Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concursul FMI, Edit¸ia VI - 17 aprilie 2021
Solut¸ii Proba Matematic˘a, clasa a XI- a
17 aprilie 2021
Variantele corecte sunt marcate cu culoare albastr˘a
Problema 1. Fie k ∈ N? fixat ¸si l = lim
n→∞
{√n2 + kn}, unde {a} este notat¸ia pentru partea
fract¸ionar˘a a num˘arului real a. Atunci l este solut¸ie a ecuat¸iei:
(A) 2x2 − 3x + 1 = 0;
(B) 2x2 + 5x + 2 = 0;
(C) x2 − x − 2 = 0;
(D) 3x2 − 10x + 3 = 0.
Solut¸ie: Dac˘a k = 2p, n ∈ N∗ atunci
(n + p − 1)2 ≤ n2 + 2pn < (n + p)2
¸si deci [√n2 + kn] = n + p − 1. Astfel
l = lim
n→∞
{√n2 + kn
}
= lim
n→∞
(√n2 + 2pn − n − p + 1) = lim
n→∞
( 2pn
√n2 + 2pn + n − p + 1) = 1
Dac˘a k = 2p + 1, n ∈ N atunci
(n + p)2 ≤ n2 + (2p + 1)n < (n + p + 1)2,
pentru orice n ≥ p2 ¸si deci [√n2 + kn] = n + p. Obt¸inem c˘a:
l = lim
n→∞
{√n2 + kn
}
= lim
n→∞
(√n2 + (2p + 1)n−n−p) = lim
n→∞
( (2p + 1)n
√n2 + (2p + 1)n + n −p) = 2p + 1
2 −p = 1
2 .
Rezult˘a c˘a l este una din solut¸iile ecuat¸ie 2x2 − 3x + 1 = 0.
R˘aspuns corect: (A)
Problema 2. Fie x1, x2 r˘ad˘acinile ce nu sunt reale ale ecuat¸iei x3 − x2 + x + 3 = 0. Atunci
determinantul
D =
x2
1 x2
2 1
x2 −1 x1
−1 x1 x2
are valoarea:
(A) D = 8;
(B) D = 9;
(C) D = 10;
(D) D = 11.
Solut¸ie: Deoarece x3 − x2 + x + 3 = (x + 1)(x2 − 2x + 3), rezult˘a c˘a x1, x2 sunt solut¸iile ecuat¸iei
x2 − 2x + 3 = 0 (cu ∆ = −8 < 0, ceea ce justific˘a faptul c˘a x1, x2 ∈ C \ R).
1

Subiect și barem · pagina 2

2
Avem c˘a
D = −x1x2(x1 + x2 − 1) − 1 − (x4
1 + x4
2).
Conform relat¸iilor lui Vi´ete:
x1 + x2 = 2
x1x2 = 3
Cum
x2
1 = 2x1 − 3, ¸si x2
2 = 2x2 − 3
vom avea:
x2
1 + x2
2 = 2(x1 + x2) − 6 = −2,
x3
1 + x3
2 = 2(x2
1 + x2
2) − 3(x1 + x2) = −10,
x4
1 + x4
2 = 2(x3
1 + x3
2) − 3(x2
1 + x2
2) = −14.
Astfel D = −3(2 − 1) − 1 − (−14) = 10
R˘aspuns corect: (C)
Problema 3. Dac˘a A, B ∈ M2022(R) astfel ˆıncˆat A2 + B2 = O2022, unde O2022 noteaz˘a matricea
nul˘a de ordinul 2022, atunci:
(A) det(AB − BA) < 0;
(B) det(AB − BA) ≤ 0;
(C) det(AB − BA) ≥ 0;
(D) det(AB − BA) > 0.
Solut¸ie: Vom avea
(A + iB)(A − iB) = A2 + B2 − i(AB − BA) = −i(AB − BA)
Deoarece A, B ∈ M2022(R) rezult˘a c˘a det(A − iB) = det(A + iB) ¸si atunci
det(A + iB)(A − iB) = det(A + iB) det(A − iB) = | det(A + iB)|2.
Astfel
0 ≤ | det(A+iB)|2 = det(A+iB)(A−iB) = det ((−i)(AB−BA)) = (−i)2022 det(AB−BA) = − det(AB−BA),
de unde rezult˘a c˘a det(AB − BA) ≤ 0
R˘aspuns corect: (B)
Problema 4. Fie A ∈ M2(R) cu suma elementelor de pe diagonala principal˘a egal˘a cu 1. Dac˘a
A2021 = A2020, atunci:
(A) A2022 = I2;
(B) A2022 = −I2;
(C) A2022 = A;
(D) A2022 = −A.
Solut¸ie: Cum (
det A)2021
= det (A2021) = det (A2020) = ( det A)2020,
rezult˘a c˘a det A ∈ {0, 1}.

