Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB, 16 aprilie 2016
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
Varianta III
SUBIECTUL I (30 puncte)
Problema 1. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia √x + 7 + √x − 1 = 4.
Problema 2. Fie f : R → C∗, f (x) = cos(2xπ) + i sin(2xπ).
a) S˘a se arate c˘a f este un morfism de la grupul (R, +) la grupul (C∗, ·).
b) Este f injectiv˘a? Dar surjectiv˘a? Justificat¸i r˘aspunsurile.
c) S˘a se determine x ∈ R pentru care f (x) este o r˘ad˘acin˘a de ordinul 4 a unit˘at¸ii.
d) Sunt izomorfe grupurile (R, +) ¸si (C∗, ·)? Justificat¸i r˘aspunsul.
SUBIECTUL II (30 puncte)
Problema 1. ˆIn planul triunghiului ABC se consider˘a punctele P ¸si Q astfel ˆıncˆat
−−→
P C = 3
2
−−→
BC ¸si −→
AQ = 1
4
−→
AC.
a) Exprimat¸i vectorul −−→
P Q ˆın funct¸ie de vectorii −−→
AB ¸si −→
AC.
b) Demonstrat¸i c˘a punctele P, Q ¸si mijlocul C′ al laturii AB sunt coliniare.
Problema 2. Rezolvat¸i ¸si discutat¸i r˘ad˘acinile ecuat¸iei
(2m − 1) cos 2x − 9 cos x + m − 5 = 0,
dup˘a valorile parametrului real m.
SUBIECTUL III (30 puncte)
Consider˘am funct¸ia f : R → R definit˘a prin
f (x) = |x| · 3
√1 − x2, ∀x ∈ R.
1. Determinat¸i domeniul maxim de derivabilitate al funct¸iei f ¸si calculat¸i f ′.
2. Ar˘atat¸i c˘a
f (x) ≤ 2 1
3 · 3 1
2
5 5
6
, ∀x ∈ R.
3. Calculat¸i f ′′ ¸si determinat¸i punctele de inflexiune ale funct¸iei f.
4. Calculat¸i
1∫
−1
f (x)dx.
5. Determinat¸i
lim
n→∞
1∫
−1
x2nf (x)dx.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Subiect · pagina 2

Barem - Varianta III
SUBIECTUL I (30 puncte)
1. Condit¸iile de existent¸˘a ale radicalilor x + 7 ≥ 0 ¸si x − 1 ≥ 0, adic˘a x ∈ [1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Prin ridicare la p˘atrat, ecuat¸ia devine
x + 7 + x − 1 + 2√(x + 7)(x − 1) = 16 ⇔ √x2 + 6x − 7 = 5 − x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Egalitatea poate avea loc numai dac˘a −x + 5 ≥ 0.
Prin urmare, x ∈ [1, 5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Prin ridicare la p˘atrat, obt¸inem x2 + 6x − 7 = x2 − 10x + 25 ⇔ 16x = 32 ⇔ x = 2. . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Observat¸ie: Indiferent de metoda de rezolvare aleas˘a, ˆın lipsa condit¸iilor care permit p˘astrarea ¸sirului
de echivalent¸e, cele 4 puncte acordate pentru stabilirea acestora se vor acorda dac˘a a fost f˘acut˘a
verificarea solut¸iilor obt¸inute.
2. a) Aplicarea regulii de ˆınmult¸ire a numerelor complexe scrise ˆın form˘a trigonometric˘a ¸si stabilirea
faptului c˘a f (x + y) = f (x) · f (y), ∀x, y ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) f nu este injectiv˘a: f (x + k) = f (x), ∀k ∈ Z∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
f nu este surjectiv˘a deoarece nici un num˘ar complex nenul de modul diferit de 1 nu apart¸ine mult¸imii
f (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
c) [f (x)]4 = 1 ⇔ f (x) ∈ {cos 2kπ
4 + i sin 2kπ
4 | k ∈ Z} ⇔ x ∈ { k
4 | k ∈ Z} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
d) Presupunˆand c˘a ar exista un izomorfism g : R → C∗, ar exista a ∈ R astfel ˆıncˆat g(a) = −1,
prin urmare g(0) = 1 = (−1)2 = [g(a)]2 = g(2a), ceea ce implic˘a 2a = 0, adic˘a a = 0. Dar atunci
1 = g(0) = g(a) = −1, contradict¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
NOT ˘A: Orice alt˘a solut¸ie corect˘a va fi punctat˘a corespunz˘ator.
SUBIECTUL II (30 puncte)
Problema 1
(a) −−→
P Q = − 3
2
−−→
AB + 3
4
−→
AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Varianta vectorial˘a
determinarea vectorului −−→
P C′ = −−−→
AB + 1
2
−→
AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
−−→
P C′ = 2
3
−−→
P Q ¸si concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Varianta cu reciproca teoremei lui Menelaus
calculul rapoartelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Problema 2
obt¸inerea ecuat¸iei 2(2m − 1) cos2 x − 9 cos x − (m + 4) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
obt¸inerea ecuat¸iei 2(2m − 1)t2 − 9t − (m + 4) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
calculul lui ∆ = (4m + 7)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
determinarea r˘ad˘acinilor t1 = − 1
2 ¸si t2 = m+4
2m−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
scrierea solut¸iilor ecuat¸iei init¸iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
discut¸ia solut¸iilor pentru r˘ad˘acina ce depinde de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
discut¸ia cazului m = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
SUBIECTUL III (30 puncte)
1.
obt¸inerea expresiei f ′(x) =



