Pregătire cu un profesor

Universitatea Tehnicºa "Gheorghe Asachi" din Ia∏si
Facultatea de Automaticºa ∏si Calculatoare
Admitere ñsesiunea 2021
Domeniile: Calculatoare ∏si Tehnologia Informa∏tiei
Ingineria sistemelor (Automaticºa ∏si informaticºa aplicatºa)
Subiecte (model 5) la testul grilºa de Matematicºa
1. Numºarul solu∏tiilor ecua∏tieipx  3 + 2p6 + x  x2 = px + 13  4
este:
(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3:
Rezolvare. C.E.:
8
<
:
x  3  0
6 + x  x2  0
x + 13  0
,
8
<
:
x 2 [3; 1)
x 2 [2; 3]
x 2 [13; 1)
, DE = f3g
Se observºa cºa singurul numºar din domeniul de existen∏tºa, 3; veriÖcºa ecua∏tia, deci este singura
solu∏tie.
Rºaspuns corect (b) :
2. Fie x1 ∏si x2 rºadºacinile ecua∏tiei x2 + 2x + 11 = 0: Valoarea expresiei E = (x1)3 x2 + x1 (x2)3
este
(a) E = 198; (b) E = 18; (c) E = 11; (d) E = 198:
Rezolvare. Conform rela∏tiilor ViËte) x1 + x2 = 2
x1x2 = 11 )
E = x1x2
x2
1 + x2
2
 = x1x2

(x1 + x2)2  2x1x2

= 11

(2)2  2  11

= 198:
Rºaspuns corect (d) :
3. Sºa se determine numerele reale x; y; z ∏stiind cºa x; y; z sunt Ón progresie aritmeticºa cu ra∏tia
nenulºa, x; z; y sunt Ón progresie geometricºa ∏si x + y + z = 18:
(a) 24; 6; 12; (b) 6; 6; 6; (c) 6; 2; 10; (d) 12; 6; 24:
Rezolvare. Din ipoteze)8
<
:
2y = x + z
z2 = xy
x + y + z = 18
)
8
<
:
y = 6
x + z = 12
z2 = 6x
)
8
<
:
y = 6
z = 12  x
x2  30x + 144 = 0
)
8
<
:
x = 6
y = 6
z = 6
sau
8
<
:
x = 12
y = 6
z = 24
Rºaspuns corect (d) :
4. Numºarul h al termenilor independen∏ti de x din dezvoltarea binomului
 3
px2 + 2
4
px
10
este:
(a) h = 0; (b) h = 1; (c) h = 2; (d) h = 11.
Rezolvare.
 3
px2 + 2
4
px
10
=
10X
k=0
Ck
10
 3
px2
10k  2
4
px
k
=
10X
k=0
Ck
10x 2(10k)
3  2k  x k
4 :
1

Subiect · pagina 2

Termenii independen∏ti de k au k astfel Ónc‚t puterea lui x sºa Öe 0 )
2(10k)
3 + k
4 = 0 ) k = 80
11 =2 f0; 1; :::; 10g
Rºaspuns corect (a) :
5. lim
n!1
p2  4
p2  8
p2  16
p2  :::  2np2

este:
(a) 1; (b) 1; (c) 2; (d) 4:
Rezolvare. an = 2 1
2  2 1
22  2 1
23  2 1
24  :::  2 1
2n = 2 1
2 + 1
22 + 1
23 +:::+ 1
2n = 2
1
2  ( 1
2 )n1
1
2 1 :
lim
n!1 an = 2
1
2  01
1
2 1 = 2:
Rºaspuns corect: (c):
6. Fie f : R ! R; f (x) = x  ln 1 + x2 ∏si F o primitivºa a func∏tiei f cu F (0) = 0: Atunci
F (1) este:
(a)  1
2 ; (b) 5
2  ln 2  
2 ; (c) 5
2  ln 2  ln 1 + p2; (d) 5  ln 2  
4 .
Rezolvare. Se determinºa toate primitivele lui f :Z x  ln 1 + x2 dx = x2
2 
Z ln 1 + x2x0dx = x2
2 

