = 2 − x1 ∈ (2, 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 3. Se consider˘a f : R → R, f (x) = x + √x2 + 1. a) S˘a se arate c˘a f (x) > 0, (∀)x ∈ R. b) S˘a se arate c˘a dac˘a g : R → R, g(x) = ln(f (x)), atunci (f (x) − x) · g′(x) = 1, (∀)x ∈ R. c) S˘a se arate c˘a g(x) < x, (∀)x ∈ R. Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Pentru orice x ∈ R avem c˘a f (x) = x + √x2 + 1 > x + √x2 = x + |x| ≥ 0, ¸si prin urmare f (x) > 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3p b) Pentru orice x ∈ R avem c˘a g(x) = ln(f (x)) = ln(x + √x2 + 1), g′(x) = 1√x2+1 ¸si f (x) − x = √x2 + 1, astfel c˘a (f (x) − x) · g′(x) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p c) Funct¸ia h : R −→ R, definit˘a prin h(x) = x−g(x) are derivata h′(x) = 1− 1√x2+1 > 0, ∀x 6 = 0, astfel c˘a h este strict cresc˘atoare pe R. Dar atunci h(x) > h(0) = 0, ∀x > 0, de unde rezult˘a c˘a g(x) < x, ∀x > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p 4. Fie (In)n≥1 ¸sirul definit prin In = 1∫ 0 xn 4x + 5 dx. a) S˘a se calculeze I1. b) S˘a se arate c˘a 4In+1 + 5In = 1 n + 1, (∀)n ≥ 1. c) S˘a se arate c˘a (In)n≥1 este strict descresc˘ator ¸si convergent la 0. d) S˘a se determine lim n→∞ nIn. Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p 2
Barem · pagina 3
a) Deoarece x = 1 4 (4x + 5) − 5 4 , avem c˘a I1 = 1∫ 0 x 4x + 5 dx = 1∫ 0 (1 4 − 5 4(4x + 5) ) dx = (x 4 − 5 16ln ( x + 5 4 ))∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 = 1 4 − 5 16ln (9 5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p b) Pentru orice n ≥ 1 avem 4In+1 + 5In = 1∫ 0 4xn+1 4x + 5 dx + 1∫ 0 5xn 4x + 5 dx = 1∫ 0 xn(4x + 5) 4x + 5 dx = 1∫ 0 xn dx = 1 n + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p c) Pentru orice x ∈ (0, 1) au loc inegalit˘at¸ile 0 < xn+1 < xn ¸si 0 < xn+1 4x+5 < xn 4x+5 , astfel c˘a 0 < In+1 < In, deci ¸sirul (In)n≥1 este strict descresc˘ator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Folosind identitatea de la b), avem atunci c˘a 1 9(n + 1) = 1 9(4In+1 + 5In) < In < 1 9(4In + 5In−1) = 1 9n , ∀n ≥ 2. Cu criteriul cle¸stelui rezult˘a atunci c˘a lim n→∞ In = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p d) Deoarece n 9(n + 1) < nIn < 1 9 , ∀n ≥ 2, obt¸inem c˘a lim n→∞ nIn = 1 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p 3
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2015Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2015 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.