Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB – 6 aprilie 2019
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
NOT ˘A IMPORTANT ˘A:
1) Problemele de tip gril˘a din Partea A pot avea unul sau mai multe r˘aspunsuri
corecte, care trebuie indicate de candidat pe formularul special de pe foaia de
concurs. Notarea subiectului de tip gril˘a se face conform sistemului de punctare
part¸ial˘a din regulamentul concursului.
2) Pentru problemele din Partea B se cer rezolv˘ari complete scrise pe foaia de
concurs. Acestea sunt evaluate ˆın detaliu conform baremului.
PARTEA A
1. (6 puncte) Fie funct¸ia f : R → R definit˘a prin f (x) = x2 + 2(a − 1)x + a − 1, unde
a ∈ R. Ecuat¸ia f (x) = 0 nu are nicio solut¸ie real˘a dac˘a
A a ∈ (1, 3
2
) ; B a ∈ (−∞, 1) ; C a ∈ (0, 1) ; D a ∈ ( 3
2 , 2).
2. (6 puncte) Num˘arul termenilor rat¸ionali ai dezvolt˘arii (√3 + 3
√3)19 este
A 3 ; B 6 ; C 0 ; D 2.
3. (6 puncte) Fie sistemul de ecuat¸ii cu coeficient¸i reali



x + ay + z = 1
x + y + az = 1
x + y + z = a .
Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A Exist˘a un singur a ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul s˘a aib˘a o singur˘a solut¸ie.
B Exist˘a un singur a ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul s˘a aib˘a mai multe solut¸ii.
C Exist˘a un singur a ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul s˘a fie incompatibil.
D Dac˘a sistemul are o singur˘a solut¸ie, atunci y nu depinde de a.
4. (6 puncte) Dac˘a x1, x2, x3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului
f = X3 + 2X2 + 3X + 4 ∈ R[X]
¸si a = 1
x2
1
+ 1
x2
2
+ 1
x2
3
, atunci
A a = 3
2 ; B a = −2 ; C a = 4
3 ; D a = − 7
16 .
5. (6 puncte) Limita lim
x→∞ x(π − 2arctg x)
A este egal˘a cu 1 ; B este egal˘a cu 2 ; C este mai mare decˆat π
2 ; D nu exist˘a.

Subiect · pagina 2

6. (6 puncte) Fie f : R \ {−1} → R funct¸ia definit˘a prin f (x) = lim
n→∞
xn + x
x2n + 1 , unde n ∈ N.
Atunci
A funct¸ia f este continu˘a ˆın 0 ;
B funct¸ia f este continu˘a ˆın −1 ;
C limita la stˆanga a funct¸iei f ˆın −1 este egal˘a cu 0 ;
D funct¸ia f nu este continu˘a ˆın 1.
7. (6 puncte) Fie f : (−∞, −1]∪[1, ∞) → R funct¸ia definit˘a prin f (x) = (2x − 7)√x2 − 1 .
Atunci
A f posed˘a un singur punct de extrem local ;
B f posed˘a trei puncte de extrem local ;
C f este strict cresc˘atoare pe (−∞, −1] ;
D f este strict cresc˘atoare pe (−∞, −1] ∪ [2, ∞).
8. (6 puncte) Valoarea integralei
∫ π/2
0
cos x · ln(1 + cos x) dx este
A π
2 − 1 ; B π
2 ; C π
2 + 1 ; D 0.
9. (6 puncte) Dac˘a punctul A(2, 3) este piciorul perpendicularei coborˆate din origine pe o
dreapt˘a d, atunci ecuat¸ia dreptei d este
A 2x − 3y + 5 = 0 ; B 3x − 2y − 17 = 0 ; C 3x + 2y − 13 = 0 ; D 2x + 3y − 13 = 0.
10. (6 puncte) Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei sin x + cos3 x = cos x + sin3 x este
A { kπ
4
∣
∣k ∈ Z} ;
B { π
2 + kπ∣
∣k ∈ Z} ∪ { π
4 + kπ∣
∣k ∈ Z} ;
C { kπ
2
∣
∣k ∈ Z} ∪ { π
4 + kπ∣
∣k ∈ Z} ;
D { kπ
2
∣
∣k ∈ Z} ∪ { π
4 + 2kπ∣
∣k ∈ Z}.
PARTEA B
1. (10 puncte) Se consider˘a inelul (Z[√2], +, ·), unde Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}. Pentru
orice x = a + b√2 ∈ Z[√2], se noteaz˘a ¯x = a − b√2. Fie funct¸ia f : Z[√2] → Z definit˘a prin
f (x) = x · ¯x.
(a) S˘a se arate c˘a f (x1 · x2) = f (x1) · f (x2) pentru orice x1, x2 ∈ Z[√2].
(b) S˘a se arate c˘a dac˘a x ∈ Z[√2] este inversabil, atunci f (x) ∈ {−1, 1}.
(c) Este inelul (Z[√2], +, ·) corp? Justificare.
2. (10 puncte) S˘a se determine asimptotele funct¸iei f : R → R definite prin
f (x) = x2 − 3x
√x2 + 1 .
3. (10 puncte) ˆIntr-un patrulater convex ABCD fie E ¸si F mijloacele diagonalelor [AC] ¸si
respectiv [BD]. Dac˘a 4−−→
EF = −−→
AD − −−→
BC, atunci s˘a se demonstreze c˘a patrulaterul ABCD este
un paralelogram.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3,5 ore.