− 3−5x2
3 3
√(1−x2)2 , x < 0, x 6 = −1
3−5x2
3 3
√(1−x2)2 , x > 0, x 6 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
studiul derivabilit˘at¸ii ˆın x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
domeniul maxim de derivabilitate D = (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Subiect · pagina 3

2.
studiul monotoniei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
determinarea punctelor de maxim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
calcularea maximului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
3.
calcularea expresiei pentru f ′′(x) = 2x(5x2−9)
9(1−x2) 3
√(1−x2)2 , pentru x > 0, x 6 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
calcularea expresiei f ′′(x) pentru x < 0, x 6 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
stabilirea punctelor de inflexiune din D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
studiul convexit˘at¸ii ˆın vecin˘atatea punctelor −1, 0, 1 ¸si determinarea punctelor de inflexiune i3 = 1 ¸si
i4 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
4.
calculul integralei I = 3
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6p
5.
majorarea integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
folosirea criteriului major˘arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Deschide documentul original

Barem · 4 pagini

Barem · pagina 1

Solut¸ii - Varianta III
SUBIECTUL I (30 puncte)
1. Varianta 1: Condit¸iile de existent¸˘a ale radicalilor x + 7 ≥ 0 ¸si x − 1 ≥ 0, adic˘a x ∈ [1, ∞). Prin
ridicare la p˘atrat, ecuat¸ia devine x + 7 + x − 1 + 2√(x + 7)(x − 1) = 16 ⇔ √x2 + 6x − 7 = 5 − x.
Egalitatea poate avea loc numai dac˘a −x + 5 ≥ 0. Prin urmare, x ∈ [1, 5]. Prin ridicare la p˘atrat,
obt¸inem x2 + 6x − 7 = x2 − 10x + 25 ⇔ 16x = 32 ⇔ x = 2.
Varianta 2: Condit¸iile de existent¸˘a ale radicalilor x + 7 ≥ 0 ¸si x − 1 ≥ 0, adic˘a x ∈ [1, ∞). Funct¸ia
f : [1, ∞) → R este strict cresc˘atoare (fiind suma a dou˘a funct¸ii strict cresc˘atoare), deci ecuat¸ia poate
avea cel mult o solut¸ie. Pe de alt˘a parte x = 2 este solut¸ie, deci x = 2 este singura solut¸ie.
Observat¸ie: Indiferent de metoda de rezolvare aleas˘a, ˆın lipsa condit¸iilor care permit p˘astrarea
¸sirului de echivalent¸e, cele 4 puncte acordate pentru stabilirea acestora se vor acorda dac˘a a fost
f˘acut˘a verificarea solut¸iilor obt¸inute.
2. a) Folosind regula de ˆınmult¸ire a numerelor complexe scrise ˆın form˘a trigonometric˘a avem
f (x + y) = cos(2(x + y)π) + i sin(2(x + y)π) = (cos(2xπ) + i sin(2xπ)) · (cos(2yπ) + i sin(2yπ)) =
= f (x) · f (y), ∀x, y ∈ R,
deci f este un morfism de grupuri ˆıntre (R, +) ¸si (C∗, ·).
b) f nu este injectiv˘a deoarece f (x + k) = f (x), ∀k ∈ Z∗. f nu este surjectiv˘a deoarece nici un
num˘ar complex nenul de modul diferit de 1 nu apart¸ine mult¸imii f (R).
c) [f (x)]4 = 1 ⇔ f (x) ∈ {cos 2kπ
4 + i sin 2kπ
4 | k ∈ Z} ⇔ x ∈ { k
4 | k ∈ Z}.
d) Presupunˆand c˘a ar exista un izomorfism g : R → C∗, ar exista a ∈ R astfel ˆıncˆat g(a) = −1,
prin urmare g(0) = 1 = (−1)2 = [g(a)]2 = g(2a), ceea ce implic˘a 2a = 0, adic˘a a = 0. Dar atunci
1 = g(0) = g(a) = −1, contradict¸ie.
SUBIECTUL II (30 puncte)
Solut¸ia problemei 1. (a) Avem
−−→
P Q = −−→
P C + −−→
CQ = 3
2
−−→
BC − 3
4
−→
AC = 3
2
(−→
AC − −−→
AB
)
− 3
4
−→
AC = − 3
2
−−→
AB + 3
4
−→
AC
(b) O variant˘a de solut¸ie este s˘a demonstr˘am c˘a vectorii −−→
P C′ ¸si −−→
P Q sunt coliniari. Avem
−−→
P C′ = −−→
P B + −−→
BC′ = 1
2
−−→
BC − 1
2
−−→
AB = 1
2
(−→
AC − −−→
AB
)
− 1
2
−−→
AB = −−−→
AB + 1
2
−→
AC = 2
3
−−→
P Q,
deci cei doi vectori sunt coliniari.
A doua variant˘a a solut¸iei folose¸ste reciproca teoremei lui Menelaus. Este u¸sor de constatat c˘a
AC′
BC′ = −1,
BP
CP = 1
3 ,
iar CQ
AQ = −3.
A¸sadar,
AC′
BC′ · BP
CP · CQ
AQ = 1,
iar din reciproca teoremei lui Menelaus rezult˘a coliniaritatea celor trei puncte.