Subiect și barem · pagina 3

3
Presupunˆand, prin reducere la absurd, c˘a det A = 1, conform relat¸iei Hamilton-Cayley vom avea:
A2 − A + I2 = O2.
Atunci A3 = A2 − A = −I2 ¸si deci
A2020 = (A3)673 · A = −A,
iar
A2021 = (A3)673 · A2 = −A2,
Rezult˘a c˘a A2 = A ceea ce implic˘a faptul c˘a I2 = O2. Contradict¸ie
Atunci det A = 0, ceea ce arat˘a (din relat¸ia Hamilton-Cayley) c˘a A2 = A. Obt¸inem astfel c˘a
A2022 = A.
R˘aspuns corect: (C)
Problema 5. Determinat¸i a ∈ R astfel ˆıncˆat funct¸ia f : R → R, f (x) =
{ x3 − ax + a2, x ∈ Q
a2x − 1, x ∈ R \ Q s˘a
fie continu˘a ˆın x0 = 1.
(A) a = −2;
(B) a = −1;
(C) a = 1;
(D) a = 2.
Solut¸ie: Funct¸ia f este continu˘a ˆın x0 = 1 dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a lim
x→1 f (x) = f (1) ceea ce este
echivalent cu
lim
x → 1
x ∈ Q
f (x) = lim
x → 1
x ∈ R \ Q
f (x)
Rezult˘a c˘a 1 − a + a2 = a2 − 1 ¸si deci a = 2.
R˘aspuns corect: (D)
Problema 6. Pentru ce interval J ⊆ R funct¸ia f : R → J, f (x) = ex − e−x
ex + e−x , ∀x ∈ R, este bijectiv˘a?
(A) J = (−1, 0);
(B) J = (0, 1);
(C) J = (−1, 1);
(D) J = R.
Solut¸ie: Deoarece f ′(x) = 4
(ex + e−x)2 > 0, pentru orice x ∈ R, rezult˘a c˘a funct¸ia f este strict cresc
atoare (deci ¸si injectiv˘a) ¸si atunci va fi bijectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a J = Im f
Dar
lim
x→−∞ f (x) = lim
x→−∞
e2x − 1
e2x + 1 = −1,
iar
lim
x→∞ f (x) = lim
x→∞
1 − e−2x
1 + e−2x = 1,
rezult˘a c˘a J = (−1, 1)
R˘aspuns corect: (C)

Subiect și barem · pagina 4

4
Problema 7. Dac˘a A, B ∈ M3(R), A 6 = B astfel ˆıncˆat AB = 2A + 3B, atunci:
(A) rang(A) = rang(B) + 1;
(B) rang(B) = rang(A) + 1;
(C) rang(A) = rang(B);
(D) rang(A) · rang(B) = 2.
Solut¸ie: Cum A(B − 2I2) = 3B, iar (A − 3I2)B = 2A avem:
rang(B) = rang(3B) = rang(A(B − 2I2)) ≤ rang(A)
¸si
rang(A) = rang(2A) = rang((A − 3I2)B) ≤ rang(B).
Rezult˘a c˘a rang(A) = rang(B).
R˘aspuns corect: (C)
Problema 8. Pentru ce valoare a lui a ∈ R, limita
lim
n→∞
(
1 + 1
√2 + 1
√3 + · · · + 1
√n + a√n
)
exist˘a ¸si este finit˘a?
(A) a = −2;
(B) a = −1;
(C) a = 1;
(D) a = 2.
Solut¸ie: S˘a not˘am xn = 1 + 1
√2 + 1
√3 + · · · + 1
√n + a√n, n ≥ 1. Deoarece
1
2√k + 1 ≤ 1
√k + √k + 1 = √k + 1 − √k ≤ 1
2√k ,
pentru orice k ∈ N∗, vom avea:
n∑
k=1
1
√k ≥ 2
n∑
k=1
(√k + 1 − √k) = 2√n + 1 − 2,
¸si de asemenea n∑
k=1
1
√k = 1 +
n∑
k=2
1
√k ≤ 1 + 2
n−1∑
k=1
(√k + 1 − √k) = 2√n − 1,
pentru orice n ≥ 2. Atunci
2√n + 1 + a√n − 2 ≤ xn ≤ (2 + a)√n − 1,(0.1)
pentru orice n ≥ 2.
Dac˘a a < −2, cum lim
n→∞
(
(2 + a)√n − 1
)
= −∞, din (0.1) rezult˘a c˘a lim
n→∞ xn = −∞.
Dac˘a a > −2, cum lim
n→∞
(
2√n + 1 + a√n − 2
)
= lim
n→∞
(
(a + 2)√n + 2
√n + 1 + √n − 2
)
= +∞, din
(0.1) rezult˘a c˘a lim
n→∞ xn = +∞
Dac˘a a = −2, din (0.1) rezult˘a c˘a ¸sirul (xn)n≥1 este m˘arginit. Dar
xn+1 − xn = 1
√n + 1 − 2(√n + 1 − √n) ≤ 0, n ≥ 1

