Pregătire cu un profesor

Universitatea Tehnicºa "Gheorghe Asachi" din Ia∏si
Facultatea de Automaticºa ∏si Calculatoare
Domeniile: Calculatoare ∏si Tehnologia Informa∏tiei
Ingineria Sistemelor (Automaticºa ∏si Informaticºa Aplicatºa)
Model subiect pentru testul grilºa de Matematicºa ñsesiunea iulie 2024
1. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = mx2 + 2(m + 1)x + m + 2; m 6 = 0. Mul∏timea valorilor lui m pentru
care aria triunghiului cu v‚rfurile Ón punctele de intersec∏tie ale graÖcului lui f cu axele de coordonate
este 5 este:
(a) 1
2 ; 1
3 ; (b) 1
2 ; (c) f2g; (d) 1
3 .
2. Suma rºadºacinilor ecua∏tiei
p(x + 2)2 + p(x  2)2 = 5
2
px2  4
are valoarea:
(a) 0; (b) 2
3 ; (c) 1; (d) 3.
3. Produsul rºadºacinilor reale ale ecua∏tiei

3 + 2p2
x
+
p2  1
2x
= 6
are valoarea:
(a) 1; (b) 1; (c) p2; (d) p2.
4. Multimea solutiilor inecuatiei este:
jln jxjj < 1
este:
(a) (e; e1) [ (e1; e); (b) (e; 0) [ (0; e); (c) (e; e); (d) (e1; e1).
5. Valoarea sumei
C1
2023 + C3
2023 + ::: + C2023
2023
este:
(a) 22022; (b) 22023; (c) 2023; (d) 2023  22022.
6. Numerele complexe z1; z2; z3 de modul 1 satisfac rela∏tiile
z1 + z2 + z3 6 = 0;
z2
1 + z2
2 + z2
3 = 0:
Atunci jz1 + z2 + z3j are valoarea:
(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4.
1

Subiect · pagina 2

7. Considerºam func∏tia f : R ! (0; +1) care satisface
f (x + y)  f (x)  f (y)  2023x+y; 8x; y 2 R:
Atunci f (0) + f (1) are valoarea:
(a) 2023; (b) 1; (c) 2024; (d) 3.
8. Dacºa A 2 Mn(R) este inversabilºa cu A1 = 1
2 (A  In), atunci:
(a) A3  A = 2(A + In); (b) A2  A = In; (c) A3 = 3A + In; (d) A = 1
2 (A1 + In):
9. Presupunem cºa x1; x2; x3 2 C sunt rºadºacinile polinomului X3  2024X + 2023: Atunci determi-
nantul 1 + x1 x2 x3
x1 1 + x2 x3
x1 x2 1 + x3
are valoarea:
(a) 0; (b) 1; (c) 2023; (d) 2i.
10. Suma valorilor parametrului  2 R pentru care sistemul
8
><
>:
y + z = x
x + z = y
x + y = z
admite solu∏tii nebanale este:
(a) 1; (b) 1; (c) 2; (d) 0:
11. Suma pºatratelor rºadºacinilor polinomului
(X + 1)2023 + (X  1)2023
este:
(a) 2022  2023; (b) 2022  2023; (c) 0; (d) 1.
12. Fie polinomul P (x) = ax3 + bx2 + cx + d astfel Ónc‚t
P (1) + P (2) +    + P (n) = n4; 8n 2 N:
Numerele reale a; b; c; d sunt:
(a) a = 4; b = 6; c = 4; d = 1; (b) a = 2; b = 0; c = 3; d = 1;
(c) a = 4; b = 6; c = 2; d = 1; (d) nu existºa un astfel de polinom.
13. Pe mul∏timea R a numerelor reale deÖnim legea de compozi∏tie
x ? y = xy  2x  2y + 6; 8x; y 2 R:
Pe o tablºa sunt scrise numerele
2023; 2022; :::; 2; 1; 0; 1; 2; :::; 2022; 2023:
2