x ln 1 + x2 
Z 1
1 + x2  2x  xdx

=
= x2
2  x ln 1 + x2 + 2
Z x2
1 + x2 dx = x2
2  x ln 1 + x2 + 2
Z 
1  1
1 + x2

dx

=
= x2
2  x ln 1 + x2 + 2x  2 arctg x + c; 8x 2 R; 8c 2 R:
F (0) = 0 ) c = 0
Atunci
F (x) = x2
2  x ln 1 + x2 + 2x  2 arctg x + 0; 8x 2 R )
F (1) = 12
2  1  ln 1 + 12 + 2  1  2 arctg 1 + 0 = 5
2  ln 2  
2 :
Rºaspuns corect: (b):
7. Fie punctele din plan A (1; 2) ∏si B (3; 4) : Fie C simetricul lui A fa∏tºa de B: Ecua∏tia dreptei
ce trece prin C ∏si este perpendicularºa pe AB este:
(a) (d) : x + y  1 = 0; (b) (d) : x + y + 1 = 0;
(c) (d) : 2x + y  6 = 0; (d) (d) : x + y  11 = 0:
Rezolvare. C simetricul lui A fa∏tºa de B ) B este mijlocul segmentului [AC] )8
><
>:
3 = 1 + xC
2
4 = 2 + yC
2
) C (5; 6) :
Dreapta care trece prin A ∏si B are panta mAB = 4  2
3  1 = 1 )
Perendiculara pe AB are panta md = 1:
Dreapta din enun∏t are ecua∏tia:
(d) : y  6 = 1 (x  5) ,
(d) : x + y  11 = 0
Rºaspuns corect (d) :
2

Subiect · pagina 3

8. Mul∏timea M a tuturor solu∏tiilor x ale inecua∏tiei
3  4x  6x > 2  9x
este:
(a) M =  3
2 ; 1 ; (b) M = (0; 1) ; (c) M = (1; 0) ; (d) M =  3
2 ; 1 :
Rezolvare. Se observºa cºa 2x > 0; 8x 2 R: Atunci:
3  22x  2x  3x > 2  32x : 22x )
3   3
2
x > 2   3
2
2x ) 2   3
2
2x +  3
2
x  3 < 0:
Se noteazºa  3
2
x = t > 0:
Atunci 2t2 + t  3 < 0 , t 2  3
2 ; 1. Se ob∏tine t 2  3
2 ; 1 \ (0; 1) = (0; 1) :
Se revine la subtitu∏tie
0 <  3
2
x < 1 f (x)=( 3
2 )x cu baza 3
2 >1 este strict crescºatoare
) x < 0:
Rºaspuns corect (c) :
9. Mul∏timea tuturor m 2 R astfel Ónc‚t vectorii
!a = (m + 1) !
i + 3m!
j ∏si !
b = (m  1) !
i + m!
j
sºa aibºa aceea∏si lungime ∏si sºa Öe perpendiculari este
(a)  1
2 ; 0; 1
2 ; (b) ;; (c)  1
2 ; (d)  1
2 :
Rezolvare. !a ∏si !
b sunt perpendiculari)
(m + 1)  (m  1) + 3m  m = 0 , 4m2  1 = 0 ) m = 1
2 sau m =  1
2 :
!a ∏si !
b au aceea∏si lungime)q
(m + 1)2 + (3m)2 =
q
(m  1)2 + m2 , m2 + 2m + 1 + 9m2 = m2  2m + 1 + m2 ,
8m2 + 4m = 0 ) m = 0 sau m =  1
2 :
Rºaspuns corect (d) :
10. Sºa se determine a 2 R astfel Ónc‚t func∏tia
f : (0; ) ! R; f (x) =
8
<
:
e4x+3; dacºa x 2 (0; 1]
a sin (x  1)
x2  4x + 3 ; dacºa x 2 (1; )
sºa Öe continuºa pe (0; ) :
(a) a = 3e3; (b) a =  2
e ; (c) a = e1; (d) nu existºa a cu proprietatea cerutºa:
Rezolvare. Pe intervalele (0; 1) ∏si (1; ) ; f este func∏tie continuºa.
f (1) = e1;
ls (1) = lim
x!1
x<1
e4x+3 = e1;
ld (1) = lim
x!1
x>1

