Pregătire cu un profesor

Glisează →

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Model de pregătire · Matematică · 2021

Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 4 pagini

Subiect · pagina 1

Universitatea Tehnicºa "Gheorghe Asachi" din Ia∏si
Facultatea de Automaticºa ∏si Calculatoare
Admitere ñsesiunea 2021
Domeniile: Calculatoare ∏si Tehnologia Informa∏tiei
Ingineria sistemelor (Automaticºa ∏si informaticºa aplicatºa)
Subiecte (model 2) la testul grilºa de Matematicºa
1. Numºarul complex z = ip3  1; unde i este unitatea imaginarºa, are conjugatul z: Atunci (z)3
apar∏tine mul∏timii:
(a) N; (b) Z n N; (c) RnQ; (d) CnR:
2. Fie parametrul m 2 R ∏si ecua∏tia
mx2 + (m + 1) x + m  1 = 0:
Atunci condi∏tia necesarºa ∏si suÖcientºa ca ecua∏tia anterioarºa sºa nu admitºa rºadºacini reale este:
(a) m 2 3  2p3; 3 + 2p3 ; (b) m 2

1  2p3
3 ; 1 + 2p3
3

;
(c) m 2
h
1  2p3
3 ; 1 + 2p3
3
i
; (d) m 2

1; 1  2p3
3

[

1 + 2p3
3 ; +1

:
3. Suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice ce are al doilea termen a2 = 5 ∏si al
cincilea termen a5 = 14 este:
(a) 155; (b) 126; (c) 145; (d) 150:
4. Dintre 6 elevi de clasa a XI-a ∏si 4 elevi de clasa a XII-a se aleg 5 persoane pentru a forma
o echipºa de lot pentru un hackathon. Œn c‚te moduri se poate alcºatui aceastºa echipºa, ∏stiind cºa Ón
componen∏ta ei trebuie sºa Öe cel pu∏tin 3 elevi de clasa a XII-a?
(a) 60; (b) 66; (c) 864; (d) 144:
5. Fie f : R ! R; f (x) = e2x. Atunci:
(a) func∏tia derivatºa f 0 este monoton descrescºatoare pe R;
(b) lim
n!1
f 0 (2021) + f 00 (2021) + ::: + f (n) (2021)
f (n) (2021) = 1
3 ;
(c) lim
n!1
f 0 (2) + f 00 (2) + ::: + f (n) (2)
f (n) (2) = 2
3 ;
(d) graÖcul func∏tiei derivate f 0 are asimptotºa verticalºa.
6. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = 1
21 + jx  21j : Atunci o primitivºa pe R a func∏tiei f este:
(a) F (x) =
 ln 21  ln (2  21  x) ; x  21
ln x  ln 21; x > 21 ; (b) F (x) =
 2  ln (2  21  x) ; x  21
ln x; x > 21 ;
(c) F (x) = 21 + ln j21 + jx  21jj; (d) F (x) =
8
<
:
ln (2  21  x) ; x < 21
ln 21 x = 21
ln x; x > 21
.
7. Fie ABC cu BC = 8 ∏si cos A = 4
5 . Diametrul cercului circumscris are valoarea:
(a) 10; (b) 40
3 ; (c) 11; (d) 8:
1

