Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB 2022
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
NOT ˘A IMPORTANT ˘A: Problemele pot avea unul sau mai multe r˘aspunsuri corecte,
care trebuie indicate de candidat ˆın sistemul electronic. Notarea subiectului de tip gril˘a se
face conform sistemului de punctare part¸ial˘a din regulamentul concursului.
1. Fie x = sin 12133
6 π. Atunci
A x =
√3
2 ; B x = 1
2 ; C x > 0; D x < 0.
2. Dac˘a ˆıntr-un sistem cartezian de coordonate vˆarfurile triunghiului ABC au coordonatele A(2, 3),
B(−1, 1), C(−3, 4), iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci mijlocul F al segmentului
AG are coordonatele
A F (0, 0); B F ( 2
3 , 17
6 ); C F (− 2
3 , 8
3 ); D alt˘a valoare.
3. Num˘arul solut¸iilor ecuat¸iei 3 sin x − 2 = 0 pe intervalul [0, π] este
A 0; B 1; C 2; D infinit.
4. Consider˘am ˆın R ecuat¸ia √x2 − 3 = x2 − 5. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A Ecuat¸ia nu are solut¸ii. B Ecuat¸ia are exact dou˘a solut¸ii.
C Ecuat¸ia are exact patru solut¸ii. D Ecuat¸ia are numai solut¸ii pozitive.
5. Num˘arul termenilor rat¸ionali din dezvoltarea (√2 + 3
√5)300 este
A 50; B 51; C 52; D 150.
6. Fie matricea A =
(1 1
1 0
)
∈ M2(R). Suma elementelor ˆın matricea A5 este:
A 19; B 20; C 21; D 22.
7. Fie (xn)n≥1 un ¸sir de numere reale pozitive, cu proprietatea c˘a (n + 1)xn+1 − nxn < 0, oricare ar fi
n ≥ 1. Atunci limita ¸sirului este:
A 1; B ∞; C nu exist˘a; D 0.
8. Funct¸ia f : R → R, definit˘a prin
f (x) =
{
e− 1
x2 dac˘a x < 0
x3 + x + α dac˘a x ≥ 0,
este continu˘a dac˘a:
A α ∈ R; B α = 1;
C α = 0; D nu exist˘a α ∈ R astfel ˆıncˆat funct¸ia s˘a fie continu˘a.

Subiect · pagina 2

9. Ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f (x) = 3
√x − 1 ˆın punctul de abscis˘a x = 9 este:
A −12y + x − 15 = 0; B 12y − x − 15 = 0; C y − 12x − 15 = 0; D y + 12x + 15 = 0.
10. Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei
4 · sin x · cos3 x − 4 · sin3 x · cos x = 1
este
A { π
8 + kπ
4 | k ∈ Z}; B { π
8 + kπ
2 | k ∈ Z}; C { π
8 − kπ | k ∈ Z}; D { π
4 + kπ
8 | k ∈ Z}.
11. Vˆarfurile A ¸si B ale paralelogramului ABCD se g˘asesc pe dreapta de ecuat¸ie 3x − y − 4 = 0, iar
punctul de intersect¸ie O al diagonalelor AC ¸si BD are coordonatele (3, 4). Dac˘a coordonatele vˆarfului A
sunt (0, −4), atunci ecuat¸ia dreptei CD este:
A x + 3y − 42 = 0; B x − 3y − 6 = 0; C 3x − y − 6 = 0; D y = 3x + 6.
12. Fie funct¸ia f : R → R definit˘a prin f (x) = 2x − [2x], unde prin [a] se noteaz˘a partea ˆıntreag˘a a lui
a ∈ R. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A f are perioada 1
2 ; B f este injectiv˘a; C f este surjectiv˘a; D f este par˘a.
13. Fie suma Sn = i + 2i2 + 3i3 + · · · + nin, n ∈ N∗, unde i este unitatea imaginar˘a (i2 = −1). Care
dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A S2020 este un num˘ar real. B |S2020| este un num˘ar irat¸ional.
C Partea imaginar˘a a lui S2022 este egal˘a cu 1011. D |S2022| = 1011.
14. Fie (x, y) ∈ R2
+ solut¸ia sistemului de ecuat¸ii
{ log225 x + log64 y = 0
logx 225 − logy 64 = 1.
Valoarea expresiei log30
(x3) − log30 y este egal˘a cu:
A 0; B 12; C 1; D 10.
15. Suma solut¸iilor ecuat¸iei 6x+1 − 4x = 32x este
A −1; B 0; C 1; D 2.
16. Punctul A(3, 1) este vˆarful unui p˘atrat ˆın care o diagonal˘a se afl˘a pe dreapta de ecuat¸ie y − x = 0.
Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A Distant¸a de la vˆarful A la aceast˘a diagonal˘a este egal˘a cu 2.
B Ecuat¸ia dreptei pe care se afl˘a cealalt˘a diagonal˘a este x + y + 2 = 0.
C Aria p˘atratului este 4.
D Punctul C(1, 3) este de asemenea vˆarf al p˘atratului.
17. Fie triunghiul ABC, ˆın care not˘am BC = a, AC = b, AB = c. Presupunem c˘a lungimea medianei
AM este egal˘a cu c. Atunci:
A a2 + 2c2 = 3b2; B a2 + 2c2 = 2b2; C cos C = 4a
3b ; D cos C = 3a
4b .
18. Valoarea limitei lim
x→0
( 1
x2 − 1
sin2 x
)
este:
A − 1
3 ; B −1; C 0; D 1
2 .

