Pregătire cu un profesor

Examen de admitere
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba scris˘a – Matematic˘a
15 iulie 2023
Versiunea 1
1. [5 puncte] Dac˘a ¸sirul de numere reale (an)n≥1 este o progresie aritmetic˘a, iar a1012 = 1
7,
atunci suma S = a1 + a2 + . . . + a2023 este egal˘a cu
A. 2023
B. 289
C. 1321
D. 0
E. 2024
F. 17.
Solut¸ie: Dac˘a r este rat¸ia progresiei aritmetice avem c˘a S = a1 + a2023
2 · 2023 =
a1 + a1 + 2022r
2 · 2023 = (a1 + 1011r)2023 = a1012 · 2023 = 2023
7 = 289.
2. [3 puncte] Pe mult¸imea R definim legea de compozit¸ie x ◦ y = 3xy − 6x − 6y + 14,
x, y ∈ R. Elementul neutru, e ∈ R, al legii de compozit¸ie ”◦” este
A. e = −2
B. e = 3
C. e = 0
D. e = 7
3
E. e = 1
F. e = 8
Solut¸ie: Avem c˘a e ◦ x = x ◦ e = x, pentru orice x ∈ R, dac˘a ¸si numai dac˘a
(x − 2)(3e − 7) = 0, pentru orice x ∈ R. Se deduce c˘a e = 7
3.

Subiect · pagina 2

3. [4 puncte] Fie f : R → R, f (x) =
{ 5x2 + 2ax + 2 , x ≤ 1
2x + b , x > 1 , unde a, b ∈ R astfel
ˆıncˆat funct¸ia f s˘a fie derivabil˘a pe R. Num˘arul ab este egal cu
A. 64
B. 1
C. 81
D. 1
81
E. −7
F. − 1
64
Solut¸ie: Impunˆand condit¸ia de continuitate ˆın x0 = 1 se deduce c˘a 7 + 2a = b + 2.
ˆIn acest caz avem c˘a exist˘a derivatele laterale f ′
s(1) = 2a + 10, iar f ′
d(1) = 2. Funct¸ia
f va fi derivabil˘a ˆın x0 = 1 (deci ¸si pe R) dac˘a 2a + 10 = 2. Se deduce c˘a a = −4 ¸si
b = −3. Atunci ab = − 1
64.
4. [4 puncte] Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei log2(x2 − 3x + 2) = log2(x2 − 4x + 3) + 2 este
A. {1, 10
3 }
B. {−10
3 }
C. {10
3 }
D. {10}
E. ∅
F. {1, 10}
Solut¸ie: ˆIn condit¸iile de existent¸˘a (x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, ∞)) ecuat¸ia este echivalent˘a
cu
log2
x − 2
x − 3 = log2 4,
ceea ce conduce la x = 10
3 .
5. [5 puncte] Fie a, b ∈ R ¸si polinomul p = X3 −aX2 +4X −b ∈ R[X]. Dac˘a x1 = 1−i ∈ C
este r˘ad˘acin˘a a polinomului p, atunci a + b + a · b este egal cu
A. 12
B. 11
C. 0
D. 13
E. −11
F. 14
Solut¸ie: Avem x2
1 = −2i, x3
1 = (1 − i)(−2i) = −2 − 2i. Deoarece 0 = p(x1) =
(−2 − 2i) − a(−2i) + 4(1 − i) − b = (−2 + 4 − b) + (−2 + 2a − 4)i rezult˘a a = 3, b = 2,
deci a + b + ab = 11.
2

Subiect · pagina 3

6. [5 puncte] Fie f, F : R → R, f (x) = (2 sin x + 4 cos x)e−x, F (x) = (a sin x + b cos x)e−x.
Perechea (a, b) pentru care funct¸ia F este o primitiv˘a a funct¸iei f este
A. (2, 1)
B. (2, 4)
C. (1, 1)
D. (1, 0)
E. (1, −3)
F. (−1, 2)
Solut¸ie: Funct¸ia F este derivabil˘a ¸si F ′(x) = ((a−b) cos x−(a+b) sin x)e−x. Rezult˘a
c˘a funct¸ia F va fi o primitiv˘a a funct¸iei f dac˘a ¸si numai dac˘a
{ a − b = 4
a + b = −2, sistem
cu solut¸ia (1, −3).
7. [4 puncte] Fie matricea A =