Subiect · pagina 2

8. Mul∏timea M a tuturor solu∏tiilor ecua∏tiei 72px1  10  7px1 + 21 = 0 este:
(a) M = f3; 7g ; (b) M = f1; log7 3g ; (c) M =
n
2; 1 + (log7 3)2o
; (d) M = f2g :
9. Fie !rA = 2!
i  !
j , !rB = !
i  3!
j ∏si !rC = 2!
i + 7!
j vectorii de pozi∏tie ai v‚rfurilor
triunghiului ABC ∏si !rG vectorul de pozi∏tie al centrului de greutate a triughiului. Atunci cosinusul
unghiului format de !rA ∏si !rG este:
(a) 3
p10 ; (b) 1
p10 ; (c) 1
p5 ; (d) 1
p2 :
10. Se dºa func∏tia f : D ! R; f (x) = arcsin px
1  ln (e  x) : Domeniul maximal de continuitate pentru
f este:
(a) D = (0; e) ; (b) D = [0; 1] ; (c) D = (0; 1] ; (d) D = [0; e) :
11. Derivata func∏tiei f : R ! R; f (x) =
Z sin x
x2
et2
dt este:
(a) f 0 (x) = esin2 x  ex4
; (b) f 0 nu existºa;
(c) f 0 (x) = esin2 x  cos x  ex4
 2x; (d) f 0 (x) = esin2 x  cos x  ex2
.
12. Func∏tia f : R ! R; f (x) =
 4x2  3x + 1; dacºa x < 0
ex dacºa x  0 :
(a) nu este monotonºa pe R; (b) este strict crescºatoare pe R;
(c) este injectivºa pe R; (d) nu este surjectivºa:
13. Fie A = f2020; 2021; 2022g ∏si B = f10; 20; 30; 40; 50g. Probabilitatea de a alege din
mul∏timea tuturor func∏tiilor f : A ! B o func∏tie injectivºa este
(a) 12
25 ; (b) 12
15 ; (c) 24
125 ; (d) 20
81 :
14. Fie A = (aij )i=1;3;j=1;3 ∏si B = (bij )i=1;3;j=1;3 douºa matrice cu aij = min (i; j) ∏si bij =
max (i; j) ; i = 1; 3; j = 1; 3: Atunci:
(a) det (A  B) = 2; (b) det (A + B) = 4; (c) rang (A  B) = 2; (d) rang (A + B) = 2:
15. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = x3  9x2 + 24x + 3. Atunci:
(a) f admite puncte de extrem local, iar abscisele lor sunt 2 ∏si 4;
(b) f admite puncte de extrem local, iar abscisele lor sunt 19 ∏si 23;
(c) f este convexºa pe (1; 2];
(d) f este crescºatoare pe [2; 4] :
16. Fie parametrul m 2 R astfel Ónc‚t vectorii !a = !
i  !
j ∏si !
b =
p2
2
!
i + m!
j sºa Öe
perpendiculari. Atunci E = m + sin 5
6  cos 7
4 este:
(a)
p6  2p2
4 ; (b) p2
4 ; (c) 0; (d) 1  2p2
4 :
2

Subiect · pagina 3

17. Se dºa ∏sirul
xn = 1 + 2020
2021 +
 2020
2021
2
+ ::: +
 2020
2021
n
; 8n 2 N:
(a) (xn)n2N este ∏sir descrescºator; (b) lim
n!1 xn = 1
2021 ;
(c) lim
n!1 xn = +1; (d) xn < 2021; 8n 2 N:
18. Fie a > 1 un parametru real dat. Mul∏timea M a solu∏tiilor x > 1 ale inecua∏tiei
 1
16
8+loga x
>
 1
2
log2
a x
este:
(a) M = 1; a8 ; (b) M = 1; 1 + a4 ; (c) M = a8; +1 ; (d) M = ;:
19. Sºa se determine a 2 R astfel Ónc‚t func∏tia
f : (2; 2) ! R; f (x) =
8
<
:
1 + 2ax; dacºa x 2 (2; 1]px2 + 8  3
x2  3x + 2 ; dacºa x 2 (1; 2)
sºa Öe continuºa pe (2; 2) :
(a) a = 2
3 ; (b) a = 1
3 ; (c) a = 1
3 ; (d) nu existºa a cu proprietatea cerutºa:
20. Fie m 2 R. Sistemul
8
<
:
x + y + z = 3
x + my + z = 3
x + my + mz = 3
este:
(a) compatibil unic determinat, 8m 2 Rn f1g (b) incompatibil, pentru m = 1;
(c) compatibil nedeterminat, pentru m = 2; (d) incompatibil, pentru m = 2:
21. Fie (d1) : 2x + ay  7 = 0 acea dreaptºa Ón plan pentru care a 2 R se determinºa din condi∏tia
ca punctul A (2; 1) sºa apar∏tinºa dreptei. Fie (d2) acea dreaptºa Ón plan care trece prin punctele
B (0; 4) ∏si C (6; 0). Atunci:
(a) dreptele (d1) ∏si (d2) sunt perpendiculare;
(b) dreptele (d1) ∏si (d2) se intersecteazºa Ón M 1; 7
3
 ;
(c) dreptele (d1) ∏si (d2) coincid;
(d) dreptele (d1) ∏si (d2) sunt paralele:
22. Fie I1 = R 
3

