Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI
Despre acest subiect
Clasa a XI-a
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a 30 mai 2015 Clasa a XI-a 1. Se consider˘a matricea A = 1 1 0 0 0 1 0 1 0 ∈ M3(R). a) S˘a se arate c˘a A3 − A = A2 − I3. b) S˘a se arate c˘a An − An−2 = A2 − I3, (∀)n ∈ N, n ≥ 3. c) S˘a se calculeze det(An + An−2), unde n ∈ N, n ≥ 3. 2. Se consider˘a matricele L = ( 1 2 3 ) ∈ M1×3(R), K = 4 5 6 ∈ M3×1(R) ¸si A = KL. a) S˘a se calculeze suma elementelor matricei A. b) S˘a se arate c˘a A2 = 32 · A. c) S˘a se arate c˘a rang(An) = 1, (∀)n ∈ N∗. 3. Se consider˘a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = x · sin 1 x. a) S˘a se calculeze lim x→0 f (x). b) S˘a se determine f ′. c) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei la graficul funct¸iei f c˘atre +∞. 4. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x + cos x ¸si ¸sirul (xn)n∈N definit prin x0 = 0, xn+1 = f (xn), (∀)n ∈ N. a) S˘a se determine f ′ ¸si s˘a se arate c˘a f este strict cresc˘atoare pe R. b) S˘a se arate c˘a xn ∈ [ 0, π 2 ] , (∀)n ∈ N. c) S˘a se arate c˘a ¸sirul (xn)n∈N converge la π 2 .
Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea de Vest din Timi¸soara Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a 30 mai 2015 Clasa a XI-a 1. Se consider˘a matricea A = 1 1 0 0 0 1 0 1 0 ∈ M3(R). a) S˘a se arate c˘a A3 − A = A2 − I3. b) S˘a se arate c˘a An − An−2 = A2 − I3, (∀)n ∈ N, n ≥ 3. c) S˘a se calculeze det(An + An−2), unde n ∈ N, n ≥ 3. Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Avem c˘a A2 = 1 1 1 0 1 0 0 0 1 , A3 = 1 2 1 0 0 1 0 1 0 , astfel c˘a A2 − I3 = 0 1 1 0 0 0 0 0 0 = A3 − A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p b) Demonstr˘am proprietatea prin induct¸ie dup˘a n ∈ N, n ≥ 3. Notˆand cu P (n) afirmat¸ia ”An −An−2 = A2 −I3”, P (3) este adev˘arat˘a conform punctului a). Dac˘a pentru un n ∈ N, n ≥ 3, P (n) este adev˘arat˘a, atunci An+1 − An−1 = A · (An − An−2) = A(A2 − I3) = A2 − I3, astfel c˘a P (n + 1) este adev˘arat˘a. Rezult˘a c˘a P (n) este adev˘arat˘a pentru orice n ∈ N, n ≥ 3. . . . . . . . 3p c) Cum det(A) = −1, iar det(A2 +I3) = 8, rezult˘a c˘a det(An +An−2) = det(An−2)·det(A2 +I3) = 8 · (−1)n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3p 2. Se consider˘a matricele L = ( 1 2 3 ) ∈ M1×3(R), K = 4 5 6 ∈ M3×1(R) ¸si A = KL. a) S˘a se calculeze suma elementelor matricei A. b) S˘a se arate c˘a A2 = 32 · A. c) S˘a se arate c˘a rang(An) = 1, (∀)n ∈ N∗. Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Barem · pagina 2
a) Deoarece A = 4 · 1 4 · 2 4 · 3 5 · 1 5 · 2 5 · 3 6 · 1 6 · 2 6 · 3 , notˆand cu S(A) suma elementelor matricei A, este evident c˘a S(A) = (4 + 5 + 6) · (1 + 2 + 3) = 15 · 6 = 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p b) Deoarece LK = ( 1 2 3 ) · 4 5 6 = (1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6) = (32) ∈ M1×1(R = R, avem A2 = (KL)(KL) = K((LK)L) = K(32 · L) = 32 · (KL) = 32 · A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p