a sin (x  1)
x2  4x + 3
 0
0
= lim
x!1
x>1

a sin (x  1)
x  1  1
x  3

= a  1  1
2 :
f continuºa Ón 1 ) e1 = a  1
2 ) a = 2  e1:
Rºaspuns corect (b) :
11. Fie func∏tia f : [1; 1] ! R; f (x) =
(
x3ex2
; dacºa x 2 [1; 0)
x2ex3
; dacºa x 2 [0; 1] ∏si I = R 1
1 f (x) dx:
Atunci:
(a) I = 1
3 e  5
6 ; (b) I = e  2; (c) I = 2
3 e  7
6 ; (d) I = 4
3 e  9
6 ; :
3

Subiect · pagina 4

Rezolvare. I = R 1
1 f (x) dx = R 0
1 x3ex2
dx+R 1
0 x2ex3
dx = 1
2
R 0
1 x2

ex2 0
dx+ 1
3
R 1
0

ex3 0
dx =
= 1
2

x2ex2 x=0
x=1  R 0
1 2xex2
dx

+ 1
3 ex3 x=1
x=0 =  1
2 + 1
3 e  1
3 = 1
3 e  5
6 :
Rºaspuns corect (a) :
12. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) =
 jxj ; dacºa x  2
 1
4 x2 + x; dacºa x > 2:
Atunci:
(a) f este descrescºatoare pe R; (b) f este injectivºa pe R;
(c) f este surjectivºa pe R; (d) f este imparºa pe [1; 1] :
Rezolvare. Se reprezintºa graÖcul pentru
f1 : R ! R; f1 (x) = jxjx
y
Se reprezintºa graÖcul pentru
f2 : R ! R; f2 (x) =  1
4 x2 + xx
y
4

Subiect · pagina 5

Se reprezintºa Gf = G f1j(1;2] [ G f2j(2;1) :x
y
Din graÖc rezultºa cºa:
-f este descrescºatoare pe (1; 0], crescºatoare pe [0; 2] ; descrescºatoare pe (2; 1) :
-f nu este injectivºa pe R, deoarece existºa o dreaptºa y = 0 paralelºa cu Ox, chiar Ox; care
intersecteazºa reprezentarea graÖcului Ón 2 puncte :(0; 0) ; (4; 0) ;
-f este surjectivºa pe R, deoarece orice dreaptºa y = a; a 2 R paralelºa cu Ox intersecteazºa
reprezentarea graÖcului Ón cel pu∏tin un punct.
- f este parºa pe [1; 1] ; deoarece f (x) = f (x) ; 8x 2 [1; 1]
Rºaspuns corect (c) :
13. Fie A = f21; 22; 23g ∏si B = f2; 1; 0; 1; 2g. Probabilitatea de a alege din mul∏timea
tuturor func∏tiilor f : A ! B o func∏tie injectivºa este:
(a) 12
25 ; (b) 4
25 ; (c) 24
125 ; (d) 5
12 :
Rezolvare. Se determinºa numºarul evenimentelor posibile, adicºa numºarul tuturor func∏tiilor
f : A ! B, av‚nd cardA = 3; cardB = 5 :
(cardB)cardA = 53 = 125:
Se determinºa numºarul evenimentelor favorabile producerii evenimentului de a alege o func∏tie
injectivºa dintre cele 125 :
A3
5 = 5!
2! = 60:
Atunci P (A) = 60
125 = 12
25 :
Rºaspuns corect (a) :
14. Fie A =
 1 0
2000 1