6
x
cos2 x dx ∏si I2 = R 3
2
ln x
px dx. Atunci I1 + I2 este:
(a) 2
9
p3  ln p3 + 2p3 ln 3  2p2 ln 2  4p3 + 4p2;(b)  2
9
p3 + ln 3  4p3 + 4p2;
(c) 2
9
p3 +
p3
2 ln 3  2p2 ln 2  4p3 + 4p2;(d) 2
9
p3 + 1  p3
2 + 2p3 ln 3  2p2 ln 2:
23. Pe mul∏timea G = R se deÖne∏ste legea de compozi∏tie asociativºa ∏si comutativºa:
x  y = xy  x  y + 2; 8x; y 2 R:
Fie e elementul neutru al legii de compozi∏tie anterioare ∏si z solu∏tia ecua∏tiei z  2022 = e: Atunci:
(a) z = 2022
2021 ; (b) z = 1
2022 ; (c) z = 2021
2022 ; (d) z = 2021
2022 :
3

Subiect · pagina 4

24. Produsul
(tg 1  ctg 1)  (tg 2  ctg 2)  :::  (tg 89  ctg 89)
este:
(a) 0; (b) 1
289 ; (c) 1
289 ; (d) 1:
25. Fie A (2; 1) ; B (1; 2) ; C (0; 5) v‚rfurile unui triunghi. Sºa se ordoneze mºasurile Ón grade
ale unghiurilor triunghiului.
(a) m
 bA

= m
 bB

> m
 bC

; (b) m
 bA

> m
 bC

> m
 bB

;
(c) m
 bC

< m
 bA

< m
 bB

; (d) m
 bA

< m
 bC

< m
 bB

:
4
Deschide documentul original
Barem · 8 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Tehnicºa "Gheorghe Asachi" din Ia∏si
Facultatea de Automaticºa ∏si Calculatoare
Admitere ñsesiunea 2021
Domeniile: Calculatoare ∏si Tehnologia Informa∏tiei
Ingineria sistemelor (Automaticºa ∏si informaticºa aplicatºa)
Subiecte (model 2) la testul grilºa de Matematicºa
1. Numºarul complex z = ip3  1; unde i este unitatea imaginarºa, are conjugatul z: Atunci (z)3
apar∏tine mul∏timii:
(a) N; (b) Z n N; (c) RnQ; (d) CnR:
Rezolvare. (z)3 = 1  ip33 =  1 + ip33 =
= 

1 + 3 ip31 + 3 ip32 + ip33
=  1 + 3ip3  3  3  i  3p3
(z)3 = 8 2 N
Rºaspuns corect (a) :
2. Fie parametrul m 2 R ∏si ecua∏tia
mx2 + (m + 1) x + m  1 = 0:
Atunci condi∏tia necesarºa ∏si suÖcientºa ca ecua∏tia anterioarºa sºa nu admitºa rºadºacini reale este:
(a) m 2 3  2p3; 3 + 2p3 ; (b) m 2

1  2p3
3 ; 1 + 2p3
3

;
(c) m 2
h
1  2p3
3 ; 1 + 2p3
3
i
; (d) m 2

1; 1  2p3
3

[

1 + 2p3
3 ; +1

:
Rezolvare. m = 0 ) 9x = 1 2 R:
m 6 = 0 )  = 3m2 + 6m + 1:
nu admite rºadºacini reale,  < 0 , 3m2 + 6m + 1 < 0 , 3m2  6m  1 > 0 ,
, m 2