Subiect · pagina 3

Se aleg la Ónt‚mplare numerele a ∏si b; se ∏sterg, iar Ón locul lor scriem pe tablºa numºarul a ? b: Dupºa un
anumit numºar de pa∏si, pe tablºa rºam‚ne un singur numºar. Valoarea acestuia este:
(a) 2023; (b) 1; (c) 2; (d) 2022 ? 2023.
14. Valoarea limitei
lim
n!1
cos 1 + 3 cos 2 +    + 3n1 cos n
1 + 2  3 + 3  32 +    + (n + 1)3n
este:
(a) 1; (b) 0; (c) 1; (d) 1:
15. Numerele reale a; b; c pentru care
lim
n!1 n(an + pc + bn + n2) = 1
sunt:
(a) a = 1; b = 0; c = 1; (b) a = 1; b = 0; c = 2;
(c) a = b = c = 1; (d) a = 1; b = 0; c = 1.
16. Valoarea limitei
lim
x!0
x3  sin3 x
tg3 x  x3
este:
(a) 1
2; (b) 0; (c) 1; (d) 1
3.
17. Tangenta la curba y = x2  x Ón punctul (a; a2  a) trece prin punctul de coordonate (2; 1)
pentru:
(a) nicio valoare a lui a;
(b) exact o valoare a lui a;
(c) exact douºa valori ale lui a;
(d) o inÖnitate de valori ale lui a.
18. Fie F : [0; 1) ! R primitiva func∏tiei f (x) = arctg px pe [0; 1) care satisface F (1) = 
2 : Atunci
F (0) este egalºa cu:
(a) 
4 ; (b) 1; (c) 0; (d) 
2 .
19. Fie f : [1; 1] ! R o func∏tie parºa integrabilºa astfel Ónc‚t
Z 1
1
f (x) dx = 3. Atunci limita ∏sirului
an = f  1
n
 + f  2
n
 +    + f n1
n
 + f (1)
3n
este:
(a) 1
2; (b) 0; (c) 
4 ; (d) 1.
20. Valoarea limitei
lim
x!0+
Z x2
0
ln(1  pt) dt
x3
3

Subiect · pagina 4

este:
(a) 0; (b) 1
3; (c) 2
3; (d) 1.
21. Cea mai micºa valoare a expresiei
p(x  2)2 + (y  1)2 + p(x + 1)2 + (y  5)2;
pentru x; y 2 R este:
(a) 3; (b) 4; (c) 6; (d) 5:
22. Dacºa (4; 0) ∏si (1; 1) sunt douºa v‚rfuri ale unui triunghi de arie 4, atunci cel de-al treilea v‚rf
se aáºa pe dreapta:
(a) x + 5y = 0; (b) x + 5y + 8 = 0; (c) x + 5y + 12 = 0; (d) x + 5y + 4 = 0.
23. Fie ABCDEF un hexagon regulat, iar a ∏si b douºa numere reale astfel Ónc‚t !
AD = a!
BE + b!
CF .
Atunci numºarul b  2a este egal cu:
(a) 3; (b) 3; (c) 1; (d) 1:
24. Suma solu∏tiilor ecua∏tiei p3 sin x + cos x = p2
din intervalul [0; 2] este:
(a) 
2 ; (b) 2
3 ; (c) ; (d) 
6 .
25. Numºarul solu∏tiilor ecua∏tiei
sin4 t + sin4

t + 
4

= 1
4
din intervalul [; ] este:
(a) 0; (b) 4; (c) 5; (d) o inÖnitate.
4

Deschide documentul original

Barem · 9 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Tehnicºa "Gheorghe Asachi" din Ia∏si
Facultatea de Automaticºa ∏si Calculatoare
Domeniile: Calculatoare ∏si Tehnologia Informa∏tiei
Ingineria Sistemelor (Automaticºa ∏si Informaticºa Aplicatºa)
Model subiect pentru testul grilºa de Matematicºa ñsesiunea iulie 2024
1. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = mx2 + 2(m + 1)x + m + 2; m 6 = 0. Mul∏timea valorilor lui m pentru
care aria triunghiului cu v‚rfurile Ón punctele de intersec∏tie ale graÖcului lui f cu axele de coordonate
este 5 este:
(a) 1
2 ; 1
3 ; (b) 1
2 ; (c) f2g; (d) 1
3 .
Solu∏tie. Vom avea
 = 4(m + 1)2  4m (m + 2) = 4;
de unde
x1;2 = 2(m + 1)  2
2m ) x1 = 1; x2 = 1  2
m:
Punctele de intersec∏tie cu axa Ox vor Ö deci A (1; 0) ∏si B 1  2
m ; 0 :
De asemenea, f (0) = m + 2; deci punctul de intersec∏tie cu axa Oy va Ö C (0; m + 2) : Cum ABC
este dreptunghic, va avea aria
AABC = AB  CO
2 = 2
m  (m + 2)  1
2 = m + 2
m = 5:
Vor rezulta valorile 1
2 ; 1
3 :
Rºaspuns corect: (a): 
2. Suma rºadºacinilor ecua∏tiei
p(x + 2)2 + p(x  2)2 = 5
2
px2  4
are valoarea:
(a) 0; (b) 2
3 ; (c) 1; (d) 3.
Solu∏tie. Se observºa cºa dacºa x este rºadºacinºa a ecua∏tiei, atunci ∏si x este rºadºacinºa. Atunci suma este 0:
Solu∏tie alternativºa:
Condi∏tii de existen∏tºa: jxj  2: Observºam cºa x = 2 nu este solu∏tie. Œmpºar∏tind ecua∏tia la px2  4
∏si not‚nd
r x + 2
x  2 = y; ecua∏tia devine y + 1
y = 5
2; cu solu∏tiile 2 ∏si 1
2; ceea ce antreneazºa x = 10
3 :
Rºaspuns corect: (a): 
3. Produsul rºadºacinilor reale ale ecua∏tiei