1 2 −1 3
4 −1 3 3
5 1 α 2

. Dac˘a M = {α ∈ R | rang(A) = 2} ,
atunci
A. M = {−3}
B. M = {−1}
C. M = {1}
D. M = {3}
E. M = {2}
F. M = ∅
Solut¸ie: Pentru orice valoare a lui α ∈ R, matricea dat˘a are minorul de ordinul 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 3
4 −1 3
5 1 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 36 6 = 0,
deci A are rangul egal cu 3. Rezult˘a M = ∅.
8. [5 puncte] Fie A =
(̂2̂ 3̂
0̂ 2
)
∈ M2(Z13). Atunci matricea A13 este egal˘a cu
A. A
B.̂ 6A
C. I2
D.̂ 2I2
E.̂ 3I2
F.̂ 3A
Solut¸ie: Prin induct¸ie dup˘a n se arat˘a c˘a
An =
(̂
2n̂ 3n · 2n−1̂
0̂ 2n
)
, ∀n ≥ 1.
Din teorema lui Fermat sau prin calcul direct se obt¸inê 213 =̂ 2. Rezult˘a c˘a A13 =(̂ 2̂ 0̂
0̂ 2
)
=̂ 2I2.
3

Subiect · pagina 4

Solut¸ie alternativ˘a. Scriind A sub forma A =̂ 2I2 +̂ 3B, unde B =
(̂0̂ 1̂
0̂ 0
)
, uti-
lizˆand binomul lui Newton ¸si faptul c˘a 13 | Ck
13 pentru orice k ∈ {1, ..., 12} (sau
echivalent,̂ Ck
13 =̂ 0, ∀k ∈ {1, ..., 12}) obt¸inem
A13 = (̂2I2 +̂ 3B)13 =̂ 213I13
2 +̂ 313B13.
Cum̂ 213 =̂ 2, I13
2 = I2 ¸si B2 = O2, relat¸ia anterioar˘a devine A13 =̂ 2I2, deci r˘aspunsul
corect este D.
9. [5 puncte] Fie ¸sirul (In)n∈N, In =
1∫
0
xn
x + 1dx. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii este
adev˘arat˘a?
A. lim
n→∞ In = ∞
B. lim
n→∞ In = 1
C. lim
n→∞ In nu exist˘a.
D. lim
n→∞ nIn = ∞
E. lim
n→∞ nIn ∈
[1
2, 1
]
F. lim
n→∞ nIn nu exist˘a.
Solut¸ie: Deoarece
1
2 · xn ≤ 1
x + 1 · xn ≤ 1 · xn, ∀x ∈ [0, 1], ∀n ∈ N
se obt¸ine prin integrare pe [0, 1] c˘a
1
2(n + 1) ≤ In ≤ 1
n + 1, ∀n ∈ N,
iar din teorema cle¸stelui rezult˘a lim
n→∞ In = 0; deci r˘aspunsurile A, B, C sunt false.
Avem, de asemenea,
(n + 1)In =
1∫
0
(xn+1)′ 1
x + 1 dx = xn+1
x + 1
∣
∣
∣
∣
1
0
+
1∫
0
xn+1
(x + 1)2 dx = 1
2 +
1∫
0
xn+1
(x + 1)2 dx.
Ca mai sus se arat˘a c˘a lim
n→∞
1∫
0
xn+1
(x + 1)2 dx = 0, de unde obt¸inem lim
n→∞(n + 1)In = 1
2,
deci lim
n→∞ nIn = 1
2. Rezult˘a c˘a r˘aspunsul E este adev˘arat, iar D ¸si F sunt false.
10. [4 puncte] Fie x1, x2 ∈ C solut¸iile ecuat¸iei x2 − 4x + 5 = 0. Valoarea expresiei x3
1 + x3
2
este
A. 0
B. 1
C. 4
D. -4
E. 4i
F. 2
4