1; 1  2p3
3

[

1 + 2p3
3 ; +1

:
Rºaspuns corect (d) :
3.
 a2 = 5
a5 = 14 )
 a1 + r = 5
a1 + 4r = 14 )
 a1 = 2
r = 3
S = a1 + a2 + ::: + a10 = (a1 + a10)  10
2 = (a1 + a1 + 9r)  10
2 = (2a1 + 9r)  10
2
S = (2  2 + 9  3)  10
2 = 31  5 = 155:
Rºaspuns corect (a) :
4. Dintre 6 elevi de clasa a XI-a ∏si 4 elevi de clasa a XII-a se aleg 5 persoane pentru a forma
o echipºa de lot pentru un hackathon. Œn c‚te moduri se poate alcºatui aceastºa echipºa, ∏stiind cºa Ón
componen∏ta ei trebuie sºa Öe cel pu∏tin 3 elevi de clasa a XII-a?
(a) 60; (b) 66; (c) 864; (d) 144:
Rezolvare. Echipa se poate forma:
-din 3 elevi de clasa XII-a ∏si 2 de clasa a XI-a Ón C3
4  C2
6 moduri;
-din 4 elevi de clasa XII-a ∏si 1 de clasa a XI-a Ón C4
4  C1
6 moduri.
Œn total sunt un numºar de moduri egal cu: C3
4  C2
6 + C4
4  C1
6 = 4  15 + 1  6 = 66:
Rºaspuns corect (b) :
1

Barem · pagina 2

5. Fie f : R ! R; f (x) = e2x. Atunci:
(a) func∏tia derivatºa f 0 este monoton descrescºatoare pe R;
(b) lim
n!1
f 0 (2021) + f 00 (2021) + ::: + f (n) (2021)
f (n) (2021) = 1
3 ;
(c) lim
n!1
f 0 (2) + f 00 (2) + ::: + f (n) (2)
f (n) (2) = 2
3 ;
(d) graÖcul func∏tiei derivate f 0 are asimptotºa verticalºa.
Rezolvare. Se determinºa:
f 0 : R ! R; f 0 (x) = 2e2x;
f 00 : R ! R; f 00 (x) = (2)2 e2x;
:::
f (n) : R ! R; f (n) (x) = (2)n e2x:
Deoarece f 00 (x) = (2)2 e2x > 0; 8x 2 R ) func∏tia derivatºa f 0 este strict crescºatoare.
E (x) = f 0 (x) + f 00 (x) + ::: + f (n) (x)
f (n) (x) =
h
(2) + (2)2 + ::: + (2)ni
 e2x
(2)n  e2x =
= 1
(2)n  (2)  (2)n  1
(2)  1 = 2
3  1   1
2
n ; 8x 2 R
Rºaspuns corect (c) :
6. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = 1
21 + jx  21j : Atunci o primitivºa pe R a func∏tiei f este:
(a) F (x) =
 ln 21  ln (2  21  x) ; x  21
ln x  ln 21; x > 21 ; (b) F (x) =
 2  ln (2  21  x) ; x  21
ln x; x > 21 ;
(c) F (x) = 21 + ln j21 + jx  21jj; (d) F (x) =
8
<
:
ln (2  21  x) ; x < 21
ln 21 x = 21
ln x; x > 21
.
Rezolvare. Se expliciteazºa
f (x) =
8
><
>:
1
2  21  x ; x  21
1
x ; x > 21
) F (x) =
8
<
:
 ln (2  21  x) + C1; x < 21
C2 x = 21
ln x + C3; x > 21
:
Pentru ca F sºa Öe o primitivºa pe R a func∏tiei f; se impune ca F sºa Öe derivabilºa pe R; deci ∏si
continuºa pe R; deci ∏si continuºa Ón x = 21: Se ob∏tine  ln 21 + C1 = ln 21 + C3 = C2 se noteazºa
= C:
Atunci primitivele lui f pe R sunt:
F (x) =
  ln (2  21  x) + ln 21 + C; x  21
ln x  ln 21 + C; x > 21 :
Rºaspuns corect: (a):
7. Fie ABC cu BC = 8 ∏si cos A = 4
5 . Diametrul cercului circumscris are valoarea:
(a) 10; (b) 40
3 ; (c) 11; (d) 8:
Rezolvare. cos A = 3
5 > 0 )  (A) 2

0; 
2

:
Atunci sin A = +p1  cos2 A = 3
5 : Din teorema sinusurilor)
BC
sin A = 2R ) 2R = 8
3
5
= 40
3 :
Rºaspuns corect (b) :
2