3 + 2p2
x
+
p2  1
2x
= 6
are valoarea:
(a) 1; (b) 1; (c) p2; (d) p2.
1

Barem · pagina 2

Solu∏tie. Observºam cºa
p2 + 1
2
= 3 + 2p2;
p2  1
2
= 3  2p2; 1
p2  1 = p2 + 1:
Cu nota∏tia 3 + 2p2x = t > 0; ob∏tinem
t + 1
t = 6;
de unde t 2 3  2p2; 3 + 2p2 ; adicºa x 2 f1g :
Rºaspuns corect: (b) 
4. Multimea solutiilor inecuatiei este:
jln jxjj < 1
este:
(a) (e; e1) [ (e1; e); (b) (e; 0) [ (0; e); (c) (e; e); (d) (e1; e1).
Solu∏tie. CE: x 6 = 0: Vom avea
1 < ln jxj < 1;
e1 < jxj < e;
de unde x 2 (1; e1) [ (e1; 1) ∏si x 2 (e; e) :
Rºaspuns corect: (a) 
5. Valoarea sumei
C1
2023 + C3
2023 + ::: + C2023
2023
este:
(a) 22022; (b) 22023; (c) 2023; (d) 2023  22022.
Solu∏tie. Din binomul lui Newton,
0 = (1  1)2023 = C0
2023  C1
2023 + C2
2023  C3
2023 + ::: + C2022
2023  C2023
2023 ;
22023 = (1 + 1)2023 = C0
2023 + C1
2023 + C2
2023 + C3
2023 + ::: + C2022
2023 + C2023
2023 ;
de unde 2S = 22023:
Rºaspuns corect: (a) 
6. Numerele complexe z1; z2; z3 de modul 1 satisfac rela∏tiile
z1 + z2 + z3 6 = 0;
z2
1 + z2
2 + z2
3 = 0:
Atunci jz1 + z2 + z3j are valoarea:
(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4.
Solu∏tie. Avem:
(z1 + z2 + z3)2 = 2 (z1z2 + z1z3 + z2z3) = 2z1z2z3
 1
z1
+ 1
z2
+ 1
z3

= 2z1z2z3 (z1 + z2 + z3) = 2z1z2z3 (z1 + z2 + z3) :
2

Barem · pagina 3

Trec‚nd la module, ob∏tinem
jz1 + z2 + z3j2 = 2 jz1j jz2j jz3j jz1 + z2 + z3j = 2 jz1 + z2 + z3j ;
de unde jz1 + z2 + z3j = 2:
Rºaspuns corect: (b) 
7. Considerºam func∏tia f : R ! (0; +1) care satisface
f (x + y)  f (x)  f (y)  2023x+y; 8x; y 2 R:
Atunci f (0) + f (1) are valoarea:
(a) 2023; (b) 1; (c) 2024; (d) 3.
Solu∏tie. Deoarece putem observa u∏sor cºa func∏tia f (x) = 2023x satisface condi∏tiile problemei, deducem
cºa rºaspunsul corect este (c).
Solu∏tie alternativºa. Se observºa cºa
f (0)  (f (0))2  1;
de unde rezultºa f (0) = 1:
Se deduce mai departe cºa pentru orice x;
1 = f (0) = f (x  x)  f (x)  f (x)  1;
de unde f (x) = 1
f (x):
Din enun∏t, se observºa cºa f (x)  2023x pentru orice x 2 R. Mai departe,
1
f (x) = f (x)  2023x = 1
2023x ;
de unde f (x) = 2023x pentru orice x:
Rºaspuns corect: (c) 
8. Dacºa A 2 Mn(R) este inversabilºa cu A1 = 1
2 (A  In), atunci:
(a) A3  A = 2(A + In); (b) A2  A = In; (c) A3 = 3A + In; (d) A = 1
2 (A1 + In):
Solu∏tie. Folosind rela∏tia din enun∏t, avem
2In = A2  A ) A2 = A + 2In;
A3 = A2 + 2A = 3A + 2In;
de unde A3  A = 2(A + In):
Rºaspuns corect: (a): 
9. Presupunem cºa x1; x2; x3 2 C sunt rºadºacinile polinomului X3  2024X + 2023: Atunci determi-
nantul 1 + x1 x2 x3
x1 1 + x2 x3
x1 x2 1 + x3
are valoarea:
3