Subiect și barem · pagina 5

5
ceea ce arat˘a c˘a ¸sirul (xn)n≥1 este ¸si descresc˘ator, deci convergent (sau echivalent, are limit˘a finit˘a).
R˘aspuns corect: (A)
Problema 9. Determinat¸i a ∈ R astfel ˆıncˆat
lim
x→∞ x
[
1 − e−a (
1 + a
x
)x]
= 1.
(A) a ∈ {−3, 3};
(B) a ∈ {−√3, √3};
(C) a ∈ {−2, 2};
(D) a ∈ {−√2, √2}.
Solut¸ie: Vom avea:
lim
x→∞ x
[
1 − e−a (
1 + a
x
)x]
= a lim
y→0
1 − e−a(1 + y) a
y
y =
= −a lim
y→0
ea
( ln(1+y)
y −1
)
− 1
a( ln(1+y)
y − 1) a( ln(1+y)
y − 1)
y =
= −a2 lim
y→0
ln(1 + y) − y
y2 = −a2 lim
y→0
1
1+y − 1
2y = a2
2
Atunci lim
x→∞ x
[
1 − e−a
(
1 + a
x
)x]
= 1 dac˘a ¸si numai dac˘a a ∈ {−√2, √2}.
R˘aspuns corect: (D)
Problema 10. Dac˘a A ∈ M2(Z) este o matrice inversabil˘a astfel ˆıncˆat det(A + A−1) < 0, atunci:
(A) det(A) ≤ −1;
(B) det(A) < −1;
(C) det(A) > −1;
(D) det(A) ≥ −1.
Solut¸ie: Avem:
0 > det(A + A−1) = det (A−1(A2 + I2)) = det(A + iI2)(A − iI2)
det(A) = | det(A + iI2)|2
det(A)
Rezult˘a c˘a det(A) < 0 ¸si cum det(A) ∈ Z obt¸inem c˘a det(A) ≤ −1.
R˘aspuns corect: (A)
Problema 11. Determinat¸i a > 0 astfel ˆıncˆat ax + 1 ≥ 2x + 3x, ∀x ∈ R.
(A) a = 4;
(B) a = 5;
(C) a = 6;
(D) a = 7.
Solut¸ie: Considerˆand funct¸ia derivabil˘a f : R → R, f (x) = ax + 1 − 2x − 3x, vom avea c˘a inegalitatea
din enunt¸ este adev˘arat˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f (x) ≥ 0 = f (0), pentru orice x ∈ R.