c) Deoarece A 6 = O3×3, rezult˘a c˘a rang(A) ≥ 1. Pe de alt˘a parte, are loc inegalitatea rang(A) = rang(KL) ≤ min(rang(K), rang(L)) = 1, astfel c˘a rang(A) = 1. T¸ inˆand cont de b), prin induct¸ie dup˘a n ∈ N, n ≥ 1, rezult˘a c˘a An = 32n−1 · A, astfel c˘a rang(An) = rang(A) = 1, ∀n ∈ N, n ≥ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p 3. Se consider˘a funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = x · sin 1 x. a) S˘a se calculeze lim x→0 f (x). b) S˘a se determine f ′. c) S˘a se determine ecuat¸ia asimptotei la graficul funct¸iei f c˘atre +∞. Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p a) Pentru orice x ∈ R∗ avem c˘a |f (x)| = ∣ ∣ ∣ ∣x · sin 1 x ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ |x|, ¸si rezult˘a c˘a lim x→0 f (x) = 0. . . . . . . . . 3p b) Avem f ′(x) = sin ( 1 x ) + x · cos ( 1 x ) · ( − 1 x2 ) = sin ( 1 x ) − 1 x · cos ( 1 x ) , ∀x ∈ R∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p c) Deoarece lim x→∞ f (x) = lim t→0 sin(t) t = 1, rezult˘a c˘a y = 1 este ecuat¸ia asimptotei orizontale la graficul funct¸iei f c˘atre +∞. . . . . . . . . . 3p 4. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x + cos x ¸si ¸sirul (xn)n∈N definit prin x0 = 0, xn+1 = f (xn), (∀)n ∈ N. a) S˘a se determine f ′ ¸si s˘a se arate c˘a f este strict cresc˘atoare pe R. b) S˘a se arate c˘a xn ∈ [ 0, π 2 ] , (∀)n ∈ N. c) S˘a se arate c˘a ¸sirul (xn)n∈N converge la π 2 . Solut¸ie ¸si barem: start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Barem · pagina 3
a) Funct¸ia f fiind elementar˘a, este continu˘a ¸si indefinit derivabil˘a pe R. Avem c˘a f ′(x) = 1 − sin(x) , ∀x ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Deoarece f ′(x) > 0, ∀x ∈ (2kπ, 2(k + 1)π), ∀k ∈ Z, f este strict cresc˘atoare pe fiecare interval [2kπ, 2(k + 1)π], cu k ∈ Z, deci f este strict cresc˘atoare pe ⋃ k∈Z [2kπ, 2(k + 1)π] = R. . . . . . . . . 1p b) Demonstr˘am afirmat¸ia prin induct¸ie dup˘a n ∈ N. Pentru n = 0, x0 = 0 ∈ [ 0, π 2 ] . Dac˘a presupunem c˘a pentru un n ∈ N are loc relat¸ia xn ∈ [ 0, π 2 ] , atunci folosind monotonia funct¸iei f avem c˘a xn+1 = f (xn) ∈ [ f (0), f (π 2 )] = [ 1, π 2 ] ⊆ [ 0, π 2 ] . Rezult˘a c˘a xn ∈ [ 0, π 2 ] , (∀)n ∈ N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p c) Ar˘at˘am prin induct¸ie dup˘a n ∈ N c˘a xn+1 > xn, ∀n ∈ N. Pentru n = 0 avem x1 = f (x0) = f (0) = 1 > 0 = x0. Presupunˆand acum c˘a pentru un n ∈ N are loc inegalitatea xn+1 > xn, din monotonia funct¸iei f rezult˘a c˘a xn+2 = f (xn+1) > f (xn) = xn+1. Rezult˘a c˘a ¸sirul (xn)n∈N este strict cresc˘ator, iar conform punctului b) este m˘arginit. Prin urmare ¸sirul este convergent, avˆand limita l = lim n→∞ xn ∈ [ 0, π 2 ] . Trecˆand la limit˘a ˆın relat¸ia de recurent¸˘a, obt¸inem l = f (l) = l + cos(l), astfel c˘a cos(l) = 0, de unde rezult˘a c˘a l = π 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2015Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2015 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.