Subiect · pagina 3

19. Fie funct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (x) = arctg x + arcctg x pentru orice x ∈ R. Care dintre
urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A f (−1) = − π
2 .
B f (x) = π
2 , pentru orice x ∈ (0, ∞).
C Funct¸ia f este impar˘a.
D lim
x→∞ f (x) = lim
x→−∞ f (x).
20. Num˘arul solut¸iilor reale ale ecuat¸iei xex = − 1
3 este:
A 0; B 1; C 2; D 3.
21. Fie ABC un triunghi ¸si A′ ∈ [BC], B′ ∈ [CA], C′ ∈ [AB] astfel ˆıncˆat BA′
BC = CB′
CA = AC′
AB = α. Dac˘a
AABC este aria triunghiului ABC ¸si AA′B′C′ este aria triunghiului A′B′C′, atunci
A AA′B′C′
AABC
= 1 − 3α(1 − α); B AA′B′C′
AABC
∈ [ 1
4 , 1] ;
C AA′B′C′
AABC
= 1 − 12α2(1 − α)2; D AA′B′C′
AABC
∈ [ 1
2 , 1].
22. Valoarea limitei lim
x→ π
4
∫ tg x
1 et2
dt
∫ ctg x
1 et2 dt este:
A 1; B π; C 0; D −1.
23. Triunghiul ABC ˆın care are loc relat¸ia sin(B) + cos(B) = sin(C) + cos(C) este:
A dreptunghic B isoscel C echilateral D dreptunghic sau isoscel.
24. Fie (an)n∈N∗ ¸sirul definit prin
an =
√ 1
n2 + 1
n3 +
√ 1
n2 + 2
n3 + · · · +
√ 1
n2 + n
n3 , pentru fiecare n ∈ N∗.
Se noteaz˘a cu ` = lim
n→∞ an. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A ` = 0; B ` =
√2
3 ; C ` ∈ R \ Q; D ` = ∞.
25. Dou˘a laturi ale unui dreptunghi se afl˘a pe dreptele date prin ecuat¸iile:
(d1) : 2x − 3y + 5 = 0
(d2) : 3x + 2y − 7 = 0
¸si unul din vˆarfurile sale este punctul A(2, −3). Ecuat¸iile dreptelor pe care se afl˘a celelalte dou˘a laturi
ale dreptunghiului sunt:
A 2x − 3y − 13 = 0 ¸si 3x + 2y = 0; B y + 3 = 2
3 (x − 2) ¸si y + 3 = − 3
2 (x − 2);
C 2x − 3y + 13 = 0 ¸si 3x − 2y = 0; D y − 3 = 2
3 (x − 2) ¸si y − 3 = − 3
2 (x − 2).
26. Consider˘am α ∈ C un parametru ¸si sistemul de ecuat¸ii liniare cu 3 necunoscute



2x + αy + 2z = 1
4x − y + 5z = 1
2x + 10y + z = 1.

Subiect · pagina 4

Stabilit¸i valoarea de adev˘ar a urm˘atoarelor afirmat¸ii:
A Matricea sistemului are rang 3 pentru orice valoare a lui α.
B Matricea extins˘a a sistemului are rang 3 pentru orice valoare a lui α.
C Sistemul dat este incompatibil dac˘a ¸si numai dac˘a α 6 = 3.
D Sistemul dat este compatibil dac˘a ¸si numai dac˘a α 6 = 3.
27. Fie G ⊆ R o mult¸ime astfel ˆıncˆat expresia
x ∗ y = xy
2xy − x − y + 1 , ∀x, y ∈ G
define¸ste o lege de compozit¸ie pe G. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A G poate fi intervalul (0, 2). B G poate fi intervalul (0, 1).
C Dac˘a G = (0, 1), atunci ,,∗” admite un element neutru.
D Dac˘a G = (0, 1), atunci simetricul lui 1
3 este 2
3 .
28. Valoarea integralei 2022∫
1
2022
ln x
1 + x2 dx
este:
A 0; B 1; C 2; D 3.
29. Fie x, y, z ∈ Z∗ astfel ˆıncˆat xy, yz, zx sunt ˆın progresie geometric˘a cu rat¸ia un num˘ar ˆıntreg diferit
de 1.
A Dac˘a y este p˘atrat perfect, atunci ¸si z este p˘atrat perfect.
B Dac˘a z este p˘atrat perfect, atunci ¸si y este p˘atrat perfect.
C Dac˘a y este p˘atrat perfect, atunci ¸si x este p˘atrat perfect.
D Dac˘a z este p˘atrat perfect, atunci ¸si x este p˘atrat perfect.
30. Fie (xn)n∈N∗ ¸sirul definit prin xn =
∫ 2
0
(2 − x)2n−1
(2 + x)2n+1 dx, pentru fiecare n ∈ N∗. Care dintre urm˘atoarele
afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A x23 = 1
184 . B lim
n→∞ n2xn = 1. C lim
n→∞ nxn = 1
8 . D lim
n→∞ nxn = 0.