2 M2 (R). Atunci det A + A2 + :::A2021 este:
(a) 20212; (b) 2021; (c) 1000  2021  2022; (d) 2000:
Rezolvare. Se observºa cºa:
A2 =
 1 0
2000 1
  1 0
2000 1

=
 1 0
2  2000 1

;
A3 =
 1 0
2  2000 1
  1 0
2000 1

=
 1 0
3  2000 1

;
:::
An =
 1 0
(n  1)  2000 1
  1 0
2000 1

=
 1 0
n  2000 1

:
5

Subiect · pagina 6

Atunci:
A + A2 + :::A2021 =
=
 1 0
1  2000 1

+
 1 0
2  2000 1

+ ::: +
 1 0
2021  2000 1

=
=
 2021 0
20212022
2  2000 2021

det A = det A2 = ::: = det A2021 = 1:
det A = 20212:
Rºaspuns corect (a) :
15. Fie f : R ! R; f (x) =
 x x2 + 1 ; dacºa x  0
arctg x; dacºa x > 0 : Atunci:
(a) f nu este derivabilºa pe R; (b) f 0 (0) = 1;
(c) f 0 (0) = 0; (d) f nu are asimptotºa orizontalºa la +1:
Rezolvare. 9f 0 : R ! R; f 0 (x) =
8
><
>:
3x2 + 1; dacºa x < 0
1; dacºa x = 0
1
1 + x2 ; dacºa x > 0
1 este punct de acumulare pentru R ∏si 9 lim
x!1 (arctg x) = 
2 )
) y = 
2 este asimptotºa orizontalºa la +1:
Rºaspuns corect (b) :
16. Fie x 2 R: Atunci E = cos2 x + 
2
 + cos2 (x + ) are valoarea:
(a) 0; (b) 1; (c) 2 cos2 x; (d) 2 sin2 x:
Rezolvare. E = cos x cos 
2  sin x sin 
2
2 + (cos x cos   sin x sin )2 =
= sin2 x + cos2 x = 1; 8x 2 R:
Rºaspuns corect (b) :
17. Numºarul complex z = i  p3; unde i este unitatea imaginarºa, are conjugatul z: Atunci (z)3
apar∏tine mul∏timii:
(a) N; (b) Z n N; (c) RnQ; (d) CnR:
Rezolvare. (z)3 = p3  i3 =  p3 + i3 =
= 

C0
3
p33 + C1
3
p32 i + C2
3
p3 i2 + C3
3 i3

=  3p3 + 3  3i  3p3  i
(z)3 = 8i 2 CnR:
Rºaspuns corect (d) :
18. Fie sistemul
8
<
:
2x + y + z = 2021
ay + z = 1
a2x + z = 5
∏si
M = fa 2 R; sistemul este compatibil nedeterminatg : Atunci:
(a) M = Rn f2; 0; 1g ; (b) M = f2; 0; 1g ; (c) M = Rn f0g ; (d) M = f2; 1g :
Rezolvare. Sistemul are m = 3 ecua∏tii liniare cu n = 3 necunoscute.
2 1 1
0 a 1
a2 0 1
= a3 + a2  2a:
a3 + a2  2a = 0 , a (a + 2) (a  1) = 0:
6