Barem · pagina 2

Solut¸ia problemei 2. Ecuat¸ia se mai poate scrie
(2m − 1)(2 cos2 x − 1) − 9 cos x + m − 5 = 0
sau
2(2m − 1) cos2 x − 9 cos x − (m + 4) = 0.
Presupunem, mai ˆıntˆai, c˘a m 6 = 1/2.
Punem cos x = t. Ecuat¸ia devine
2(2m − 1)t2 − 9t − (m + 4) = 0.
Discriminantul ecuat¸iei este
∆ = 81 + 8(2m − 1)(m + 4) = 81 + 8(2m2 + 8m − m − 4) = 16m2 + 56m + 49 =
= (4m + 7)2.
R˘ad˘acinile ecuat¸iei sunt
t1 = 9 − 4m − 7
4(2m − 1) = − 1
2 .
t2 = 9 + 4m + 7
4(2m − 1) = m + 4
2m − 1 .
Prima solut¸ie ne conduce la
cos x = − 1
2 ,
de unde
x = ± 2π
3 + 2kπ, k ∈ Z.
A doua solut¸ie ne conduce la
cos x = m + 4
2m − 1 .
Solut¸ia acestei ecuat¸ii este
x = ± arccos m + 4
2m − 1 + 2kπ, k ∈ Z.
Solut¸ia exist˘a dac˘a ¸si numai dac˘a argumentul arccosinusului este ˆıntre −1 ¸si 1, adic˘a dac˘a este verificat˘a
dubla inegalitate
−1 ≤ m + 4
2m − 1 ≤ 1,
adic˘a sistemul de inegalit˘at¸i 


3(m + 1)
2m − 1 ≥ 0
m − 5
2m − 1 ≥ 0
,
ceea ce ne conduce la m ∈ (−∞, −1] ∪ [5, ∞). Dac˘a m nu este ˆın aceast˘a mult¸ime, ecuat¸ia are doar
prima solut¸ie.
Dac˘a m = 1/2, ecuat¸ia se transform˘a ˆın
−9 cos x − 9
2 = 0,
ceea ce ne conduce, din nou, la
cos x = − 1
2 .
ˆIn concluzie pentru orice m ∈ R obt¸inem solut¸ia x = ± 2π
3 + 2kπ, k ∈ Z, iar pentru m ∈ (−∞, −1] ∪
[5, ∞) avem ¸si solut¸ia x = ± arccos m+4
2m−1 + 2kπ, k ∈ Z.