Subiect · pagina 5

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
R˘aspunsuri corecte
CONCURSUL MATE-INFO UBB, 2022
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
1. B , C
2. B
3. C
4. B
5. B
6. C
7. D
8. C
9. B
10. B
11. C
12. A
13. B , C
14. B
15. B
16. C , D
17. B , D
18. A
19. B , D
20. C
21. A , B
22. D
23. D
24. C
25. A , B
26. B , D
27. B , C , D
28. A
29. A , B
30. A , C

Subiect · pagina 6

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB 2022
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SOLUT¸ II
1. Fie x = sin 12133
6 π. Atunci
A x =
√3
2 ; B x = 1
2 ; C x > 0; D x < 0.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: 12133
6 = 2022 + 1
6 deci 12133
6 π = 2022π + π
6 .
sin
(
2022π + π
6
)
= sin π
6 = 1
2 .
2. Dac˘a ˆıntr-un sistem cartezian de coordonate vˆarfurile triunghiului ABC au coordonatele A(2, 3),
B(−1, 1), C(−3, 4), iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci mijlocul F al segmentului
AG are coordonatele
A F (0, 0); B F ( 2
3 , 17
6 ); C F (− 2
3 , 8
3 ); D alt˘a valoare.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Coordonatele centrului de greutate sunt: G
( 2+(−1)+(−3)
3 , 3+1+4
3
)
= G (− 2
3 , 8
3
) . Mijlocul segmen-
tului AG are coordonatele: F
( 2+(−2/3)
2 , 3+8/3
2
)
= F ( 2
3 , 17
6
) .
3. Num˘arul solut¸iilor ecuat¸iei 3 sin x − 2 = 0 pe intervalul [0, π] este
A 0; B 1; C 2; D infinit.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Mult¸imea solut¸iilor este: {arcsin 2
3 , π − arcsin 2
3 }, mult¸ime cu dou˘a elemente.
4. Consider˘am ˆın R ecuat¸ia √x2 − 3 = x2 − 5. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A Ecuat¸ia nu are solut¸ii. B Ecuat¸ia are exact dou˘a solut¸ii.
C Ecuat¸ia are exact patru solut¸ii. D Ecuat¸ia are numai solut¸ii pozitive.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.

Subiect · pagina 7

Solut¸ie: Din cauza radicalului trebuie s˘a avem x2−3 ≥ 0 ¸si x2−5 ≥ 0, deci x ∈ (−∞, −√5]∪[√5, +∞).
Prin ridicare la p˘atrat obt¸inem
x2 − 3 = (x2 − 5)2 ⇐⇒ x2 − 3 = x4 − 10x2 + 25 ⇐⇒ x4 − 11x2 + 28 = 0.
Prin introducerea notat¸iei y = x2 ecuat¸ia anterior˘a se poate scrie ˆın form˘a y2 − 11y + 28 = 0. Aceast˘a
ecuat¸ie cvadratic˘a are solut¸ii y1 = 4 ¸si y2 = 7. De aceea solut¸iile ecuat¸iei x4 −11x2 +28 = 0 sunt x1 = −2,
x2 = 2, x3 = −√7 ¸si x4 = √7. Dintre aceste solut¸ii numai x3 ¸si x4 satisfac condit¸ia x2 − 5 ≥ 0, deci
ecuat¸ia √x2 − 3 = x2 − 5 are dou˘a solut¸ii ¸si A , C sunt false, iar B adev˘arat˘a. O solut¸ie este negativ˘a,
deci D este fals˘a.
5. Num˘arul termenilor rat¸ionali din dezvoltarea (√2 + 3
√5)300 este
A 50; B 51; C 52; D 150.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Tk+1 = Ck
3002150− k
2 · 5 k
3 , 0 ≤ k ≤ 300.
Pentru ca termenii s˘a fie rat¸ionali este necesar k s˘a fie divizibil atˆat cu 2 cˆat ¸si cu 3, deci k divizibil
cu 6. A¸sadar k ∈ {0, 6, 12, . . . , 300}. Sunt 51 de termeni rat¸ionali.
6. Fie matricea A =
(1 1
1 0
)
∈ M2(R). Suma elementelor ˆın matricea A5 este:
A 19; B 20; C 21; D 22.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Observ˘am c˘a An =
(Fn+1 Fn
Fn Fn−1
)
, unde (Fn)n≥0 este s, irul lui Fibonacci definit prin F0 = 0,
F1 = 1 s, i Fn+1 = Fn + Fn−1, ∀n ≥ 1. Suma elementelor ˆın An este
Sn = (Fn+1 + Fn) + (Fn + Fn−1) = Fn+2 + Fn+1 = Fn+3.
Prin urmare S5 = F8 = 21.
Rezultatul poate fi obt, inut s, i prin calcularea matricelor A2, A4 ¸si A5 =
(8 5
5 3
)
.
7. Fie (xn)n≥1 un ¸sir de numere reale pozitive, cu proprietatea c˘a (n + 1)xn+1 − nxn < 0, oricare ar fi
n ≥ 1. Atunci limita ¸sirului este:
A 1; B ∞; C nu exist˘a; D 0.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C fals˘a; D adev˘arat˘a.
Solut¸ie: Avem x1 > 2x2 > 3x3 > ... > nxn ⇒ 0 < xn < x1
n ⇒ lim
n→∞ xn = 0.
8. Funct¸ia f : R → R, definit˘a prin
f (x) =
{
e− 1
x2 dac˘a x < 0
x3 + x + α dac˘a x ≥ 0,
este continu˘a dac˘a:

Subiect · pagina 8

A α ∈ R; B α = 1;
C α = 0; D nu exist˘a α ∈ R astfel ˆıncˆat funct¸ia s˘a fie continu˘a.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Funct¸ia f este continu˘a pe intervalele (−∞, 0) ¸si (0, ∞), deci trebuie studiat˘a continuitatea
ˆın punctul x = 0. Avem
lim
x↗0 f (x) = lim
x↗0 e− 1
x2 = 0, lim
x↘0 f (x) = lim
x↘0(x3 + x + α) = α = f (0).
Folosind definit¸ia continuit˘at¸ii cu ajutorul limitelor laterale, deducem c˘a α = 0.
9. Ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei f (x) = 3
√x − 1 ˆın punctul de abscis˘a x = 9 este:
A −12y + x − 15 = 0; B 12y − x − 15 = 0; C y − 12x − 15 = 0; D y + 12x + 15 = 0.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: T¸ inˆand cont de faptul c˘a f ′(x) = 1
3 3
√(x − 1)2 , obt¸inem ecuat¸ia tangentei
y − f (9) = f ′(9)(x − 9) ⇔ y − 2 = 1
12 (x − 9) ⇔ 12y − x − 15 = 0.
10. Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei
4 · sin x · cos3 x − 4 · sin3 x · cos x = 1
este
A { π
8 + kπ
4 | k ∈ Z}; B { π
8 + kπ
2 | k ∈ Z}; C { π
8 − kπ | k ∈ Z}; D { π
4 + kπ
8 | k ∈ Z}.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: 4 · sin x · cos3 x − 4 · sin3 x · cos x = 1 ⇔ 4 · sin x · cos x · (cos2 x − sin2 x) = 1 ⇔
2 · sin 2x · cos 2x = 1 ⇔ sin 4x = 1 ⇔ 4x ∈ { π
2 + 2kπ | k ∈ Z} ⇔ x ∈ { π
8 + kπ
2 | k ∈ Z}.
Deci afirmat¸ia B este adev˘arat˘a iar A , C ¸si D sunt false.
11. Vˆarfurile A ¸si B ale paralelogramului ABCD se g˘asesc pe dreapta de ecuat¸ie 3x − y − 4 = 0, iar
punctul de intersect¸ie O al diagonalelor AC ¸si BD are coordonatele (3, 4). Dac˘a coordonatele vˆarfului A
sunt (0, −4), atunci ecuat¸ia dreptei CD este:
A x + 3y − 42 = 0; B x − 3y − 6 = 0; C 3x − y − 6 = 0; D y = 3x + 6.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Punctul C este simetricul lui A fat¸˘a de O, deci avem
xO = xA + xC
2 ⇔ 3 = 0 + xC
2 ⇔ xC = 6