Barem · pagina 3

8. Mul∏timea M a tuturor solu∏tiilor ecua∏tiei 72px1  10  7px1 + 21 = 0 este:
(a) M = f3; 7g ; (b) M = f1; log7 3g ; (c) M =
n
2; 1 + (log7 3)2o
; (d) M = f2g :
Rezolvare. C.E.: x  1:
Se face schimbarea de variabilºa de ecua∏tie t = 7px1 > 0 ∏si ecua∏tia devine
t2  10t + 21 = 0 ) t1 = 7 > 0 sau t2 = 3 > 0:
Atunci:
7px1 = 7 ) px  1 = 1 ) x = 2  1:
7px1 = 3 ) px  1 = log7 3  0 ) x = 1 + (log7 3)2  1:
Rºaspuns corect (c) :
9. Fie !rA = 2!
i  !
j , !rB = !
i  3!
j ∏si !rC = 2!
i + 7!
j vectorii de pozi∏tie ai v‚rfurilor
triunghiului ABC ∏si !rG vectorul de pozi∏tie al centrului de greutate a triughiului. Atunci cosinusul
unghiului format de !rA ∏si !rG este:
(a) 3
p10 ; (b) 1
p10 ; (c) 1
p5 ; (d) 1
p2 :
Rezolvare. !rG = 1
3 (!rA + !rB + !rC ) = !
i + !
j ) cos = 2  1  1  1
p5  p2 = 1
p10
Rºaspuns corect (b) :
10. Se dºa func∏tia f : D ! R; f (x) = arcsin px
1  ln (e  x) : Domeniul maximal de continuitate pentru
f este:
(a) D = (0; e) ; (b) D = [0; 1] ; (c) D = (0; 1] ; (d) D = [0; e) :
Rezolvare. C:E:
8
>><
>>:
x  0
1  px  1
e  x > 0
1  ln (e  x) 6 = 0
)
8
<
:
x 2 [0; 1]
x 2 (1; e)
x 6 = 0
) DE = (0; 1] :
Pe domeniul de existen∏tºa, f este continuºa.
Rºaspuns corect (c) :
11. Derivata func∏tiei f : R ! R; f (x) =
Z sin x
x2
et2
dt este:
(a) f 0 (x) = esin2 x  ex4
; (b) f 0 nu existºa;
(c) f 0 (x) = esin2 x  cos x  ex4
 2x; (d) f 0 (x) = esin2 x  cos x  ex2
.
Rezolvare. Fie g : R ! R; g (t) = ln 1 + sin2 t : Deoarece g este continuºa pe R, func∏tia
admite primitive pe R, chiar dacºa acestea nu pot Ö exprimate cu func∏tii elementare. Fie G o astfel
de primitivºa. Atunci
f (x) = G (arcsin x)  G  
4
 ; 8x 2 (1; 1) )
f 0 (x) = (G0 (arcsin x)) (arcsin x)0  0 = (g (arcsin x)) 1
p1  x2 = ln 1 + x2
p1  x2 ; 8x 2 (1; 1) :
Rºaspuns corect (b) :
12. Func∏tia f : R ! R; f (x) =
 4x2  3x + 1; dacºa x < 0
ex dacºa x  0 :
(a) nu este monotonºa pe R; (b) este strict crescºatoare pe R;
(c) este injectivºa pe R; (d) nu este surjectivºa:
3

Barem · pagina 4

Rezolvare. Se reprezintºa graÖcul pentru f1 : R ! R; f (x) = 4x2  3x + 1 :
4x2  3x + 1 = 0 ) x1 = 1 ∏si x2 = 1
4 : (1; 0) ;  1
4 ; 0 :
x = 0 ) f (0) = 1 : (0; 1) :
V
 3
8 ; 25
16

:x
y
Se reprezintºa graÖcul pentru f2 : R ! R; f (x) = ex :x
y
Se reprezintºa Gf = G f1j(1;0) [ G f2j[0;1) :x
y
Din graÖc rezultºa cºa:
-f nu este monotonºa pe R, deoarece este crescºatoare pe 1; 3
8
, descrescºatoare pe  3
8 ; 0 ;
crescºatoare pe [0; 1) :
-f nu este injectivºa pe R, deoarece existºa o dreaptºa y = 1 paralelºa cu Ox care intersecteazºa
reprezentarea graÖcului Ón 2 puncte :(0; 1) ;  3
4 ; 1 ; existºa chiar ∏si drepte paralele cu Ox care
intersecteazºa reprezentarea graÖcului Ón 3 puncte.
-f este surjectivºa pe R, deoarece orice dreaptºa paralelºa cu Ox intersecteazºa reprezentarea graÖ-
4