Subiect · pagina 7

Pentru a 2 Rn f2; 0; 1g ) det A 6 = 0 ) m = n = rangA )
) sistemul este compatibil unic determinat.
Pentru a = 2 )
8
<
:
2x + y + z = 2021
2y + z = 1
4x + z = 5
: Deoarece 2 1
0 2 = 4 6 = 0 ) rangA = 2 )
) sistemul este compatibil n  rangA = 3  2 = 1 nedeteterminat.
Pentru a = 0 )
8
<
:
2x + y + z = 2021
z = 1
z = 5
) sistemul este incompatibil.
Pentru a = 1 )
8
<
:
2x + y + z = 2021
y + z = 1
x + z = 5
) Deoarece 2 1
0 1 = 2 6 = 0 ) rangA = 2 )
) sistemul este compatibil n  rangA = 3  2 = 1 nedeteterminat.
Rºaspuns corect (d) :
19. Fie
f : [1; 1) ! R; f (x) = px + px + 1;
an = 1
f (1) + 1
f (2) + 1
f (3) + ::: + 1
f (n) ; 8n 2 N:
Atunci:
(a) ∏sirul este strict descrescºator; (b) lim
n!1 an = +1;
(c) an  1; 8n 2 N; n  2; (d) ∏sirul este mºarginit:
Rezolvare. an+1  an = 1
f (n + 1) = 1
pn + 1 + pn + 2 > 0; 8n 2 N
) ∏sirul este strict crescºator.
an =
nX
k=1
1
f (k) =
nX
k=1
1
pk + pk + 1 =
nX
k=1
pk + 1  pk
(k + 1)  k =
nX
k=1
pk + 1 
nX
k=1
pk =
= pn + 1  1; 8n 2 N:
an > 1; 8n 2 N; n  2:
lim
n!1 xn = 1:
Rºaspuns corect: (b):
20. Pe mul∏timea G = (1; +1) se deÖne∏ste legea de compozi∏tie
x  y = xy + x + y; 8x; y 2 (1; +1) :
Fie M o mul∏time cºareia ÓÓ apar∏tine elementul neutru e al legii de compozi∏tie anterioare ∏si z solu∏tia
ecua∏tiei z  2000 = e: Atunci:
(a) M = (1; 1) ∏si z =  2000
2001 ; (b) M = (0; 1) ∏si z = 2000;
(c) M = (0; 2000) ∏si z = 1; (d) M = (1; 0) ∏si z = 1
2000 :
Rezolvare.x  e = x ) xe + x + e = x; 8x 2 R )
(x + 1) e = 0; 8x 2 R ) e = 0:
z  2000 = e ) 2000z + z + 2000 = 0 ) z =  2000
2001 :
Rºaspuns corect (a) :
21. Fie x 2  3
2 ; 2 ; y 2 ; 3
2
 astfel Ónc‚t cos x = 4
5 ∏si cos y = 1
3 : Atunci sin (2x + y) are
valoarea:
7

Subiect · pagina 8

(a) 24+14p2
75 ; (b) 2414p2
75 ; (c) 1+p2
2 ; (d) 1:
Rezolvare. x 2  3
2 ; 2 ) cos x > 0; sin x < 0:
y 2 ; 3
2
 ) cos x < 0; sin x < 0:
sin x = p1  cos2 x = 3
5 ; sin y = p1  cos2 y = 2p2
3 ∏si
sin 2x = 2 sin x cos x = 24
25 :
Atunci
sin (2x + y) = sin 2x cos y + sin y cos 2x = 2414p2
75 :
Rºaspuns corect (b) :
22. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = ln

x + px2 + 1

. Atunci:
(a) f este derivabilºa pe R ∏si f 0 (x) = x
px2 + 1 ; 8x 2 R;
(b) f este descrescºatoare pe (1; 0] ;
(c) f este convexºa pe [0; 1);
(d) f este func∏tie imparºa pe R:
Rezolvare. Se observºa cºa f este derivabilºa de douºa ori pe R; cu
f 0 : R ! R; f 0 (x) = 1
x + px2 + 1