Subiect · pagina 9

¸si
yO = yA + yC
2 ⇔ 4 = −4 + yC
2 ⇔ yC = 12.
Panta dreptei CD este egal˘a cu panta dreptei AB, adic˘a este 3. Deci ecuat¸ia dreptei CD este
y − 12 = 3(x − 6) ⇔ 3x − y − 6 = 0.
12. Fie funct¸ia f : R → R definit˘a prin f (x) = 2x − [2x], unde prin [a] se noteaz˘a partea ˆıntreag˘a a lui
a ∈ R. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A f are perioada 1
2 ; B f este injectiv˘a; C f este surjectiv˘a; D f este par˘a.
R˘aspuns:
A adev˘arat˘a; B fals˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Funct¸ia f are perioada 1
2 , deoarece pentru orice x ∈ R avem
f
(
x + 1
2
)
= 2
(
x + 1
2
)
−
[
2
(
x + 1
2
)]
= 2x + 1 − [2x + 1] = 2x − [2x] = f (x).
Aceasta arat˘a ¸si c˘a f nu este injectiv˘a ¸si nici surjectiv˘a, deoarece imaginea funct¸iei f coincide cu imaginea
restrict¸iei lui f pe intervalul [0, 1
2 ], deci 2 /∈ Im f. Cum f ( 1
8 ) = 1
4 ¸si f (− 1
8 ) = 3
4 , funct¸ia f nu este par˘a.
13. Fie suma Sn = i + 2i2 + 3i3 + · · · + nin, n ∈ N∗, unde i este unitatea imaginar˘a (i2 = −1). Care
dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A S2020 este un num˘ar real. B |S2020| este un num˘ar irat¸ional.
C Partea imaginar˘a a lui S2022 este egal˘a cu 1011. D |S2022| = 1011.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Se ¸stie c˘a i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = −1, i4k+3 = −i pentru orice k ∈ N. Consider˘am sumele
intermediare:
s1 = i + 2i2 + 3i3 + 4i4 = 2 − 2i ,
s2 = 5i5 + 6i6 + 7i7 + 8i8 = 2 − 2i ,
. . .
s505 = 2017i2017 + 2018i2018 + 2019i2019 + 2020i2020 = 2 − 2i.
Avem
S2020 = s1 + s2 + . . . + s505 = 505(2 − 2i) = 1010(1 − i),
deci S2020 nu este un num˘ar real, iar |S2020| = 1010√2 ∈ R \ Q, adic˘a |S2020| este un num˘ar irat¸ional.
Scriem
S2022 = S2020 + 2021i2021 + 2022i2022 = 1010(1 − i) + 2021i − 2022 = −1012 + 1011i,
deci partea imaginar˘a a lui S2022 este egal˘a cu 1011, iar |S2022| = √(−1012)2 + 10112 6 = 1011.
14. Fie (x, y) ∈ R2
+ solut¸ia sistemului de ecuat¸ii
{ log225 x + log64 y = 0
logx 225 − logy 64 = 1.
Valoarea expresiei log30
(x3) − log30 y este egal˘a cu:
A 0; B 12; C 1; D 10.

Subiect · pagina 10

R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Fie (x, y) ∈ R2 o solut¸ie pentru acest sistem. Dac˘a not˘am cu A = log225 x ¸si B = log64 y,
atunci din prima ecuat¸ie deducem A + B = 0 ⇒ B = −A. Folosind a doua ecuat¸ie deducem 1
A − 1
B =
1
A + 1
A = 1, deci A = 2 ¸si B = −2. A¸sadar, log225 x = 2, deci x = 2252 = 154. Similar, log64 y = −2, deci
y = 64−2 = 2−12.
Obt¸inem atunci c˘a expresia cerut˘a log30
(x3) − log30 y = log30(1512 · 212) = 12, deci r˘aspunsul corect
este B .
15. Suma solut¸iilor ecuat¸iei 6x+1 − 4x = 32x este
A −1; B 0; C 1; D 2.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Putem transcrie ecuat¸ia ˆın
6 ·
( 3
2
)x
− 1 =
( 3
2
)2x
.
Not˘and t = ( 3
2
)x, obt¸inem ecuat¸ia de gradul doi t2 − 6t + 1 = 0, cu solut¸iile t1,2 = 3 ± 2√2. Dac˘a
t1 = ( 3
2
)x1 ¸si t2 = ( 3
2
)x2 , atunci ( 3
2
)x1+x2
= t1 · t2 = 9 − 8 = 1,
deci x1 + x2 = 0.
16. Punctul A(3, 1) este vˆarful unui p˘atrat ˆın care o diagonal˘a se afl˘a pe dreapta de ecuat¸ie y − x = 0.
Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A Distant¸a de la vˆarful A la aceast˘a diagonal˘a este egal˘a cu 2.
B Ecuat¸ia dreptei pe care se afl˘a cealalt˘a diagonal˘a este x + y + 2 = 0.
C Aria p˘atratului este 4.
D Punctul C(1, 3) este de asemenea vˆarf al p˘atratului.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D adev˘arat˘a.
Solut¸ie: Distant¸a de la A la dreapta dat˘a este
d = |1 − 3|
√12 + (−1)2 = √2.
Diagonala a doua a p˘atratului trece prin punctul A ¸si este perpendicular˘a pe diagonala dat˘a. Prin urmare
d2 : y − 1 = (−1)(x − 3), deci d2 : x + y − 4 = 0. Aria p˘atratului este egal˘a cu jum˘atate din p˘atratul
lungimii diagonalei, deci (2√2)2
2 = 4. Punctul C(1, 3) este simetricul lui A ˆın raport cu diagonala dat˘a.
17. Fie triunghiul ABC, ˆın care not˘am BC = a, AC = b, AB = c. Presupunem c˘a lungimea medianei
AM este egal˘a cu c. Atunci:
A a2 + 2c2 = 3b2; B a2 + 2c2 = 2b2; C cos C = 4a
3b ; D cos C = 3a
4b .
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D adev˘arat˘a.

