Examen de admitere · Matematică · 2021

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2021
Subiect la Matematic˘a
Subiectul 1. Se consider˘a mult¸imea
M =


A(x) =


1 x 0
0 1 0
0 0 3x

 | x ∈ R


 .
(a) Ar˘atat¸i c˘a A(x) · A(y) = A(y) · A(x) ∈ M, ∀x, y ∈ R.
(b) Calculat¸i (A(2021))n, unde n este un num˘ar natural nenul.
(c) Calculat¸i A(1) · A(2) · A(22) . . . A(22021).
Subiectul 2. Fie a, b ∈ R∗ dou˘a numere reale, cu a > 0, mult¸imea A =
( b
a , ∞
)
pe care este definit˘a
legea de compozit¸ie
x ∗ y = axy − bx − by + b(b + 1)
a pentru orice x, y ∈ A,
¸si funct¸ia f : A −→ (0, ∞) definit˘a prin f (x) = ax − b pentru orice x ∈ A.
a) Ar˘atat¸i c˘a f este un izomorfism de la (A, ∗) la ((0, ∞), ·).
b) Ar˘atat¸i c˘a (A, ∗) este un grup; determinat¸i elementul s˘au neutru ¸si simetricul unui element oarecare
x ∈ A.
c) Rezolvat¸i ˆın A ecuat¸ia
x ∗ a2 + b
a = b2 + b
a .
Subiectul 3. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 − 12x. Determinat¸i ecuat¸ia tangentei la graficul
funct¸iei f care trece prin punctul A(0, 16)
Subiectul 4. Fie f : R → R, f (x) =
{ −3 cos πx + x + 1 , x ≤ 2
ln(x − 1) , x > 2 , unde a, b ∈ R
a) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f este derivabil˘a pe R;
b) Calculat¸i
3∫
1
f (x) dx;
c) Dac˘a pentru n ∈ N not˘am In =
3∫
2
f n(x) dx, ar˘atat¸i c˘a ¸sirul (In)n≥0 este convergent ¸si calculat¸i
lim
n→∞ In.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.