Pregătire cu un profesor

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi Admitere - studii de licenţă
Facultatea de Informatică Sesiunea iulie 2017
Test la MATEMATICĂ
Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculaţi partea imaginară a numărului complex
"
1
1 + ip22 + 1
1  ip22
#
(i2 = 1).
5p 2. Pentru ce valori ale parametrilor reali m şi n dreapta de ecuaţie y = mx + n este tangentă
la parabola de ecuaţie y = x2 + (m + n)x  m în punctul său de minim?
5p 3. Să se rezolve în R ecuaţia
px  2px  1 +
px + 2px  1 + log2(x  1) = 0.
5p 4. Se alege la întâmplare un număr x din mulţimea f1; 2; : : : ; 100g. Care este probabilitatea ca
log2 x să fie un număr raţional?
5p 5. Se consideră punctele A(3; 2) şi B(1; 0). Determinaţi coordonatele punctelor C situate pe
dreapta d : x + y = 5 pentru care aria triunghiului ABC este 4.
5p 6. Pentru x 2 (0; ), determinaţi cos 3x, ştiind că cos 2x = cos x.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie G =
(
A(x; y) =
x 0 iy
0 0 0
iy 0 x
!
j x; y 2 R; x2 + y2 6 = 0
)
, unde i2 = 1.
5p a) Demonstraţi că (G; ) este grup comutativ ("" notează înmulţirea matricilor).
5p b) Fie funcţia ' : (C; ) ! (G; ) definită prin '(x + iy) = A(x; y), pentru orice x + iy 2 C.
Arătaţi că ' este izomorfism de grupuri.
5p c) Calculaţi A(0; 1)2017:
2. Fie polinomul f = X3 + pX2 + b1 2 Z3[X].
5p a) Pentru ce valori ale lui p 2 Z3, f se divide prin X  b2 ?
5p b) Determinaţi valoarea expresiei x3
1 + x3
2 + x3
3, unde x1; x2 şi x3 sunt rădăcinile lui f.
5p c) Pentru p = b1, descompuneţi f în factori ireductibili.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţiile f : R
+ ! R, dată prin f(x) = ex2
 x2  1; 8x 2 R
+ şi g : R
+ ! R,
dată prin g(x) = f(x)
x ; 8x 2 R
+.
5p a) Demonstraţi că f(x) > 0, 8x 2 R
+.
5p b) Arătaţi că g este crescătoare pe tot domeniul de definiţie.
5p c) Fie şirul (xn)n2N definit prin x0 = 2 şi xn+1 = ex2
n  x2
n  1, 8n 2 N. Studiaţi monotonia şi
determinaţi limita acestuia.
2. Considerăm funcţiile f; g : R ! R, f(x) = 2x sin2 x şi g(x) = 2x cos2 x.
5p a) Aflaţi câte o primitivă a funcţiilor f şi g.
5p b) Calculaţi In + Jn, unde In =
Z 1=n
0
f(x) dx şi Jn =
Z 1=n
0
g(x) dx, 8n 2 N.
5p c) Determinaţi lim
n!+1 n2(Jn  In).

Deschide documentul original

Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi Admitere - studii de licenţă
Facultatea de Informatică Sesiunea iulie 2017
Barem de corectare la MATEMATICĂ
- Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Pentru orice soluţie corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă un punctaj corespunzător.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z = 1
(1 + i√2)2 + 1
(1 − i√2)2 = 1
−1 + 2√2i + 1
−1 − 2√2i 2p
z = − 2
9 2p
Concluzie: Im(z) = 0. 1p
2. Punctul de minim al parabolei este V
Å
− m + n
2 , − (m + n)2 + 4m
4
ã
2p
Panta dreptei trebuie sa fie nulă ⇒ m = 0 1p
Dreapta trece prin V
Å
− n
2 , − n2
4
ã
⇒ n2 + 4n = 0 1p
Concluzie: n = 0 sau n = −4. 1p
3. x > 1 1p
x ± 2√x − 1 = (√x − 1 ± 1)2 > 0 1p
Ecuaţia devine |√x − 1 − 1| + √x − 1 + 1 + log2 (x − 1) = 0 1p
Caz 1. x ∈ (1, 2) ⇒ 2 + log2 (x − 1) = 0 ⇒ x = 5/4 1p
Caz 2. x > 2 ⇒ 2 6 2√x − 1 + log2 (x − 1) = 0 ⇒ ecuaţia nu are soluţii. 1p
4. P = f
n 1p
Numărul cazurilor posibile: n = 100 1p
Numărul cazurilor favorabile: f = card{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} = 7 (justificare) 2p
Concluzie: probabilitatea cerută este P = 7
100 . 1p
5. C(u, v) ∈ d ⇔ v = 5 − u 1p
S∆ABC = 1
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
det
â
3 2 1
1 0 1
u v 1
ì∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2|u − 3| = 4 2p
Concluzie: |u − 3| = 2 ⇒ C(5, 0) sau C(1, 4). 2p
6. cos 2x = cos x ⇔ 2 cos2 x − cos x − 1 = 0 ⇔ cos x ∈ {−1/2, 1}, x ∈ (0, π) ⇒ cos x = −1/2 2p
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x = 1. 3p