Subiect și barem · pagina 6

6
Dac˘a a > 0 este astfel ˆıncˆat s˘a avem ax + 1 ≥ 2x + 3x, ∀x ∈ R, rezult˘a c˘a x0 = 0 este punct de minim
(global) pentru f , ¸si deci (conform Teoremei ui Fermat) f ′(0) = 0. Cum f ′(x) = ax ln a−2x ln 2−3x ln 3,
x ∈ R, rezult˘a c˘a f ′(0) = ln a − ln 6. Se obt¸ine astfel c˘a a = 6.
Reciproc, pentru a = 6 avem c˘a 6x + 1 − 2x − 3x = (2x − 1)(3x − 1) ≥ 0, pentru orice x ∈ R.
R˘aspuns corect: (C)
Problema 12. Fie funct¸ia f : R → R,
f (x) = x − a − b + 1
x2 + a2 + b2 , ∀x ∈ R,
unde a, b ∈ R, a2 + b2 6 = 0. Determinat¸i valorile lui a ¸si b pentru care funct¸ia f are un minim ˆın x1 = −1
¸si un maxim ˆın x2 = 1.
(A) (a, b) ∈ {(1, −1), (−1, 1)};
(B) (a, b) ∈ {(1, 0), (0, 1)};
(C) (a, b) = (1, 1);
(D) (a, b) = (−1, −1).
Solut¸ie: Dac˘a x1 = −1 este punct de minim (local), iar x2 = 1 este punct de maxim local atunci
f ′(−1) = f ′(1) = 0. Dar
f ′(x) = −x2 + 2(a + b − 1)x + a2 + b2
(x2 + a2 + b2)2 , x ∈ R.
Atunci
{ −1 − 2(a + b − 1) + a2 + b2 = 0
−1 + 2(a + b − 1) + a2 + b2 = 0 ⇐⇒
{ a + b = 1
a2 + b2 = 1 ⇐⇒ (a, b) ∈ {(0, 1), (1, 0)}
Reciproc, dac˘a (a, b) ∈ {(0, 1), (1, 0)} atunci f (x) = x
x2 + 1 , iar f ′(x) = 1 − x2
1 + x2 , x ∈ R. Rezult˘a c˘a
x1 = −1 este punct de minim (local), iar x2 = 1 este punct de maxim local.
R˘aspuns corect: (B)
Problema 13. Determinat¸i n ∈ N astfel ˆıncˆat
lim
x→0
xn − arctgn x
xn+2 = 1.
(A) n = 1;
(B) n = 2;
(C) n = 3;
(D) n = 4.
Solut¸ie: Deoarece
xn − arctgn x
xn+2 = x − arctg x
x3
(
1 + arctg x
x +
( arctg x
x
)2
+ . . . +
( arctg x
x
)n−1)
,
iar lim
x→0
arctg x
x = 1, rezult˘a c˘a
lim
x→0
xn − arctgn x
xn+2 = n lim
x→0
x − arctg x
x3 = n lim
x→0
1 − 1
1 + x2
3x2 = n
3 .

Subiect și barem · pagina 7

7
Deci lim
x→0
xn − arctgn x
xn+2 = 1 dac˘a ¸si numai dac˘a n = 3.
R˘aspuns corect: (C)
Problema 14. Fie f : R → (1, ∞), f (x) = 1 + 2x + 4x, ∀x ∈ R. Determinat¸i a = (f −1)′ (3).
(A) a = 1
2 ln 3 ;
(B) a = 2
ln 3 ;
(C) a = 3
ln 2 ;
(D) a = 1
3 ln 2 .
Solut¸ie: Funct¸ia f este strict cresc˘atoare ¸si surjectiv˘a (deci ˆıntr-adev˘ar bijectiv˘a), derivabil˘a cu inversa
continu˘a. Conform Teoremei de derivare a funct¸ie inverse, rezult˘a c˘a f −1 este derivabil˘a, iar
(f −1)′(3) = (f −1)′(f (0)) = 1
f ′(0) = 1
ln 8 = 1
3 ln 2 .
R˘aspuns corect: (D)
Problema 15. Considerˆand matricea de ordinul 2, A =
( √3 −1
1 √3
)
vom avea c˘a A2021 este egal˘a
cu:
(A) 22021
( √3 1
−1 √3
)
;
(B) 22020
( √3 1
−1 √3
)
;
(C) 22020
( −√3 −1
1 −√3
)
;
(D) 22021
( √3 −1
−1 √3
)
;
Solut¸ie: Avem c˘a A = 2

 cos π
6 − sin π
6
sin π
6 cos π
6

. Atunci
A2021 = 22021



cos 2021π
6 − sin 2021π
6
sin 2021π
6 cos 2021π
6


 = 22021



cos 5π
6 − sin 5π
6
sin 5π
6 cos 5π
6


 = 22020
( −√3 −1
1 −√3
)
R˘aspuns corect: (C)
Problema 16. Consider˘am funct¸ia f : (0, π) → R, f (x) = arctg
√ 1 − cos x
1 + cos x . Care din afirmat¸iile
urm˘atoare sunt adev˘arate:
(A) f este derivabil˘a pe
(
0, π
)
¸si f ′(x) = 1
1 + cos2 x , x ∈ (0, π);