Barem · pagina 4

(a) 0; (b) 1; (c) 2023; (d) 2i.
Solu∏tie. Prin adunarea tuturor coloanelor la prima, apoi prin scºaderea primei linii din toate celelalte,
rezultºa, folosind ∏si faptul cºa x1 + x2 + x3 = 0 din rela∏tiile lui Viete, cºa
1 + x1 x2 x3
x1 1 + x2 x3
x1 x2 1 + x3
= (1 + x1 + x2 + x3)
1 x2 x3
0 1 0
0 0 1
= 1 + x1 + x2 + x3 = 1:
Rºaspuns corect: (b) 
10. Suma valorilor parametrului  2 R pentru care sistemul
8
><
>:
y + z = x
x + z = y
x + y = z
admite solu∏tii nebanale este:
(a) 1; (b) 1; (c) 2; (d) 0:
Solu∏tie. Va rezulta condi∏tia
 1 1
1  1
1 1 
= 0 , 3 + 3 + 2 = 0 ,  (  2) ( + 1)2 = 0:
Deci valorile cºautate ale parametrului  sunt 2; 1; av‚nd suma 1:
Rºaspuns corect: (a): 
11. Suma pºatratelor rºadºacinilor polinomului
(X + 1)2023 + (X  1)2023
este:
(a) 2022  2023; (b) 2022  2023; (c) 0; (d) 1.
Solu∏tie. Sºa observºam cºa polinomul de mai sus se poate scrie ca
X2023 + 2023X2022 + C2
2023X2021 + ::: + 1 + X2023  2023X2022 + C2
2023X2021 + :::  1
= 2X2023 + 2C2
2023X2021 + :::
Atunci, folosind rela∏tiile lui Viete,
S2 = x2
1 + ::: + x2
2023 = s2
1  2s2 = 0  2C2
2023 = 2022  2023:
Rºaspuns corect: (b): 
12. Fie polinomul P (x) = ax3 + bx2 + cx + d astfel Ónc‚t
P (1) + P (2) +    + P (n) = n4; 8n 2 N:
4

Barem · pagina 5

Numerele reale a; b; c; d sunt:
(a) a = 4; b = 6; c = 4; d = 1; (b) a = 2; b = 0; c = 3; d = 1;
(c) a = 4; b = 6; c = 2; d = 1; (d) nu existºa un astfel de polinom.
Solu∏tie. Vom folosi sumele
1 + 2 + ::: + n = n (n + 1)
2 ;
12 + 22 + ::: + n2 = n (n + 1) (2n + 1)
6 ;
13 + 23 + ::: + n3 =
n (n + 1)
2
2
:
Atunci
n4 = P (1) + P (2) +    + P (n)
= a
1
4n4 + 1
2n3 + 1
4n2