Barem · pagina 2

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) A(x, y) ◦ A(u, v) = A(xu − yv, xv + yu), (xu − yv)2 + (xv + yu)2 = (x2 + y2)(u2 + v2) 6 = 0, 1.5p
∀A(x, y), A(u, v) ∈ G
Asociativitatea operaţiei "◦" 1p
Comutativitatea operaţiei "◦" 0.5p
Elementul neutru al operaţiei "◦" este A(1, 0) 1p
∀A(x, y) ∈ G, A(x, y)−1 = A
Å x
x2 + y2 , − y
x2 + y2
ã
∈ G. 1p
b) ϕ este morfism: ϕ((x + iy) · (u + iv)) = ϕ(x + iy) ◦ ϕ(u + iv), ∀(x + iy), (u + iv) ∈ C∗ 3p
ϕ este bijecţie 2p
c) A(0, −1) = ϕ(i) 2p
A(0, −1)2017 = ϕ(i2017) = ϕ(i) 2p
Concluzie: A(0, −1)2017 = A(0, −1). 1p
2.a) f se divide prin X −̂ 2 ⇔ f (̂ 2) =̂ 0 2p
f (̂ 2) = p 2p
Concluzia: p =̂ 0. 1p
b) x3
1 + x3
2 + x3
3 = −p(x2
1 + x2
2 + x2
3) 1p
x2
1 + x2
2 + x2
3 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x2x3 + x3x1) 1p
x1 + x2 + x3 = −p 1p
x1x2 + x2x3 + x3x1 =̂ 0 1p
Concluzia: x3
1 + x3
2 + x3
3 = −p3. 1p
c) f (̂ 1) =̂ 0 1p
f = (X −̂ 1) · g, g = X2 +̂ 2X +̂ 2 2p
g este ireductibil in Z3. 2p

Barem · pagina 3

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′(x) = 2x(ex2
− 1), ∀x > 0 1p
f ′(x) > 0, ∀x > 0 1p
f strict crescătoare pe R∗
+ 1p
lim
x↘0
f (x) = 0 1p
f (x) > 0, ∀x ∈ R∗
+. 1p
b) g′(x) = (2x2 − 1)ex2
− x2 + 1
x2 , ∀x > 0 1p
h(t) = (2t − 1)et − t + 1, ∀t > 0, h(0) = 0 1p
h′(t) = 2tet + et − 1 > 0, ∀t > 0 1p
h strict crescătoare pe R∗
+ ⇒ h(t) > 0, ∀t > 0 1p
g′(x) = h(x2)/x2 > 0, ∀x > 0 ⇒ g este crescătoare pe R∗
+. 1p
c) ∀n ∈ N, ∃cn între xn−1 şi xn astfel ca xn+1 − xn = f (xn) − f (xn−1) = f ′(cn)(xn − xn−1) 1p
f ′(cn) > 0 ⇒ sgn(xn+1 − xn) = sgn(xn − xn−1), ∀n ∈ N∗ 1p
x1 = e4 − 5 > 2 = x0 ⇒ xn+1 > xn, ∀n ∈ N 1p
(xn)n∈N şir crescător ⇒ ∃ lim
n→∞
xn = l ∈ (2, ∞] 1p
l < ∞ ⇒ 1 = lim
n→∞
xn+1
xn
= g(l) > g(2) > 1, absurd. Concluzie l = ∞. 1p
2.a)
∫
f (x) dx =
∫
2x sin2 x dx =
∫
x(1 − cos 2x) dx = x2
2 −
∫ x
2 (sin 2x)′ dx = x2
2 − x
2 sin 2x+ 3p
+
∫ sin 2x
2 dx = x2
2 − x
2 sin 2x − cos 2x
4
∫
f (x) + g(x) dx = x2 ⇒
∫
g(x) dx = x2 −
∫
f (x) dx = x2
2 + x
2 sin 2x + cos 2x
4 . 2p
b) In =
Å x2
2 − x
2 sin 2x − cos 2x
4
ã∣
∣
∣
∣
1/n
0
= 1
2n2 − 1
2n sin 2
n − 1
4 cos 2
n + 1
4 , ∀n ∈ N∗ 2p
Jn =
Å x2
2 + x
2 sin 2x + cos 2x
4
ã∣
∣
∣
∣
1/n
0
= 1
2n2 + 1
2n sin 2
n + 1
4 cos 2
n − 1
4 , ∀n ∈ N∗ 2p
In + Jn = 1
n2 , ∀n ∈ N∗. 1p
c) n2(Jn − In) = n sin 2
n + n2
2
(
cos 2
n − 1
)
, ∀n ∈ N∗ 1p
lim
n→∞
n sin 2
n = 2 1p
lim
n→∞
n2
2
(
cos 2
n − 1
)
= − lim
n→∞ n2 sin2 1
n = −1 2p
Concluzia: lim
n→∞ n2(Jn − In) = 1. 1p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2019Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2017

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Barem · pagina 3

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?