Subiect · pagina 11

Solut¸ie: Din teorema medianei deducem c˘a AM 2 = b2+c2
2 − a2
4 . Folosind ipoteza AM = c deducem
a2 +2c2 = 2b2. Deci r˘aspunsul A este fals ¸si r˘aspunsul B este adev˘arat. Utilizˆand ˆın relat¸ia anterioar˘a,
teorema cosinusului pentru latura AB obt¸inem 3a = 4b cos C. Deci afirmat¸ia D este adev˘arat˘a ¸si
afirmat¸ia C fals˘a.
18. Valoarea limitei lim
x→0
( 1
x2 − 1
sin2 x
)
este:
A − 1
3 ; B −1; C 0; D 1
2 .
R˘aspuns:
A adev˘arat˘a; B fals˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Prin calcul obt¸inem:
lim
x→0
(
1
x2 − 1
sin2 x
)
= lim
x→0
sin2 x − x2
x2 sin2 x = lim
x→0
sin x − x
x2 sin x lim
x→0
sin x + x
sin x
= 2 lim
x→0
sin x − x
x2 sin x = 2 lim
x→0
cos x − 1
2x sin x + x2 cos x
= 2 lim
x→0
− sin x
2 sin x + 4x cos x − x2 sin x
= 2 lim
x→0
− cos x
6 cos x − 6x sin x − x2 cos x
= − 1
3 .
19. Fie funct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (x) = arctg x + arcctg x pentru orice x ∈ R. Care dintre
urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A f (−1) = − π
2 .
B f (x) = π
2 , pentru orice x ∈ (0, ∞).
C Funct¸ia f este impar˘a.
D lim
x→∞ f (x) = lim
x→−∞ f (x).
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D adev˘arat˘a.
Solut¸ie: Din faptul c˘a
f ′(x) = 1
1 + x2 − 1
1 + x2 = 0 pentru orice x ∈ R,
rezult˘a c˘a funct¸ia f este constant˘a pe R. Prin urmare, f (x) = f (0) = π
2 pentru orice x ∈ R, de unde
rezult˘a imediat c˘a doar afirmat¸iile B ¸si D sunt adev˘arate.
20. Num˘arul solut¸iilor reale ale ecuat¸iei xex = − 1
3 este:
A 0; B 1; C 2; D 3.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Consider˘am funct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (x) = xex, ∀x ∈ R. Avem f ′(x) = (x + 1)ex
pentru orice x ∈ R. Tabelul urm˘ator rezum˘a variat¸ia lui f .

Subiect · pagina 12

x −∞ −1 ∞
f ′(x) − − 0 + +
f (x) 0 ↘ ↘ − 1
e ↗ ↗ ∞
Cum − 1
e < − 1
3 < 0, din tabel reiese c˘a ecuat¸ia xex = − 1
3 are exact dou˘a solut¸ii.
21. Fie ABC un triunghi ¸si A′ ∈ [BC], B′ ∈ [CA], C′ ∈ [AB] astfel ˆıncˆat BA′
BC = CB′
CA = AC′
AB = α. Dac˘a
AA′B′C′ este aria triunghiului A′B′C′, atunci
A AA′B′C′
AABC = 1 − 3α(1 − α); B AA′B′C′
AABC ∈ [ 1
4 , 1] ;
C AA′B′C′
AABC = 1 − 12α2(1 − α)2; D AA′B′C′
AABC ∈ [ 1
2 , 1].
R˘aspuns: A adev˘arat˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: BA′
BC = CB′
CA = AC′
AB = α ∈ [0, 1]. Din formula ariei cu sinus, ariile triunghiurilor AB′C′, A′BC′
¸si A′B′C sunt egale cu α(1 − α)AABC . Rezult˘a AA′B′C′ = AABC − 3α(1 − α)AABC , deci
AA′B′C′
AABC
= 1 − 3α(1 − α) = 3α2 − 3α + 1 = 3
(
α − 1
2
)2
+ 1
4 ∈
[ 1
4 , 1
]
.
22. Valoarea limitei lim
x→ π
4
∫ tg x
1 et2
dt
∫ ctg x
1 et2 dt este:
A 1; B π; C 0; D −1.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C fals˘a; D adev˘arat˘a.
Solut¸ie: Funct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (t) = et2
, este continu˘a, deci admite primitive. Fie F o
primitiva a lui f . Avem
lim
x→ π
4
∫ tg x
1 et2
dt
∫ ctg x
1 et2 dt = lim
x→ π
4
F (tg x) − F (1)
F (ctg x) − F (1) = lim
x→ π
4
f (tg x)(1 + tg2x)
f (ctg x)(−1 − ctg2x) = −1.
23. Triunghiul ABC ˆın care are loc relat¸ia sin(B) + cos(B) = sin(C) + cos(C) este:
A dreptunghic B isoscel C echilateral D dreptunghic sau isoscel.
R˘aspuns: A fals˘a; B fals˘a; C fals˘a; D adev˘arat˘a.
Solut¸ie: Rescriem relat¸ia dat˘a astfel: sin(B) − sin(C) = cos(C) − cos(B). Transform˘am diferent¸ele ˆın
produse ¸si obt¸inem:
2 sin B − C
2 cos B + C
2 = 2 sin B − C
2 sin B + C
2
sau
sin B − C
2
(
cos B + C
2 − sin B + C
2
)
= 0.
Din sin B−C
2 = 0 se obt¸ine B − C = 0, deci triunghiul este isoscel. Relat¸ia cos B+C
2 − sin B+C
2 = 0 poate
fi rescris˘a cos B+C
2 = sin ( π
2 − B+C
2
) de unde B + C = π
2 , deci ˆın acest caz triunghiul este dreptunghic.
24. Fie (an)n∈N∗ ¸sirul definit prin
an =
√ 1
n2 + 1
n3 +
√ 1
n2 + 2
n3 + · · · +
√ 1
n2 + n
n3 , pentru fiecare n ∈ N∗.