+ b
1
3n3 + 1
2n2 + 1
6n

+ cn2 + n
2 + dn;
ceea ce va genera sistemul 8
>><
>>:
a
4 = 1
a
2 + b
3 = 0
a
4 + b
2 + c
2 = 0
b
6 + c
2 + d = 0;
care are solu∏tia a = 4; b = 6; c = 4; d = 1:
Rºaspuns corect: (a): 
13. Pe mul∏timea R a numerelor reale deÖnim legea de compozi∏tie
x ? y = xy  2x  2y + 6; 8x; y 2 R:
Pe o tablºa sunt scrise numerele
2023; 2022; :::; 2; 1; 0; 1; 2; :::; 2022; 2023:
Se aleg la Ónt‚mplare numerele a ∏si b; se ∏sterg, iar Ón locul lor scriem pe tablºa numºarul a ? b: Dupºa un
anumit numºar de pa∏si, pe tablºa rºam‚ne un singur numºar. Valoarea acestuia este:
(a) 2023; (b) 1; (c) 2; (d) 2022 ? 2023.
Solu∏tie. Se observºa cºa x ? 2 = 2 ? x = 2 pentru orice x 2 R. Pe tablºa rºam‚ne numºarul 2:
Rºaspuns corect: (c) 
14. Valoarea limitei
lim
n!1
cos 1 + 3 cos 2 +    + 3n1 cos n
1 + 2  3 + 3  32 +    + (n + 1)3n
este:
(a) 1; (b) 0; (c) 1; (d) 1:
Solu∏tie. Constatºam cºa
cos 1 + 3 cos 2 +    + 3n1 cos n  1 + 3 + ::: + 3n1 = 3n  1
2 ;
1 + 2  3 + 3  32 +    + (n + 1)3n  (n + 1)3n;
5

Barem · pagina 6

de unde cos 1 + 3 cos 2 +    + 3n1 cos n
1 + 2  3 + 3  32 +    + (n + 1)3n  3n  1
2(n + 1)3n ! 0:
Rºaspuns corect: (b): 
15. Numerele reale a; b; c pentru care
lim
n!1 n(an + pc + bn + n2) = 1
sunt:
(a) a = 1; b = 0; c = 1; (b) a = 1; b = 0; c = 2;
(c) a = b = c = 1; (d) a = 1; b = 0; c = 1.
Solu∏tie. Observºam cºa
lim
n!1 an + pc + bn + n2 = a + 1 = 0;
altfel paranteza din limita de mai sus nu tinde la 0; iar limita cºautatºa nu poate Ö 1: Atunci
lim
n!1 n(pn2 + bn + c  n) = lim
n!1 n n2 + bn + c  n2
pn2 + bn + 2 + n = lim
n!1
bn2 + cn
pn2 + bn + 2 + n = 1:
Rezultºa b = 0 ∏si c
2 = 1:
Rºaspuns corect: (b): 
16. Valoarea limitei
lim
x!0
x3  sin3 x
tg3 x  x3
este:
(a) 1
2; (b) 0; (c) 1; (d) 1
3.
Solu∏tie. Avem:
lim
x!0
x3  sin3 x
tg3 x  x3 = lim
x!0
x  sin x
tg x  x  x2 + x sin x + sin2 x
x2  x2
tg2 x + x tg x + x2
= lim
x!0
1  cos x
tg2 x = lim
x!0
sin x
2x = 1
2
Rºaspuns corect: (a) 
17. Tangenta la curba y = x2  x Ón punctul (a; a2  a) trece prin punctul de coordonate (2; 1)
pentru:
(a) nicio valoare a lui a;
(b) exact o valoare a lui a;
(c) exact douºa valori ale lui a;
(d) o inÖnitate de valori ale lui a.
Solu∏tie. Ecua∏tia tangentei la curbºa Ón punctul (a; a2  a) este
y  a2 + a = (2a  1) (x  a) :
6

Barem · pagina 7

Punctul (2; 1) se aáºa pe aceastºa dreaptºa dacºa ∏si numai dacºa
a2  4a + 3 = 0:
Rºaspuns corect: (c): 
18. Fie F : [0; 1) ! R primitiva func∏tiei f (x) = arctg px pe [0; 1) care satisface F (1) = 
2 : Atunci
F (0) este egalºa cu:
(a) 
4 ; (b) 1; (c) 0; (d) 
2 .
Solu∏tie. Folosind formula de integrare prin pºar∏ti, ob∏tinem cºa o primitivºa a func∏tiei f este de forma
x arctg px  px + arctg px + C:
Cum F (1) = 
2 ; rezultºa cºa
F (x) = x arctg px  px + arctg px + 1
∏si deci F (0) = 1:
Rºaspuns corect: (b): 
19. Fie f : [1; 1] ! R o func∏tie parºa integrabilºa astfel Ónc‚t
Z 1
1
f (x) dx = 3. Atunci limita ∏sirului
an = f  1
n
 + f  2
n
 +    + f n1
n
 + f (1)
3n
este:
(a) 1
2; (b) 0; (c) 
4 ; (d) 1.
Solu∏tie. Observºam cºa, deoarece func∏tia este parºa, vom avea
3 =
Z 1
1
f (x) dx = 2
Z 1
0
f (x) dx :
Pe de altºa parte,
lim
n!1
1
3n

f
 1
n

+ f
 2
n

+    + f
n  1
n

+ f (1)