1 + x
px2 + 1

= 1
px2 + 1 .
f 00 : R ! R; f 00 (x) =
x2 + 1 1
2
0
=  1
2
x2 + 1 1
2 1  2x = x
px2 + 1
3 :
Se studiazºa tabelul de varia∏tie a func∏tiei. Se precizeazºa Ón tabel ∏si semnul lui f 00:
x 1 0 1
f 0 (x) + + + + + + + + +
f 00 (x) + + + + 0    
f (x) 1 %%%
convexºa
21 %%%
concavºa
1
Se observºa cºa f este crescºatoare pe R, convexºa pe (1; 0] ∏si concavºa pe [0; 1).
GraÖcul func∏tiei f : R ! R; f (x) = ln

x + px2 + 1

este-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Mai mult, 8x 2 R = (1; 1) interval simetric,
f (x) = ln

x +
q
(x)2 + 1

= ln
px2 + 1  x

= ln x2 + 1  x2
px2 + 1 + x = ln

x + px2 + 1
1
=  ln

x + px2 + 1

= f (x) :
Deci f este func∏tie imparºa. Imparitatea se observºa ∏si din simetria reprezentºarii graÖcului lui f
fa∏tºa de O:
Rºaspuns corect (d) :
8

Subiect · pagina 9

23. tg 5
6 este:
(a) p3; (b) p3; (c) 1
p3 ; (d) 1
p3 :
Rezolvare. tg 5
6 = sin 5
6
cos 5
6
= sin   
6

cos   
6
 = sin 
6
 cos 
6
= 1
p3 :
Rºaspuns corect (c) :
24. Fie f :  1
2 ; 1 ! R func∏tia derivabilºa cu valori nenule ce veriÖcºa
 f 3 (x) + f 0 (x) = 0; 8x 2  1
2 ; 1
f (0) = 1 :
Atunci:
(a) f (1010) = 1
p2021 ; (b) f (1010) = 1
p2021 ;
(c) f (1010) = 4
r 3
2020 ; (d) f (1010) =  4
r 3
2020 :
Rezolvare. Pentru x 2  1
2 ; 1 ;
f 3 (x) + f 0 (x) = 0 , f 0 (x)
f 3 (x) = 1
Z
( ) dx )
)
Z f 0 (x)
f 3 (x) dx =
Z
1dx ) 1
2f 2 (x) = x + c; 8c 2 R:
f (0) = 1 ) c = 1
2 ∏si f (x) = + 1
p2x + 1 :
Rºaspuns corect (a) :
25. V‚rfurile triunghiului ABC au coordonatele A (1; 2) ; B (2; a) ; C (b; 1) ; cu a; b 2 R: Sºa
se determine perimetrul triunghiului ABC; ∏stiind cºa centrul sºau de greutate este G (0; 1) :
(a) P = p10 + 5 + p34; (b) P = 6 + p34;
(c) P = 6 + p10; (d) P = 2 + 2p5:
Rezolvare.
 1
3 (1  2 + b) = 0
1
3 (2 + a  1) = 1 )
 3 + b = 0
1 + a = 3 )
 a = 2
b = 3
Atunci A (1; 2) ; B (2; 2) ; C (3; 1) ∏si
AB =
q
(2  (1))2 + (2  2)2: = 1:
BC =
q
(3  (2))2 + (1  2)2 = p34:
CA =
q
(1  3)2 + (2  (1))2 = 5
Rºaspuns corect (b) :
9

Deschide documentul original

Barem · 4 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Tehnicºa "Gheorghe Asachi" din Ia∏si
Facultatea de Automaticºa ∏si Calculatoare
Admitere ñsesiunea 2021
Domeniile: Calculatoare ∏si Tehnologia Informa∏tiei
Ingineria sistemelor (Automaticºa ∏si informaticºa aplicatºa)
Subiecte (model 5) la testul grilºa de Matematicºa
1. Numºarul solu∏tiilor ecua∏tieipx  3 + 2p6 + x  x2 = px + 13  4
este:
(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3:
2. Fie x1 ∏si x2 rºadºacinile ecua∏tiei x2 + 2x + 11 = 0: Valoarea expresiei E = (x1)3 x2 + x1 (x2)3
este
(a) E = 198; (b) E = 18; (c) E = 11; (d) E = 198:
3. Sºa se determine numerele reale x; y; z ∏stiind cºa x; y; z sunt Ón progresie aritmeticºa cu ra∏tia
nenulºa, x; z; y sunt Ón progresie geometricºa ∏si x + y + z = 18:
(a) 24; 6; 12; (b) 6; 6; 6; (c) 6; 2; 10; (d) 12; 6; 24:
4. Numºarul h al termenilor independen∏ti de x din dezvoltarea binomului
 3
px2 + 2
4
px
10
este:
(a) h = 0; (b) h = 1; (c) h = 2; (d) h = 11.
5. lim
n!1
p2  4
p2  8
p2  16
p2  :::  2np2

