Răspuns pe scurt
Două mărimi pozitive sunt invers proporționale dacă produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant. Când una se dublează, cealaltă se înjumătățește. Faptul că una crește și cealaltă scade nu este suficient.
Două mărimi pozitive sunt invers proporționale atunci când produsul valorilor lor corespunzătoare este constant. Dacă una se dublează, cealaltă se înjumătățește. Nu este suficient să observi că una crește și cealaltă scade.
Dacă ești în clasa a VI-a sau revii la această lecție în clasele VII–VIII, începe prin a vedea ce se păstrează în problemă. Exemplele de mai jos sunt create pentru acest articol; nu sunt subiecte oficiale de examen.
Mai multe pachete, mai puține fișe
Ai 120 de fișe și le împarți în pachete egale, fără să rămână fișe. Cu cât faci mai multe pachete, cu atât vor fi mai puține fișe în fiecare. Totalul este același.
| Număr de pachete | Fișe într-un pachet | Produsul valorilor |
|---|---|---|
| 4 | 30 | 4 × 30 = 120 |
| 6 | 20 | 6 × 20 = 120 |
| 10 | 12 | 10 × 12 = 120 |
La fiecare împărțire, numărul de pachete înmulțit cu numărul de fișe dintr-un pachet dă tot 120. Cele două mărimi sunt invers proporționale. Dacă numărul de pachete este x, iar numărul de fișe din fiecare este y, scrii x × y = 120, adică y = 120 : x.
Același criteriu al produsului constant este prezentat la pagina 56 în manualul de matematică pentru clasa a VI-a, Paralela 45, ediția 2023.
Câte fișe pui în 8 pachete?
Pornești de la cele 6 pachete a câte 20 de fișe și cauți câte fișe revin fiecăruia dintre cele 8 pachete noi. Scrii 6 × 20 = 8 × y. De aici, 120 = 8 × y, deci y = 120 : 8 = 15. Pui câte 15 fișe în fiecare pachet.
Răspunsul se potrivește și cu ce se întâmplă în problemă: împarți aceleași fișe în 8 pachete în loc de 6. În fiecare vor fi mai puține decât cele 20 de la început. Iar 8 × 15 = 120 confirmă totalul.
Dacă ai scrie 6 : 20 = 8 : y, ai obține y = 26,(6). Această egalitate păstrează raportul, ca la mărimi direct proporționale. Dar 8 × 26,(6) nu dă 120. În plus, ai obține mai multe fișe în fiecare dintre cele 8 pachete decât aveai în fiecare dintre cele 6.
Una crește, alta scade. Verifică și produsul
Privește perechile (2, 18), (4, 16), (8, 12). Prima valoare crește, iar a doua scade. Totuși, produsele sunt 36, 64 și 96. Nu sunt egale, deci aceste valori nu arată o proporționalitate inversă. În acest exemplu, ceea ce rămâne constant este suma: 20.
Două produse egale dintr-un tabel nu îți spun, singure, cum se comportă situația în toate cazurile. Verifică enunțul: dacă se schimbă și totalul fișelor, nu mai poți folosi automat produsul 120. Pentru citirea atentă a datelor, vezi și exemplul cu tabel și două condiții.
Cum deosebești proporționalitatea directă de cea inversă?
La mărimi direct proporționale, raportul valorilor corespunzătoare este constant. La cele invers proporționale, produsul este constant. Înainte de calcul, caută ceea ce rămâne fix în situația descrisă.
De exemplu, la un preț fix pe caiet, costul total și numărul de caiete sunt direct proporționale. Dacă dublezi numărul de caiete, dublezi costul, presupunând că nu se aplică reduceri ori alte taxe. În problema cu fișele, totalul este fix: dublarea numărului de pachete înjumătățește numărul de fișe din fiecare.
Încearcă fără rezolvarea în față
Un dreptunghi are aria de 48 cm² și laturi de 6 cm și 8 cm. Latura de 6 cm devine de 12 cm. Cât trebuie să aibă cealaltă latură, dacă aria rămâne aceeași?
Răspuns: 4 cm, pentru că 12 × 4 = 48. Lungimea și lățimea sunt invers proporționale când aria rămâne fixă. Dacă ai obținut 16 cm, ai dublat ambele dimensiuni și ai schimbat aria la 192 cm².
Explică singur ce a rămas constant, apoi ia pentru prima latură 16 cm și afl-o pe cealaltă. Rezultatul este 3 cm: 16 × 3 = 48. Poți folosi și metoda din verificarea lecției fără caiet: ascunde explicația și refă raționamentul, nu doar rezultatul.