Barem · pagina 5

cului Ón mºacar un punct (Ón 1 sau 2 sau 3).
Rºaspuns corect (a) :
13. Fie A = f2020; 2021; 2022g ∏si B = f10; 20; 30; 40; 50g. Probabilitatea de a alege din
mul∏timea tuturor func∏tiilor f : A ! B o func∏tie injectivºa este
(a) 12
25 ; (b) 12
15 ; (c) 24
125 ; (d) 20
81 :
Rezolvare. Se determinºa numºarul evenimentelor posibile, adicºa numºarul func∏tiilor f : A ! B,
av‚nd cardA = 3; cardB = 5 :
(cardB)cardA = 53 = 125:
Se determinºa numºarul evenimentelor favorabile producerii evenimentului de a alege o func∏tie
injectivºa din cele 125 :
A3
5 = 5!
2! = 60:
Atunci P (A) = 60
125 = 12
25 :
Rºaspuns corect (a) :
14. Fie A = (aij )i=1;3;j=1;3 ∏si B = (bij )i=1;3;j=1;3 douºa matrice cu aij = min (i; j) ∏si bij =
max (i; j) ; i = 1; 3; j = 1; 3: Atunci:
(a) det (A  B) = 2; (b) det (A + B) = 4; (c) rang (A  B) = 2; (d) rang (A + B) = 2:
Rezolvare.
A =
0
@
1 1 1
1 2 2
1 2 3
1
A ; B =
0
@
1 2 3
2 2 3
3 3 3
1
A ; det A = 1; det B = 3:
A  B =
0
@
0 1 2
1 0 1
2 1 0
1
A ; A + B =
0
@
2 3 4
3 4 5
4 5 6
1
A ; det (A  B) = 4; det (A + B) = 0:
Rºaspuns corect (d) :
15. Fie func∏tia f : R ! R; f (x) = x3  9x2 + 24x + 3. Atunci:
(a) f admite puncte de extrem local, iar abscisele lor sunt 2 ∏si 4;
(b) f admite puncte de extrem local, iar abscisele lor sunt 19 ∏si 23;
(c) f este convexºa pe (1; 2];
(d) f este crescºatoare pe [2; 4] :
Rezolvare. Se observºa cºa f este derivabilºa de douºa ori pe R; cu
f 0 : R ! R; f (x) = 3x2  18x + 24.
f 00 : R ! R; f 00 (x) = 6x  18.
Se studiazºa dacºa punctele sta∏tionare gºasite, care sunt Ón domeniul func∏tiei, sunt de extrem local,
folosind tabelul de varia∏tie a func∏tiei. Se precizeazºa Ón tabel ∏si semnul lui f 00:
x 1 2 3 4 1
f 0 (x) + + + + 0        0 + + + +
f 00 (x)         0 + + + + + + + +
f (x) 1 %%%
concavºa
23 &&&
concavºa
21 &&&
convexºa
19 %%%
convexºa
1
Se observºa cºa x = 2 este punct de maxim local, cu f (2) = 23 valoarea maximºa local ∏si cºa x = 4
este punct de minim local, cu f (4) = 19 valoarea minimºa local.
GraÖcul func∏tiei f : R ! R; f (x) = x3  9x2 + 24x + 3 este
5