este:
(a) 1; (b) 1; (c) 2; (d) 4:
6. Fie f : R ! R; f (x) = x  ln 1 + x2 ∏si F o primitivºa a func∏tiei f cu F (0) = 0: Atunci
F (1) este:
(a)  1
2 ; (b) 5
2  ln 2  
2 ; (c) 5
2  ln 2  ln 1 + p2; (d) 5  ln 2  
4 .
7. Fie punctele din plan A (1; 2) ∏si B (3; 4) : Fie C simetricul lui A fa∏tºa de B: Ecua∏tia dreptei
ce trece prin C ∏si este perpendicularºa pe AB este:
(a) (d) : x + y  1 = 0; (b) (d) : x + y + 1 = 0;
(c) (d) : 2x + y  6 = 0; (d) (d) : x + y  11 = 0:
8. Mul∏timea M a tuturor solu∏tiilor x ale inecua∏tiei
3  4x  6x > 2  9x
este:
(a) M =  3
2 ; 1 ; (b) M = (0; 1) ; (c) M = (1; 0) ; (d) M =  3
2 ; 1 :
1

Barem · pagina 2

9. Mul∏timea tuturor m 2 R astfel Ónc‚t vectorii
!a = (m + 1) !
i + 3m!
j ∏si !
b = (m  1) !
i + m!
j
sºa aibºa aceea∏si lungime ∏si sºa Öe perpendiculari este
(a)  1
2 ; 0; 1
2 ; (b) ;; (c)  1
2 ; (d)  1
2 :
10. Sºa se determine a 2 R astfel Ónc‚t func∏tia
f : (0; ) ! R; f (x) =
8
<
:
e4x+3; dacºa x 2 (0; 1]
a sin (x  1)
x2  4x + 3 ; dacºa x 2 (1; )
sºa Öe continuºa pe (0; ) :
(a) a = 3e3; (b) a =  2
e ; (c) a = e1; (d) nu existºa a cu proprietatea cerutºa:
11. Fie func∏tia f : [1; 1] ! R; f (x) =
(
x3ex2
; dacºa x 2 [1; 0)
x2ex3
; dacºa x 2 [0; 1] ∏si I = R 1
1 f (x) dx:
Atunci:
(a) I = 1
3 e  5
6 ; (b) I = e  2; (c) I = 2
3 e  7
6 ; (d) I = 4
3 e  9
6 ; :
12. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) =
 jxj ; dacºa x  2
 1
4 x2 + x; dacºa x > 2:
Atunci:
(a) f este descrescºatoare pe R; (b) f este injectivºa pe R;
(c) f este surjectivºa pe R; (d) f este imparºa pe [1; 1] :
13. Fie A = f21; 22; 23g ∏si B = f2; 1; 0; 1; 2g. Probabilitatea de a alege din mul∏timea
tuturor func∏tiilor f : A ! B o func∏tie injectivºa este:
(a) 12
25 ; (b) 4
25 ; (c) 24
125 ; (d) 5
12 :
14. Fie A =
 1 0
2000 1

