Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Se deschide documentul PDF… Deschide PDF
Despre acest subiect
iulie · Sesiunea iulie
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UAIC – subiecte anterioare. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 1 pagină
Subiect · pagina 1
Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Ia³i Admitere - studii de licenμ Facultatea de Informatic Sesiunea iulie 2023 Test la MATEMATIC Se acord 10 puncte din o ciu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Fie z 2 C astfel încât z2 z + 1 = 0. S se arate c z4 = 1 z 1: 5p 2. S se rezolve în mulμimea numerelor reale inecuaμia 3x 1 2x 3 3 2x 2 x : 5p 3. Fie f : R ! R, astfel încât f(x + 1) + f(x 1) = p2f(x); 8x 2 R: S se arate c funcμia f este periodic . 5p 4. S se determine probabilitatea ca, alegând la întâmplare o funcμie f : f1; 2; 3g ! f2; 3; 4g, f(1) s e num r par. 5p 5. S se determine m 2 R ³tiind c distanμa de la punctul A(m 2; m) la dreapta 2x y 1 = 0 este p5: 5p 6. S se rezolve în intervalul [0; 4] ecuaμia sin(2x) + sin(6x) = sin(4x): SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. Fie matricea A = Ñ ^1 m ^1 ^2 ^1 m m ^1 ^1 é cu elementele din Z5. 5p a) S se determine m 2 Z5 astfel încât det(A2) = ^1. 5p b) Pentru m = ^0, s se a e inversa lui A. 5p c) Pentru m = ^0, s se rezolve în M3;1(Z5) sistemul AX = Ñ^2 ^1 ^2 é . 2. Fie F mulμimea funcμiilor f : Z ! Z. Pe F de nim operaμia prin f g = f g + n(g f); 8f; g 2 F; unde n 2 Z, iar este operaμia de compunere a funcμiilor. 5p a) S se determine n astfel încât operaμia s e comutativ . 5p b) S se determine n astfel încât operaμia s e asociativ . 5p c) S se determine n astfel încât operaμia s admit element neutru. Pentru n astfel determi- nat, s se precizeze elementul neutru ³i s se a e elementele simetrizabile ale lui F. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consider funcμiile f; g : R ! R de nite prin f(x) = arctg x2 1 + x + x2 ³i g(x) = f( 3 px). 5p a) Determinaμi punctele de extrem local ale funcμiei f. 5p b) S se determine asimptotele la gra cul funcμiei g. 5p c) S se calculeze lim n!1 Å f 1 1 + f 1 2 + + f 1 n ã . 2. Se consider funcμia f : [0; 1] ! R; f(x) = 1 x2 + 4x + 5 , ³i ³irul (In)n2N de nit prin In = Z 1 0 xnf(x)dx; n 2 N: 5p a) S se calculeze I1: 5p b) S se demonstreze c pentru orice n 2 N au loc inegalit μile 10In+2 1 n + 1 10In. 5p c) S se arate c lim n!1nIn = f(1):
Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Ia³i Admitere - studii de licenμ Facultatea de Informatic Sesiunea iulie 2023 Barem de corectare la MATEMATIC - Se acord 10 puncte din o ciu. - Pentru orice soluμie corect , chiar diferit de cea din barem, se acord un punctaj corespunz tor. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. z2 = z 1, z4 = (z2)2 = z2 2z + 1 = z2 z + 1 z = z. Deci z4 = z (*). 2.5p z2 + 1 z z = 0 ) z = 1 z 1: 1.5p Din (*) rezult concluzia. 1p 2. 3x 1 2x 3 3 2x 2 x () x2 5x + 7 (2 x)(2x 3) 0 () (2 x)(2x 3) > 0. 4p Concluzie: x 2 Å 3 2 ; 2 ã : 1p 3. x ! x + 1 ) f(x + 2) + f(x) = p2f(x + 1) = 2f(x) p2f(x 1); 8x 2 R. 2p A³adar, f(x + 4) = f(x + 2) p2f(x + 1) = f(x); 8x 2 R. 2p Prin urmare, f(x + 8) = f(x); 8x 2 R, deci funcμia este periodic . 1p 4. Cazuri posibile: 33 = 27: 1p f(1) ! 2 posibilit μi, f(2) ! 3 posibilit μi, f(3) ! 3 posibilit μi. 2p Deci cazuri favorabile: 2 3 3 = 18. 1p Concluzie: probabilitatea cerut este 18=27 = 2=3. 1p 5. dist(A; dr) = j2(m 2) m 1j p22 + 12 = jm 5j p5 . 3p Cum dist(A; dr) = p5 ) jm 5j = 5. 1p Concluzie: m = 0 sau m = 10: 1p 6. y = 2x: este de ajuns s rezolv m ecuaμia sin y + sin(3y) = sin(2y) (*) în [0; 8]. 0.5p Avem sin y + sin(3y) sin(2y) = 2 sin(2y) cos y sin(2y) = sin(2y) (2 cos(y) 1). 3p A³adar (*)() sin(2y) = 0 sau cos(y) = 1 2 , deci y 2 ß k 2 j k 2 f0; : : : ; 16g ™ [ ß 3 + 2k; 5 3 + 2k j k 2 f0; 1; 2; 3g ™ . 1p Concluzie: x 2 ß k 4 j k 2 f0; : : : ; 16g ™ [ ß 6 + k; 5 6 + k j k 2 f0; 1; 2; 3g ™ . 0.5p
Barem · pagina 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) det A = m3 ^1 2p
det(A2) = (det A)2 = (m3 ^1)2 1p
(m3 ^1)2 = ^1 , m3 1 = ^1 , m3 2 {^0; ^2} , m 2 {^0; ^3} : 2p
b) Pentru m = ^0, det A = ^1, iar 1p
A =
Ñ ^1 ^1 ^1
^2 ^1 ^2
^2 ^1 ^1
é
. 3p
Concluzie: A1 = (det A)1 A =
Ñ^1 ^1 ^1
^2 ^1 ^2
^2 ^1 ^1
é
. 1p
c) X = A1(AX) =
Ñ^1 ^1 ^1
^2 ^1 ^2
^2 ^1 ^1
é Ñ^2
^1
^2
é
=
Ñ ^3
^7
^5
é
=
Ñ^2
^2
^0
é
: 5p
2.a) f g = g f , f g + n (g f) = g f + n (f g) , (n 1) (g f) = (n 1) (f g) (*) 2p
Dac n = 1, relaμia (*) este evident satisf cut pentru orice f; g 2 F. 1p
Dac n 6 = 1, exist f; g 2 F astfel încât g f 6 = f g (de exemplu f 0, g 1). 1p
Concluzia: este comutativ dac ³i numai dac n = 1. 1p
b) Fie f; g 2 F. Atunci (f g)idZ = (n+1) (f g + n (g f)) = (n+1) (f g)+n(n+1) (g f),
iar f (g idZ) = f ((n + 1)g) = f ((n + 1)g) + n (((n + 1)g) f)
= f ((n + 1)g) + n(n + 1) (g f).
A³adar, pentru ca operaμia s e asociativ , trebuie s avem (n+1) (f g) = f ((n + 1)g).
Dac în aceast relaμie lu m f 1, obμinem n + 1 1, de unde n = 0.
3p
Reciproc, dac n = 0, atunci coincide cu , care este asociativ . 1p
Concluzie: este asociativ dac ³i numai dac n = 0. 1p
c) Dac n = 0, atunci coincide cu , iar elementul neutru este funcμia identitate idZ. În plus,
elementele simetrizabile ale lui F sunt funcμiile inversabile (sau bijective).
1p
S presupunem c n 6 = 0. Dac ar avea un element neutru e, atunci am avea e idZ = idZ,
adic (n + 1)e = idZ, de unde n = 2 ³i e = idZ.
Pe de alt parte, în acest caz ar trebui s avem ³i f ( idZ) = ( idZ)f pentru orice f 2 F,
adic f ( idZ) = ( idZ) f, cf. calculelor de la punctul a). Dar acest lucru înseamn c
orice funcμie din F este impar , ceea ce este evident fals.