Barem · pagina 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10
20
x
yRºaspuns corect (a) :
16. Fie parametrul m 2 R astfel Ónc‚t vectorii !a = !
i  !
j ∏si !
b =
p2
2
!
i + m!
j sºa Öe
perpendiculari. Atunci E = m + sin 5
6  cos 7
4 este:
(a)
p6  2p2
4 ; (b) p2
4 ; (c) 0; (d) 1  2p2
4 :
Rezolvare. !a = !
i  !
j ∏si !
b =
p2
2
!
i + m!
j sunt perpendiculari)
1 
p2
2  1  m = 0 ) m = 
p2
2 :
sin 5
6 = sin   
6
 = 1
2 ; cos 7
4 = cos 2  
4
 =
p2
2 :
E = 
p2
2 + 1
2 
p2
2 = 
p2
4 :
Rºaspuns corect (b) :
17. Se dºa ∏sirul
xn = 1 + 2020
2021 +
 2020
2021
2
+ ::: +
 2020
2021
n
; 8n 2 N:
(a) (xn)n2N este ∏sir descrescºator; (b) lim
n!1 xn = 1
2021 ;
(c) lim
n!1 xn = +1; (d) xn < 2021; 8n 2 N:
Rezolvare. xn+1  xn =
 2020
2021
n+1
> 0; 8n 2 N:
xn = 1 
2020
2021
!n
1
2020
2021 1
= 2021

1 
 2020
2021
n
; 8n 2 N:
lim
n!1 xn = 2021:
Rºaspuns corect: (d):
18. Fie a > 1 un parametru real dat. Mul∏timea M a solu∏tiilor x > 1 ale inecua∏tiei
 1
16
8+loga x
>
 1
2
log2
a x
este:
(a) M = 1; a8 ; (b) M = 1; 1 + a4 ; (c) M = a8; +1 ; (d) M = ;:
Rezolvare. C:E:  x > 0-se veriÖcºa pentru x > 1 )
 1
16
8+loga x
>
 1
2
log2
a x
) 24(8+loga x) > 2 log2
a x )
) 32 + 4 loga x < log2
a x ) log2
a x  4 loga x  32 > 0 )
6

Barem · pagina 7

) (loga x  8) (loga x + 4) > 0 ) loga x 2 (1; 4) [ (8; 1) :
Pentru a > 1; x > 1 ) loga x > 0 )
) loga x > 8 = loga a8 a>1
)
loga crescºatoare x > a8:
M = a8; 1 \ (1; 1) = a8; +1 :
Rºaspuns corect (c) :
19. Sºa se determine a 2 R astfel Ónc‚t func∏tia
f : (2; 2) ! R; f (x) =
8
<
:
1 + 2ax; dacºa x 2 (2; 1]px2 + 8  3
x2  3x + 2 ; dacºa x 2 (1; 2)
sºa Öe continuºa pe (2; 2) :
(a) a = 2
3 ; (b) a = 1
3 ; (c) a = 1
3 ; (d) nu existºa a cu proprietatea cerutºa:
Rezolvare. Pe intervalele (2; 1) ∏si (1; 2) ; f este func∏tie continuºa.
f (1) = 1 + 2a;
ls (1) = lim
x!1
x<1
(1 + 2ax) = 1 + 2a;
ld (1) = lim
x!1
x>1
px2 + 8  3
x2  3x + 2
0
0
= lim
x!1
x>1
x2 + 8  9
(x2  3x + 2)
px2 + 8 + 3
 = lim
x!1
x>1
(x  1) (x + 1)
(x  1) (x  2)
px2 + 8 + 3
 = 1
3 :
f continuºa Ón 1 ) 1 + 2a = 1
3 ) a = 1
3 :
Rºaspuns corect (b) :
20. Fie m 2 R. Sistemul
8
<
:
x + y + z = 3
x + my + z = 3
x + my + mz = 3
este:
(a) compatibil unic determinat, 8m 2 Rn f1g (b) incompatibil, pentru m = 1;
(c) compatibil nedeterminat, pentru m = 2; (d) incompatibil, pentru m = 2:
Rezolvare.
1 1 1
1 m 1
1 m m
= m2  2m + 1 = (m  1)2 :
Rºaspuns corect (a) :
21. Fie (d1) : 2x + ay  7 = 0 acea dreaptºa Ón plan pentru care a 2 R se determinºa din condi∏tia
ca punctul A (2; 1) sºa apar∏tinºa dreptei. Fie (d2) acea dreaptºa Ón plan care trece prin punctele
B (0; 4) ∏si C (6; 0). Atunci:
(a) dreptele (d1) ∏si (d2) sunt perpendiculare;
(b) dreptele (d1) ∏si (d2) se intersecteazºa Ón M 1; 7
3
 ;
(c) dreptele (d1) ∏si (d2) coincid;
(d) dreptele (d1) ∏si (d2) sunt paralele:
Rezolvare. A (2; 1) 2 (d1) ) 2  2 + a  1  7 = 0 ) a = 3 ) (d1) : 2x + 3y  7 = 0:
B (0; 4) 2 (d2) ∏si C (6; 0) 2 (d2) ) (d2) : x  0
6  0 = y  4
0  4 ) (d2) : 4x + 6y  24 = 0 )
) (d2) : 2x + 3y  12 = 0:
Dreptele (d1) ∏si (d2) sunt paralele.
Rºaspuns corect (d) :
7