2 M2 (R). Atunci det A + A2 + :::A2021 este:
(a) 20212; (b) 2021; (c) 1000  2021  2022; (d) 2000:
15. Fie f : R ! R; f (x) =
 x x2 + 1 ; dacºa x  0
arctg x; dacºa x > 0 : Atunci:
(a) f nu este derivabilºa pe R; (b) f 0 (0) = 1;
(c) f 0 (0) = 0; (d) f nu are asimptotºa orizontalºa la +1:
16. Fie x 2 R: Atunci E = cos2 x + 
2
 + cos2 (x + ) are valoarea:
(a) 0; (b) 1; (c) 2 cos2 x; (d) 2 sin2 x:
17. Numºarul complex z = i  p3; unde i este unitatea imaginarºa, are conjugatul z: Atunci (z)3
apar∏tine mul∏timii:
(a) N; (b) Z n N; (c) RnQ; (d) CnR:
2

Barem · pagina 3

18. Fie sistemul
8
<
:
2x + y + z = 2021
ay + z = 1
a2x + z = 5
∏si
M = fa 2 R; sistemul este compatibil nedeterminatg : Atunci:
(a) M = Rn f2; 0; 1g ; (b) M = f2; 0; 1g ; (c) M = Rn f0g ; (d) M = f2; 1g :
19. Fie
f : [1; 1) ! R; f (x) = px + px + 1;
an = 1
f (1) + 1
f (2) + 1
f (3) + ::: + 1
f (n) ; 8n 2 N:
Atunci:
(a) ∏sirul este strict descrescºator; (b) lim
n!1 an = +1;
(c) an  1; 8n 2 N; n  2; (d) ∏sirul este mºarginit:
20. Pe mul∏timea G = (1; +1) se deÖne∏ste legea de compozi∏tie
x  y = xy + x + y; 8x; y 2 (1; +1) :
Fie M o mul∏time cºareia ÓÓ apar∏tine elementul neutru e al legii de compozi∏tie anterioare ∏si z solu∏tia
ecua∏tiei z  2000 = e: Atunci:
(a) M = (1; 1) ∏si z =  2000
2001 ; (b) M = (0; 1) ∏si z = 2000;
(c) M = (0; 2000) ∏si z = 1; (d) M = (1; 0) ∏si z = 1
2000 :
21. Fie x 2  3
2 ; 2 ; y 2 ; 3
2
 astfel Ónc‚t cos x = 4
5 ∏si cos y = 1
3 : Atunci sin (2x + y) are
valoarea:
(a) 24+14p2
75 ; (b) 2414p2
75 ; (c) 1+p2
2 ; (d) 1:
22. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = ln

x + px2 + 1

. Atunci:
(a) f este derivabilºa pe R ∏si f 0 (x) = x
px2 + 1 ; 8x 2 R;
(b) f este descrescºatoare pe (1; 0] ;
(c) f este convexºa pe [0; 1);
(d) f este func∏tie imparºa pe R:
23. tg 5
6 este:
(a) p3; (b) p3; (c) 1
p3 ; (d) 1
p3 :
24. Fie f :  1
2 ; 1 ! R func∏tia derivabilºa cu valori nenule ce veriÖcºa
 f 3 (x) + f 0 (x) = 0; 8x 2  1
2 ; 1
f (0) = 1 :
Atunci:
(a) f (1010) = 1
p2021 ; (b) f (1010) = 1
p2021 ;
(c) f (1010) = 4
r 3
2020 ; (d) f (1010) =  4
r 3
2020 :
3

Barem · pagina 4

25. V‚rfurile triunghiului ABC au coordonatele A (1; 2) ; B (2; a) ; C (b; 1) ; cu a; b 2 R: Sºa
se determine perimetrul triunghiului ABC; ∏stiind cºa centrul sºau de greutate este G (0; 1) :
(a) P = p10 + 5 + p34; (b) P = 6 + p34;
(c) P = 6 + p10; (d) P = 2 + 2p5:
4

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2021Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 1Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 2Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 3Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 4Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.