Subiect · pagina 3

R˘aspunsuri ¸si solut¸ii
PARTEA A
R˘aspunsuri la probleme:
1. A D ; 2. A ; 3. B D ; 4. D ; 5. B C ;
6. A C D ; 7. B C ; 8. A ; 9. D ; 10. C .
Solut¸ii la probleme:
1. Ecuat¸ia f (x) = 0 nu are nicio solut¸ie real˘a ⇔ ∆ = 4(a−1)2 −4(a−1) = 4(a−1)(a−2) < 0
⇔ a ∈ (1, 2).
2. Termenul general al dezvolt˘arii este
Tk+1 = Ck
19
√319−k 3
√3k = Ck
193 19−k
2 3 k
3 , k ∈ {0, . . . , 19}.
Atunci Tk+1 este rat¸ional ⇔ k ∈ {0, . . . , 19}, 3|k ¸si 2|(19 − k) ⇔ k ∈ {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} ¸si
2|(19 − k) ⇔ k ∈ {3, 9, 15}. Deci num˘arul termenilor rat¸ionali ai dezvolt˘arii este 3.
3. Notˆand cu A matricea sistemului, avem det(A) = (a − 1)2. Deci det(A) = 0 dac˘a ¸si numai
dac˘a a = 1. Distingem urm˘atoarele dou˘a cazuri:
• Dac˘a a = 1, atunci sistemul este echivalent cu ecuat¸ia x + y + z = 1, deci are o infinitate
de solut¸ii.
• Dac˘a a 6 = 1, atunci sistemul are o singur˘a solut¸ie. Avem ∆y =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1
1 1 1
1 a 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = −(a − 1)2, deci
y = ∆y
det(A) = −1 nu depinde de a.
4. Din relat¸iile lui Vi`ete, x1 + x2 + x3 = −2, x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3 ¸si x1x2x3 = −4. Deci
a = 1
x2
1
+ 1
x2
2
+ 1
x2
3
= x2
2x2
3 + x2
1x2
3 + x2
1x2
2
(x1x2x3)2
= (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 − 2x2
1x2x3 − 2x1x2
2x3 − 2x1x2x2
3
(x1x2x3)2
= (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 − 2x1x2x3(x1 + x2 + x3)
(x1x2x3)2 = − 7
16 .
5. Aplicˆand regula lui l’Hˆopital, avem
lim
x→∞ x(π − 2arctg x) = lim
x→∞
π − 2arctg x
1
x
= lim
x→∞
2x2
x2 + 1 = 2.
6. Dac˘a x ∈ (−1, 1), atunci lim
n→∞ xn = 0, deci f (x) = x. Evident f (1) = 1. Dac˘a |x| > 1,
atunci
f (x) = lim
n→∞
xn + x
x2n + 1 = lim
n→∞
1 + x
xn
xn (1 + 1
x2n
) = 0.
Prin urmare
f (x) =



0, dac˘a x < −1
x, dac˘a − 1 < x ≤ 1
0, dac˘a x > 1.