= 1
3
Z 1
0
f (x) dx = 1
2:
Rºaspuns corect: (a): 
20. Valoarea limitei
lim
x!0+
Z x2
0
ln(1  pt) dt
x3
este:
(a) 0; (b) 1
3; (c) 2
3; (d) 1.
7

Barem · pagina 8

Solu∏tie: Ne aáºam Ón cazul de nedeterminare 0
0 iar pentru a identiÖca valoarea limitei vom aplica
regula lui líHospital. Vom avea
` = lim
x!0+
ln (1  x)  2x
3x2 = 2
3 lim
x!0+
ln (1  x)
x = 2
3:
Rºaspuns corect: (c): 
21. Cea mai micºa valoare a expresiei
p(x  2)2 + (y  1)2 + p(x + 1)2 + (y  5)2;
pentru x; y 2 R este:
(a) 3; (b) 4; (c) 6; (d) 5:
Solu∏tie. Geometric, se observºa cºa valoarea minimºa se atinge atunci c‚nd punctele A (2; 1) ; M (x; y) ∏si
C (1; 5) sunt coliniare, iar valoarea minimºa a sumei este
jACj = p(1  2)2 + (5  1)2 = 5:
Rºaspuns corect: (d): 
22. Dacºa (4; 0) ∏si (1; 1) sunt douºa v‚rfuri ale unui triunghi de arie 4, atunci cel de-al treilea v‚rf
se aáºa pe dreapta:
(a) x + 5y = 0; (b) x + 5y + 8 = 0; (c) x + 5y + 12 = 0; (d) x + 5y + 4 = 0.
Solu∏tie: Fie (x; y) coordonatele pentru al treilea v‚rf ob∏tinem:
Atriunghi = 1
2jj:
Avem:
 =
1 1 1
4 1 x
0 1 y
= jx + 5y + 4j:
Ob∏tinem jx + 5y + 4j = 8 ) x + 5y  4 = 0; x + 5y + 12 = 0.
Rºaspuns corect: (c): 
23. Fie ABCDEF un hexagon regulat, iar a ∏si b douºa numere reale astfel Ónc‚t !
AD = a!
BE + b!
CF .
Atunci numºarul b  2a este egal cu:
(a) 3; (b) 3; (c) 1; (d) 1:
Solu∏tie. Observºam:
!
AD = 2a!
AF + 2b!
BA , 2(!
BA + !
AF ) = 2a!
AF + 2b!
BA ! b = 1; a = 1 ! b  2a = 3:
Rºaspuns corect: (a): 
24. Suma solu∏tiilor ecua∏tiei p3 sin x + cos x = p2
din intervalul [0; 2] este:
8

Barem · pagina 9

(a) 
2 ; (b) 2
3 ; (c) ; (d) 
6 .
Solu∏tie. Ecua∏tia se poate rescrie
sin

x + 
6

=
p2
2 ;
de unde x + 
6 2

4 ; 3
4

; sau x 2

4  
6 ; 3
4  
6

: Suma cºautatºa este 2
3 :
Rºaspuns corect: (b) 
25. Numºarul solu∏tiilor ecua∏tiei
sin4 t + sin4

t + 
4

= 1
4
din intervalul [; ] este:
(a) 0; (b) 4; (c) 5; (d) o inÖnitate.
Solu∏tie. Folosind expresiile
sin2  = 1  cos 2
2 ;
cos2  = 1 + cos 2
2 ;
ob∏tinem
sin4 t =
1  cos 2t
2
2
= 1  2 cos 2t + cos2 2t
4 = 3  4 cos 2t + cos 4t
8 ;
sin4

t + 
4

= 3  4 cos 2t + 
2
 + cos (4t + )
8 = 3 + 4 sin 2t  2 cos 4t
8 :
Va rezulta
3
4 + 1
2 (sin 2t  cos 2t) = 1
4;
(sin 2t  cos 2t) = 1;
p2
2 (sin 2t  cos 2t) = 
p2
2 ;
sin

2t  
4

= 
p2
2 :
Cum t 2 [; ]; vom avea 2t  
4 2 [2  
4 ; 2  
4 ]; deci valoarea p2
2 va Ö atinsºa de 5 ori, Ón
punctele
; 0; ; 
4 ; 3
4
Rºaspuns corect: (c): 
9

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2024Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2024Informatică · Modelul 10Deschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2025Informatică · Modelul 11Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2024 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.