Barem · pagina 8

22. Fie I1 = R 
3

6
x
cos2 x dx ∏si I2 = R 3
2
ln x
px dx. Atunci I1 + I2 este:
(a) 2
9
p3  ln p3 + 2p3 ln 3  2p2 ln 2  4p3 + 4p2;(b)  2
9
p3 + ln 3  4p3 + 4p2;
(c) 2
9
p3 +
p3
2 ln 3  2p2 ln 2  4p3 + 4p2;(d) 2
9
p3 + 1  p3
2 + 2p3 ln 3  2p2 ln 2:
Rezolvare. I1 = R 
3

6
x
cos2 x dx = R 
3

6
x  (tg x)0 dx = x  (tg x)jx= 
3
x= 
6
 R 
3

6
(tg x) dx =
= 
3
p3  
3 
p3
3 + ln (cos x)jx= 
3
x= 
6
= 2
9
p3 + ln 1
2  ln
p3
2 = 2
9
p3  ln p3:
I2 = R 3
2
ln x
px dx = 2 R 3
2 ln x  (px)0 dx = 2 ln x  pxjx=3
x=2  2 R 3
2
1
x
pxdx =
= 2p3 ln 3  2p2 ln 2  4 pxjx=3
x=2 = 2p3 ln 3  2p2 ln 2  4p3 + 4p2:
Rºaspuns corect (a) :
23. Pe mul∏timea G = R se deÖne∏ste legea de compozi∏tie asociativºa ∏si comutativºa:
x  y = xy  x  y + 2; 8x; y 2 R:
Fie e elementul neutru al legii de compozi∏tie anterioare ∏si z solu∏tia ecua∏tiei z  2022 = e: Atunci:
(a) z = 2022
2021 ; (b) z = 1
2022 ; (c) z = 2021
2022 ; (d) z = 2021
2022 :
Rezolvare. x  e = x ) xe  x  e + 2 = x; 8x 2 R )
(x  1) (e  2) = 0; 8x 2 R ) e = 2:
z  2022 = e ) 2022z  z  2022 + 2 = 2 ) z = 2022
2021 :
Rºaspuns corect (a) :
24. Produsul
(tg 1  ctg 1)  (tg 2  ctg 2)  :::  (tg 89  ctg 89)
este:
(a) 0; (b) 1
289 ; (c) 1
289 ; (d) 1:
Rezolvare. tg 45  ctg 45 = 0:
Rºaspuns corect (a) :
25. Fie A (2; 1) ; B (1; 2) ; C (0; 5) v‚rfurile unui triunghi. Sºa se ordoneze mºasurile Ón grade
ale unghiurilor triunghiului.
(a) m
 bA

= m
 bB

> m
 bC

; (b) m
 bA

> m
 bC

> m
 bB

;
(c) m
 bC

< m
 bA

< m
 bB

; (d) m
 bA

< m
 bC

< m
 bB

:
Rezolvare. AB =
q
(2  1)2 + (1  2)2 = 3p2
BC =
q
(1  0)2 + (2  5)2 = p10
CA =
q
(0 + 2)2 + (5 + 1)2 = 2p10
BC < AB < CA ) m
 bA

< m
 bC

< m
 bB

:
Sau prin calcul: cos =
!
AB  !
AC
!
AB  !
AC
; unde este mºasura Ón radiani a bA; ∏s.a.m.d.
Rºaspuns corect (d) :
8
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2021Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 1Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 2Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 3Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 4Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.