Subiect · pagina 13

Se noteaz˘a cu ` = lim
n→∞ an. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A ` = 0; B ` =
√2
3 ; C ` ∈ R \ Q; D ` = ∞.
R˘aspuns:
A fals˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Se observ˘a c˘a
an = 1
n
(√
1 + 1
n +
√
1 + 2
n + · · · +
√
1 + n
n
)
pentru fiecare n ∈ N∗.
Fie f : [0, 1] → R, f (x) = √1 + x. Pentru fiecare n ∈ N∗ se consider˘a diviziunea ∆n = (0, 1
n , 2
n , . . . , n−1
n , 1)
a intervalului [0, 1] ¸si ξn = ( 1
n , 2
n , . . . , n−1
n , 1) sistemul de puncte intermediare asociat diviziunii ∆n. Pentru
fiecare n ∈ N∗ termenul an este suma Riemann asociat˘a funct¸iei f , diviziunii ∆n ¸si sistemului de puncte
intermediare ξn, adic˘a an = σ∆n (f, ξn). ˆIntrucˆat lim
n→∞ ||∆n|| = lim
n→∞
1
n = 0, integrabilitatea funct¸iei f
implic˘a
` = lim
n→∞ σ∆n (f, ξn) =
∫ 1
0
f (x)dx =
∫ 1
0
√1 + x dx = 2
3 (1 + x) 3
2
∣
∣
∣
∣
1
0
= 2
3 (2√2 − 1).
Rezult˘a c˘a doar afirmat¸ia C este adev˘arat˘a.
25. Dou˘a laturi ale unui dreptunghi se afl˘a pe dreptele date prin ecuat¸iile:
(d1) : 2x − 3y + 5 = 0
(d2) : 3x + 2y − 7 = 0
¸si unul din vˆarfurile sale este punctul A(2, −3). Ecuat¸iile dreptelor pe care se afl˘a celelalte dou˘a laturi
ale dreptunghiului sunt:
A 2x − 3y − 13 = 0 ¸si 3x + 2y = 0; B y + 3 = 2
3 (x − 2) ¸si y + 3 = − 3
2 (x − 2);
C 2x − 3y + 13 = 0 ¸si 3x − 2y = 0; D y − 3 = 2
3 (x − 2) ¸si y − 3 = − 3
2 (x − 2).
R˘aspuns:
A adev˘arat˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Se observ˘a c˘a dreptele d1 si d2 sunt perpendiculare avˆand pantele m1 = 2
3 ¸si m2 = − 3
2 ¸si nu
trec prin punctul A. Astfel celelalte laturi ale dreptunghiului trec prin A ¸si sunt paralele cu d1, respectiv
d2. Dreapta paralel˘a dus˘a prin A la d1 are ecuat¸ia: 2x − 3y − 13 = 0 sau y + 3 = 2
3 (x − 2). Dreapta
paralel˘a dus˘a prin A la d2 are ecuat¸ia: y + 3 = − 3
2 (x − 2) sau 3x + 2y = 0.
26. Consider˘am α ∈ C un parametru ¸si sistemul de ecuat¸ii liniare cu 3 necunoscute



2x + αy + 2z = 1
4x − y + 5z = 1
2x + 10y + z = 1.
Stabilit¸i valoarea de adev˘ar a urm˘atoarelor afirmat¸ii:
A Matricea sistemului are rang 3 pentru orice valoare a lui α.
B Matricea extins˘a a sistemului are rang 3 pentru orice valoare a lui α.
C Sistemul dat este incompatibil dac˘a ¸si numai dac˘a α 6 = 3.