Subiect · pagina 5

Solut¸ie: Din relat¸iile lui Vi`ete avem x1 + x2 = 4 ¸si x1x2 = 5. Rezult˘a
x3
1 + x3
2 = (x1 + x2)((x1 + x2)2 − 3x1x2) = 4 · (42 − 3 · 5) = 4.
11. [5 puncte] Perimetrul unui p˘atrat care are unul dintre vˆarfuri ˆın punctul A(−5, −4) ¸si
ca dreapt˘a suport a uneia dintre diagonale dreapta de ecuat¸ie x − y = 1 este egal cu
A. 4
B. 4√2
C. 8
D. 2√2
E. 8√2
F. 2
Solut¸ie: Dac˘a not˘am cu l lungimea laturii p˘atratului, atunci distant¸a de la un vˆarf
al acestuia la diagonala c˘areia nu ˆıi apart¸ine este l
√2. Dar aceast˘a distant¸˘a este
dist(A(−5, −4), d : x − y − 1 = 0) = |(−5) − (−4) − 1|
√12 + (−1)2 = 2
√2,
de unde rezult˘a l = 2. Perimetrul p˘atratului este 4l = 8.
12. [5 puncte] Num˘arul solut¸iilor reale ale ecuat¸iei x · 2x = 1 este
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
E. 0
F. 5
Solut¸ie: Orice solut¸ie a ecuat¸iei este pozitiv˘a. Funct¸iile x ¸si 2x sunt pozitive ¸si
strict cresc˘atoare pe (0, ∞), deci funct¸ia produs x · 2x este strict cresc˘atoare pe
(0, ∞). Rezult˘a c˘a ecuat¸ia din enunt¸ are cel mult o solut¸ie. Pentru funct¸ia continu˘a
f (x) = x · 2x − 1 observ˘am c˘a f (0) = −1 < 0 ¸si f (1) = 1 > 0. Deci ecuat¸ia are exact
o solut¸ie, situat˘a ˆın intervalul (0, 1).
13. [3 puncte] Valoarea limitei lim
x→+∞
1 − cos x
x2 este
A. +∞
B. 1
3
C. 0
D. −1
3
E. 1
F. 1
6
Solut¸ie: Deoarece funct¸ia 1−cos x este m˘arginit˘a, iar lim
x→+∞
1
x2 = 0, rezult˘a c˘a limita
din enunt¸ este 0.
5

Subiect · pagina 6

14. [4 puncte] ˆIn reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(2, −3) ¸si B(3, −2). Dreapta
perpendicular˘a pe dreapta AB care trece prin punctul C(5, 0) are ecuat¸ia
A. y = x − 1
B. y = x + 1
C. y = −x − 5
D. y = x + 5
E. y = −x + 5
F. y = −x
Solut¸ie: Panta dreptei AB este mAB = yB − yA
xB − xA
= 1. Ecuat¸ia dreptei care trece
prin punctul C ¸si este perpendicular˘a pe AB este y − yC = − 1
mAB
(x − xC ), adic˘a
y = −x + 5.
15. [4 puncte] Fie matricea A =


1 −1 1
2 −1 0
3 −2 1

 . Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii este
adev˘arat˘a?
A. det A = 1
B. A este inversabil˘a ¸si A−1 = A2 − A
C. A∗ = A2 − A − 2I3
D. A este inversabil˘a ¸si A−1 = A2 − A − 2I3
E. A2 = A
F. A∗ = A2 − A + 2I3
Solut¸ie: Se obt¸ine det A = 0. A¸sadar afirmat¸iile A, B, D sunt false. Prin calcul
direct se arat˘a c˘a afirmat¸iile E ¸si F sunt de asemenea false, iar afirmat¸ia C este
adev˘arat˘a. Mai exact,
A∗ =