3p
Concluzie: admite element neutru dac ³i numai dac n = 0. 1pBarem · pagina 3
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a) Datorit faptului c funcμia arctg este strict cresc toare, punctele de extrem local sunt acelea³i ³i de acela³i tip cu ale funcμiei h : R ! R, h(x) = x2 1 + x + x2 . 1p Observ m c 1 h(x) = 1 x2 + 1 x +1 > 0; 8x 2 R. Prin urmare, prin acela³i gen de raμionament, h are un punct de extrem local într-un punct x0 2 R dac ³i numai dac x0 este punct de extrem local pentru funcμia R 3 x 7 ! 1 x2 + 1 x + 1, adic dac ³i numai dac 1 x0 este punct de extrem local pentru funcμia R 3 x 7 ! x2 + x + 1. Cum unicul punct de extrem local al acestei funcμii este 1 2 (punct de minim global), rezult c unicul punct de extrem local al funcμiei h pe R este x0 = 2 (punct de maxim global). 2p În x0 = 0: cum h(x) 0 = h(0); 8x 2 R, x0 = 0 este punct de minim global pentru h. 1p Concluzie: punctele de extrem local ale lui f sunt 2 ³i 0. 1p b) Funcμia g este continu pe R, deci gra cul funcμiei g ar putea avea asimptote doar la 1. 1p Avem lim x!1 g(x) = lim x!1 f( 3 px) = lim x!1 f(x) = arctg lim x!1 x2 1 + x + x2 = arctg 1 = 4 . 3p Concluzie: gra cul funcμiei g are dou asimptote orizontale, una în 1, una în +1, ambele de ecuaμie y = 4 . 1p c) f(x) = arctg 1 1 x2 + 1 x + 1 , deci tg [ f ( 1 x )] = 1 x2 + x + 1 = 1 1 + (x + 1)x = (x + 1) x 1 + (x + 1)x . 1.5p Observ m analogia cu formula binecunoscut tg(u v) = tg u tg v 1 + tg u tg v , u; v 2 [ 0; 2 ) . Pentru x > 0, lu m u = arctg(x + 1), v = arctg x. Evident, u; v 2 [0; 2 ), deci tg(u v) = (x + 1) x 1 + (x + 1)x = tg [ f ( 1 x )] . Cum 0 < u v < 2 , u v = f ( 1 x ) . Am obμinut astfel formula f ( 1 x ) = arctg(x + 1) arctg x, 8x > 0. 2p Astfel, f ( 1 1 ) + f ( 1 2 ) + + f ( 1 n ) = (arctg 2 arctg 1) + (arctg 3 arctg 2) + + + (arctg(n + 1) arctg n) = arctg(n + 1) arctg 1 = arctg(n + 1) 4 . 1p Concluzie: lim n!1 Å f ( 1 1 ) + f ( 1 2 ) + + f ( 1 n )ã = lim n!1 arctg(n + 1) 4 = 2 4 = 4 . 0.5p 2.a) I1 = Z 1 0 x x2 + 4x + 5 dx = 1 2 Z 1 0 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx 2 Z 1 0 1 (x + 2)2 + 1 dx 3p I1 = 1 2 ln 2 2(arctg(3) arctg(2)): 2p b) Se poate observa c In+2 + 4In+1 + 5In = 1 n + 1 ; 8n 2 N (). 2p În plus, se poate ar ta c ³irul (In)n2N este unul descresc tor: In+1 In; 8n 2 N. 1p Astfel din () vom avea 1 n + 1 10In, respectiv 1 n + 1 10In+2. 2p c) Cum In+2 1 10(n + 1) ; 8n 2 N ) In 1 10(n 1) ; 8n 2: 2p Pe de alt parte, In 1 10(n + 1) . A³adar avem 1 10(n + 1) In 1 10(n 1) ; 8n 2: 2p Înmulμind cu n ³i aplicând criteriul cle³telui, vom obμine lim n!1 nIn = 1 10 = f(1): 1p
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2023Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă examen de admitere din 2023 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.