Subiect · pagina 4

7. Funct¸ia f este continu˘a pe (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ¸si derivabil˘a pe (−∞, −1) ∪ (1, ∞). Pentru
orice x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) avem
f ′(x) = 2√x2 − 1 + x(2x − 7)
√x2 − 1 = 4x2 − 7x − 2
√x2 − 1 .
R˘ad˘acinile ecuat¸iei f ′(x) = 0 sunt −1/4 ¸si 2, iar tabelul care sintetizeaz˘a variat¸ia lui f este
prezentat mai jos.
x −∞ −1 1 2 +∞
f ′(x) + + + | | | | − − 0 + + +
f (x) ↗ ↗ ↗ 0 | | 0 ↘ ↘ −3√3 ↗ ↗ ↗
Din tabel rezult˘a c˘a −1 ¸si 1 sunt puncte de maxim local pentru f , ˆın timp ce 2 este punct de
minim local pentru f . De asemenea, din tabel rezult˘a c˘a f este strict cresc˘atoare pe (−∞, −1],
dar nu este strict cresc˘atoare pe (−∞, −1] ∪ [2, ∞).
8. Avem
∫ π/2
0
cos x · ln(1 + cos x) dx =
∫ π/2
0
(sin x)′ ln(1 + cos x) dx
= sin x ln(1 + cos x)
∣
∣
∣π/2
0 +
∫ π/2
0
sin2 x
1 + cos x dx =
∫ π/2
0
1 − cos2 x
1 + cos x dx
=
∫ π/2
0
(1 − cos x) dx = (x − sin x)
∣
∣
∣π/2
0 = π
2 − 1.
9. Panta dreptei OA este mOA = 3
2 , deci panta dreptei d este md = −1
mOA = − 2
3 . Astfel
ecuat¸ia dreptei d este d : y − 3 = − 2
3 (x − 2), adic˘a d : 2x + 3y − 13 = 0.
10. Solut¸ia 1. Avem:
sin x + cos3 x = cos x + sin3 x ⇔ cos3 x − sin3 x = cos x − sin x ⇔
⇔ (cos x − sin x)(cos2 x + cos x sin x + sin2 x) = cos x − sin x ⇔
⇔ (cos x − sin x)(1 + cos x sin x) = cos x − sin x ⇔
⇔ (cos x − sin x) cos x sin x = 0.
Cazul I. cos x − sin x = 0 ⇔ cos x = sin x ⇔ x ∈ { π
4 + kπ|k ∈ Z}.
Cazul II. cos x sin x = 0 ⇔ x ∈ { kπ
2 |k ∈ Z}.
Deci mult¸imea solut¸iilor este M = { kπ
2
∣
∣k ∈ Z} ∪ { π
4 + kπ∣
∣k ∈ Z}.
Solut¸ia 2. Avem:
sin x + cos3 x = cos x + sin3 x ⇔ sin x(1 − sin2 x) = cos x(1 − cos2 x) ⇔
⇔ sin x cos2 x = cos x sin2 x ⇔ sin x cos x(cos x − sin x) = 0.
Mult¸imea solut¸iilor se obt¸ine ca mai sus.