−1 −1 1
−2 −2 2
−1 −1 1



 .
16. [5 puncte] Cˆate numere complexe z verific˘a egalitatea z2 = z + |z|?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
E. 6
F. 5
Solut¸ie: Dac˘a z = a + ib, a, b ∈ R, scriind egalitatea din enunt¸ se obt¸ine
a2 − b2 + 2abi = a + √a2 + b2 + bi.
Egalˆand p˘art¸ile imaginare rezult˘a b(2a − 1) = 0. Pentru b = 0, din egalarea p˘art¸ilor
reale se obt¸ine ecuat¸ia a2 = a + |a|, care are solut¸iile a = 0 ¸si a = 2. Pentru a = 1
2
se obt¸ine
−1
4 = b2 +
√1
4 + b2,
6

Subiect · pagina 7

ecuat¸ie care nu are solut¸ii reale. Numerele complexe care verific˘a egalitatea din enunt¸
sunt deci z = 0 ¸si z = 2.
17. [5 puncte] Se consider˘a funct, ia f : R → R definit˘a prin relat, ia f (x) = x|x| + |x − 1|, x ∈
R. Mult, imea punctelor ˆın care f nu este derivabil˘a este
A. {0}
B. {1}
C. {0, 1}
D. ∅
E. R
F. Niciuna dintre variantele ment, ionate mai sus
Solut¸ie: S, tim c˘a, pentru orice a ∈ R fixat, funct, ia R 3 x 7 → |x − a| ∈ R este
derivabil˘a pe R \ {a}, dar nu este derivabil˘a ˆın a. Not˘am cu g s, i h funct, iile R 3 x 7 →
x|x| ∈ R, respectiv R 3 x 7 → |x − 1| ∈ R. Cum
lim
x→0
g(x) − g(0)
x − 0 = lim
x→0
x|x|
x = lim
x→0 |x| = 0,
deducem c˘a g este derivabil˘a s, i ˆın 0, deci pe ˆıntreaga mult, ime a numerelor reale.
Astfel, mult, imea punctelor de derivabilitate ale lui f coincide cu mult, imea punctelor
de derivabilitate ale lui h, adic˘a cu R \ {1}.
18. [5 puncte] Mult¸imea solut¸iilor inecuat¸iei 27x ≤ 3x+4 este
A. (2, ∞)
B. ∅
C. [3, ∞)
D. (−∞, 2]
E. (−∞, 3]
F. Niciuna dintre variantele ment, ionate mai sus
Solut¸ie: Inecuat¸ia se scrie echivalent 33x ≤ 3x+4, deci 3x ≤ x+4. Mult¸imea solut¸iilor
este (−∞, 2].
19. [5 puncte] Valoarea integralei 2∫
0
|x − 1| dx
este
A. 2
B. 0
C. 1
D. 1
2
E. 3
2
F. 3
7

Subiect · pagina 8

Solut¸ie:
2∫
0
|x − 1| dx =
1∫
0
(1 − x) dx +
2∫
1
(x − 1) dx =
(
x − x2
2
)∣
∣
∣
∣
1
0
+
(x2
2 − x
)∣
∣
∣
∣
2
1
= 1.
20. [5 puncte] Fie x ∈
(
0, π
2
)
astfel ˆıncˆat sin x − cos x = 1
2. Valoarea expresiei sin x + cos x
este
A.
√2
2
B.
√3
2
C.
√7
2
D. 1
E. 3
2
F. √2
Solut¸ie: Avem
2 = (sin x − cos x)2 + (sin x + cos x)2 = 1
4 + (sin x + cos x)2,
de unde rezult˘a (sin x + cos x)2 = 7
4. Deoarece sin x + cos x > 0 pentru x ∈
(
0, π
2
)
se obt¸ine sin x + cos x =
√7
2 .
8

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2023Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Informatică · Subiect și baremDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea septembrie; subiect oficialDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2023 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2023

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1