Subiect · pagina 14

D Sistemul dat este compatibil dac˘a ¸si numai dac˘a α 6 = 3.
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D adev˘arat˘a.
Solut¸ie:
Matricea sistemului ¸si matricea extins˘a a sistemului sunt
A =


2 α 2
4 −1 5
2 10 1

 , respectiv A =


2 α 2 1
4 −1 5 1
2 10 1 1

 .
Avem det(A) = 6α − 18 = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a α = 3, deci sistemul este compatibil dac˘a α 6 = 3.
ˆIn cazul cˆand α = 3 avem rang(A) = 2 ¸si rang(A) = 3, deci din teorema Kronecker-Capelli urmeaz˘a c˘a
sistemul este incompatibil pentru α = 3.
27. Fie G ⊆ R o mult¸ime astfel ˆıncˆat expresia
x ∗ y = xy
2xy − x − y + 1 , ∀x, y ∈ G
define¸ste o lege de compozit¸ie pe G. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A G poate fi intervalul (0, 2). B G poate fi intervalul (0, 1).
C Dac˘a G = (0, 1), atunci ,,∗” admite un element neutru.
D Dac˘a G = (0, 1), atunci simetricul lui 1
3 este 2
3 .
R˘aspuns:
A fals˘a; B adev˘arat˘a; C adev˘arat˘a; D adev˘arat˘a.
Solut¸ie: Pentru x = 1
4 ¸si y = 3
2 expresia din numitor este 0, deci A este fals. Dac˘a 0 < x, y < 1,
atunci xy > 0 ¸si (1 − x)(1 − y) > 0; adunˆand, obt¸inem 2xy − x − y + 1 > 0; de aici rezult˘a u¸sor c˘a
0 < x ∗ y < 1, deci B este adev˘arat. Din condit¸ia x ∗ e = x pentru orice x ∈ (0, 1) obt¸inem c˘a elementul
neutru este e = 1
2 , deci C este adev˘arat. Din x ∗ x′ = 1
2 obt¸inem x′ = 1 − x, deci D este adev˘arat.
28. Valoarea integralei 2022∫
1
2022
ln x
1 + x2 dx
este:
A 0; B 1; C 2; D 3.
R˘aspuns:
A adev˘arat˘a; B fals˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Facem schimbarea de variabil˘a x = 1
t . Atunci dx = − 1
t2 dt ¸si
2022∫
1
2022
ln x
1 + x2 dx =
1
2022∫
2022
ln 1
t
1 + 1
t2
·
(
− 1
t2
)
dt =
2022∫
1
2022
ln 1
t
t2 + 1 dt =
2022∫
1
2022
− ln t
t2 + 1 dt =
= −
2022∫
1
2022
ln t
t2 + 1 dt = −
2022∫
1
2022
ln x
1 + x2 dx.

Subiect · pagina 15

ˆIn consecint¸˘a, avem
2022∫
1
2022
ln x
1 + x2 dx = 0.
29. Fie x, y, z ∈ Z∗ astfel ˆıncˆat xy, yz, zx sunt ˆın progresie geometric˘a cu rat¸ia un num˘ar ˆıntreg diferit
de 1.
A Dac˘a y este p˘atrat perfect, atunci ¸si z este p˘atrat perfect.
B Dac˘a z este p˘atrat perfect, atunci ¸si y este p˘atrat perfect.
C Dac˘a y este p˘atrat perfect, atunci ¸si x este p˘atrat perfect.
D Dac˘a z este p˘atrat perfect, atunci ¸si x este p˘atrat perfect.
R˘aspuns:
A adev˘arat˘a; B adev˘arat˘a; C fals˘a; D fals˘a.
Solut¸ie:
Fie q rat¸ia progresiei geometrice. Rezul˘a c˘a qxy = yz ¸si qyz = zx, adic˘a q2xy = zx. Prin urmare,
z = q2y, deci A ¸si B sunt adev˘arate.
Pentru y = 1, x = 2 ¸si z = 4 condit¸iile cerute sunt satisf˘acute, y ¸si z sunt p˘atrate perfecte iar x nu
este, deci r˘aspunsurile C ¸si D sunt false.
30. Fie (xn)n∈N∗ ¸sirul definit prin xn =
∫ 2
0
(2 − x)2n−1
(2 + x)2n+1 dx, pentru fiecare n ∈ N∗. Care dintre urm˘atoarele
afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A x23 = 1
184 . B lim
n→∞ n2xn = 1. C lim
n→∞ nxn = 1
8 . D lim
n→∞ nxn = 0.
R˘aspuns:
A adev˘arat˘a; B fals˘a; C adev˘arat˘a; D fals˘a.
Solut¸ie: Fie n ∈ N∗. Atunci
xn =
∫ 2
0
( 2 − x
2 + x
)2n−1
· 1
(2 + x)2 dx = − 1
4
∫ 2
0
( 2 − x
2 + x
)2n−1
·
( 2 − x
2 + x
)′
dx = − 1
8n
( 2 − x
2 + x
)2n∣
∣
∣
∣
∣
2
0
= 1
8n .
ˆIntrucˆat 184 = 8 · 23, rezult˘a c˘a doar afirmat¸iile A ¸si C sunt adev˘arate.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2022Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2022Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2022Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2023Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.