Subiect și barem · pagina 8

8
(B) f nu este dervabil˘a ˆın x0 = π
2 ;
(C) f este derivabil˘a pe x ∈ (0, π) ¸si f ′(x) = 1
2 , x ∈ (0, π);
(D) f este derivabil˘a pe x ∈ (0, π) ¸si f ′(x) = x
2 , x ∈ (0, π).
Solut¸ie: Deoarece 1 − cos x
1 + cos x =
2 sin2 x
2
2 cos2 x
2
= tg2 x
2 , x ∈ (0, π), iar tg x
2 > 0, pentru orice x ∈ (0, π) se
obt¸ine c˘a f (x) = x
2 , x ∈ (0, π). Deci funct¸ia f este derivabil˘a pe x ∈ (0, π) ¸si f ′(x) = 1
2 , x ∈ (0, π).
R˘aspuns corect: (C)
Problema 17. Fie f : R → R, f (x) = 3
√sin3 x + x3. Care din urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate:
(A) f este derivabil˘a pe R, iar f ′(0) = 3
√2;
(B) f este continu˘a pe R dar nu este derivabil˘a ˆın x0 = 0;
(C) f este derivabil˘a doar pe (0, ∞);
(D) f este derivabil˘a pe R, iar f ′(0) = 0.
Solut¸ie: Deoarece funct¸ia g : R → R, g(x) = x + sin x este strict cresc˘atoare, rezult˘a c˘a g(x) = 0 dac˘a
¸si numai dac˘a x = 0. Rezult˘a ¸si c˘a sin3 x + x3 = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a x = 0.
Conform Teoremei de derivare a funct¸iilor compuse rezult˘a c˘a funct¸ia f este derivabil˘a pe R∗. ˆIn
plus, exist˘a
lim
x→0
f (x) − f (0)
x − 0 = lim
x→0
3
√
sin3 x + x3
x3 = 3
√2.
Fuct¸ia f este derivabil˘a ¸si ˆın x0 = 0 ¸si deci pe R, cu f ′(0) = 3
√2.
R˘aspuns corect: (A)
Problema 18. Fie A = (apq )1≤p,q≤3, unde apq = p + logp+1 q. Num˘arul b =
(
1 + i√3
2
)3+det A
este
egal cu:
(A) b = 1;
(B) b = −1 + i√3
2 ;
(C) b = 3;
(D) b = −1 − i√3
2 .
Solut¸ie: Avem c˘a
det A =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 + log2 1 1 + log2 2 1 + log2 3
2 + log3 1 2 + log3 2 2 + log3 3
3 + log4 1 3 + log4 2 3 + log4 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 1 + log2 3
2 2 + log3 2 3
3 7
2 3 + 1
2 log2 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0
Atunci b =
( 1+i√3
2
)3+det A
=
( 1+i√3
2
)3
= 1.
R˘aspuns corect: (A)

Subiect și barem · pagina 9

9
Problema 19. Dac˘a L = lim
x→∞
(√4x2 + 3x − 3
√8x3 + x2
)
atunci:
(A) L = +∞;
(B) L = 2
3 ;
(C) L = 3
2 ;
(D) L = −1;
Solut¸ie: Avem c˘a
L = lim
x→∞
(√4x2 + 3x − 3
√8x3 + x2
)
= lim
x→∞
(√4x2 + 3x − 2x + 2x − 3
√8x3 + x2
)
=
= lim
x→∞
( 3x
√4x2 + 3x + 2x + −x2
4x2 + 2x 3
√8x3 + x2 + 3
√(8x3 + x2)2
)
=
= lim
x→∞
3
√
4 + 3
x + 2
− lim
x→∞
1
4 + 2 3
√
8 + 1
x + 3
√
(8 + 1
x )2
= 3
4 − 1
12 = 2
3 .
R˘aspuns corect: (B)
Problema 20. Ecuat¸ia asimptotei oblice spre −∞ la graficul funct¸iei f : R → R, f (x) = √x2 − 2x + 3−
x este:
(A) y = −2x − 1;
(B) y = 2x − 1;
(C) y = −2x + 1;
(D) f nu admite asimptot˘a oblic˘a spre −∞ la graficul s˘au.
Solut¸ie: Exist˘a
m = lim
x→−∞
f (x)
x = lim
x→−∞
−x
√
1 − 2
x + 3
x2 − x
x = −2 ∈ R∗,
iar
n = lim
x→−∞
(f (x) − mx
)
= lim
x→−∞
(√x2 − 2x + 3 + x
)
= lim
x→−∞
−2x + 3
−x
√
1 − 2
x + 3
x2 − x
= −2
−2 = 1 ∈ R.
Rezult˘a c˘a dreapta de ecuat¸ie y = −2x + 1 este asimptot˘a oblic˘a spre −∞ la graficul funct¸iei.
R˘aspuns corect: (C)

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2021Informatică · Etapa 1Deschide fișa Concurs de pregătire · 2021Informatică · Etapa 2Deschide fișa Concurs de pregătire · 2021Matematică · Clasa a XII-a, etapa 1Deschide fișa Examen de admitere · 2021Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2021

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect și barem · pagina 1