Subiect · pagina 5

PARTEA B
Solut¸ii la probleme ¸si barem:
1. (a) (3 puncte) Pentru orice x1, x2 ∈ Z[√2], avem
f (x1 · x2) = (x1 · x2) · (x1 · x2) = (x1 · x2) · (x1 · x2) = (x1 · x1) · (x2 · x2) = f (x1) · f (x2),
deoarece ˆınmult¸irea elementelor din Z[√2] este comutativ˘a.
(b) (1 punct) Deoarece x ∈ Z[√2] este inversabil, exist˘a x′ ∈ Z[√2] astfel ca x · x′ = 1.
(2 puncte) Deci f (x) · f (x′) = f (x · x′) = f (1) = 1 conform pct. (a).
(1 punct) Deoarece f (x) ∈ Z, rezult˘a c˘a f (x) ∈ {−1, 1}.
(c) (3 puncte) De exemplu, fie x = 2 + √2 ∈ Z[√2]. Atunci x 6 = 0 nu este inversabil
conform pct. (b), deoarece f (x) = 2 /∈ {−1, 1}. Deci (Z[√2], +, ·) nu este corp.
2. (0,5 puncte) Deoarece funct¸ia f este continu˘a pe R, ea nu are asimptote verticale.
(0,5+0,5 puncte) Avem
lim
x→∞ f (x) = ∞ ¸si lim
x→−∞ f (x) = ∞,
deci f nu are asimptote orizontale.
Avem
(1,5 puncte) m1 = lim
x→∞
f (x)
x = lim
x→∞
x2 (1 − 3
x
)
x2
√
1 + 1
x2
= 1,
(2 puncte) n1 = lim
x→∞
(f (x) − x) = lim
x→∞
x2 − 3x − x√x2 + 1
√x2 + 1
= lim
x→∞
x
√x2 + 1 lim
x→∞
(x − 3 − √x2 + 1)
= lim
x→∞
x2 − 6x + 9 − x2 − 1
x − 3 + √x2 + 1 = lim
x→∞
x (−6 + 8
x
)
x
(
1 − 3
x +
√
1 + 1
x2
) = −3.
(1 punct) Prin urmare, dreapta y = x − 3 este asimptot˘a oblic˘a spre +∞ la graficul lui f .
De asemenea,
(1 punct) m2 = lim
x→−∞
f (x)
x = lim
x→−∞
x2 (1 − 3
x
)
−x2
√
1 + 1
x2
= −1,
(2 puncte) n2 = lim
x→−∞
(f (x) + x) = lim
x→−∞
x2 − 3x + x√x2 + 1
√x2 + 1
= lim
x→−∞
x
√x2 + 1 lim
x→∞
(x − 3 + √x2 + 1)
= − lim
x→∞
x2 − 6x + 9 − x2 − 1
x − 3 − √x2 + 1 = − lim
x→∞
x (−6 + 8
x
)
x
(
1 − 3
x +
√
1 + 1
x2
) = 3.
(1 punct) Prin urmare, dreapta y = −x + 3 este asimptot˘a oblic˘a spre −∞ la graficul lui f .
Observat¸ie. Stabilirea existent¸ei asimptotelor oblice urmat˘a de concluzia c˘a f nu are asimp-
tote orizontale atrage obt¸inerea punctului aferent calculului limitelor lui f la ±∞.

Subiect · pagina 6

3. Punctul F este mijlocul segmentului [BD], deci −−→
EF = 1
2 (−−→
EB +−−→
ED) (2 puncte). Analog,
punctul E fiind mijlocul lui [AC] avem c˘a −−→
BE = 1
2 (−−→
BA+−−→
BC) (2 puncte) ¸si −−→
DE = 1
2 (−−→
DA+−−→
DC)
(2 puncte).
Astfel −−→
EF = 1
4 (−−→
AB + −−→
CB + −−→
AD + −−→
CD). (1 punct)
Pe de alt˘a parte conform ipotezei
4−−→
EF = −−→
AD − −−→
BC = −−→
AD + −−→
CB.
Deci −−→
AB + −−→
CD = ~0 (1 punct), adic˘a −−→
AB = −−→
DC, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a patrulaterul ABCD este
paralelogram (2 puncte).

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2019Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2019Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2019

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1