Barem · pagina 3

SUBIECTUL III (30 puncte)
1. f (−x) = f (x), ∀x ∈ R, deci funct¸ia este par˘a ¸si este suficient s˘a studiem propriet˘at¸ile funct¸iei
pe intervalul [0, ∞) ¸si ˆın punctul 0. Pentru x > 0 ¸si x 6 = 1 avem
f ′(x) = 3
√1 − x2 + 1
3 x(1 − x2)− 2
3 (−2x) = 3
√1 − x2 − 2x2
3 3
√(1 − x2)2 = 3 − 5x2
3 3
√(1 − x2)2
¸si lim
x→0
x>0
f ′(x) = 1. f fiind funct¸ie par˘a avem f ′(−x) = −f ′(x) = − 3−5x2
3 3
√(1−x2)2 pentru x > 0, x 6 = 1,
deci lim
x→0
x<0
f ′(x) = −1. ˆIn punctul 0 f nu este derivabil˘a deoarece este continu˘a ˆıntr-o vecin˘atate,
exist˘a f ′ pe aceast˘a vecin˘atate, cu except¸ia punctului x0 = 0 ¸si lim
x→0
x>0
f ′(x) 6 = lim
x→0
x<0
f ′(x) (se
aplic˘a consecint¸a teoremei lui Lagrange). Astfel domeniul maxim de derivabilitate este D =
(−∞, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞) ¸si
f ′(x) =



− 3−5x2
3 3
√(1−x2)2 , x < 0, x 6 = −1
3−5x2
3 3
√(1−x2)2 , x > 0, x 6 = 1
2. Determin˘am intervalele de monotonie pentru x ∈ (0, ∞):
f ′(x) ≤ 0 ⇔ 3 − 5x2 ≤ 0 ⇔ x ∈
[√ 3
5 , 1
)
∪ (1, ∞).
Folosind paritatea funct¸iei obt¸inem c˘a funct¸ia este cresc˘atoare pe
(
−∞, −
√ 3
5
)
, descresc˘atoare
pe
(
−
√ 3
5 , 0
)
¸si cresc˘atoare pe
(
0,
√ 3
5
)
, descresc˘atoare pe
(√ 3
5 , ∞
)
, adic˘a are dou˘a puncte
de maxim ˆın x1 = −
√ 3
5 ¸si x2 =
√ 3
5 . Pe de alt˘a parte
f (x1,2) =
( 3
5
) 1
2
·
( 2
5
) 1
3
= 2 1
3 · 3 1
2
5 5
6
,
deci
f (x) ≤ 2 1
3 · 3 1
2
5 5
6
, ∀x ∈ R.
3. Calcul˘am derivata a doua pentru x > 0, x 6 = 1:
f ′′(x) = −10x 3
√(1 − x2)2 − (3 − 5x2) 2
3 (1 − x2)− 1
3 (−2x)
3 3
√(1 − x2)4 =
= 2x(5x2 − 9)
9(1 − x2) 3
√(1 − x2)2 .
Pentru x < 0, x 6 = −1 obt¸inem
f ′′(x) = f ′′(−x) = − 2x(5x2 − 9)
9(1 − x2) 3
√(1 − x2)2 ,
deci ˆın mult¸imea D obt¸inem punctele de inflexiune i1 = 3√5
5 ¸si i2 = − 3√5
5 . Pe de alt˘a parte
f ′′(x) < 0, pentru x ∈ (0, 1) ¸si f ′′(x) > 0, pentru x ∈
(
1, 3√5
5
)
, deci i3 = 1 este punct de
inflexiune. ˆIn mod analog ¸si i4 = −1 este punct de inflexiune, deci funct¸ia f admite 4 puncte de
inflexiune
{
− 3√5
5 , −1, 1, 3√5
5
}
.

Barem · pagina 4

4. Folosind paritatea funct¸iei avem
1∫
−1
f (x)dx = 2
1∫
0
x 3
√1 − x2dx =
1∫
0
(1 − t) 1
3 dt = − 3
4 (1 − t) 4
3
∣
∣
∣
∣
1
0
= 3
4 .
5. Folosim inegalitatea demonstrat˘a la punctul 2). Not˘am M = 2 1
3 ·3 1
2
5 5
6
. Din inegalitatea
0 ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [−1, 1]
deducem
0 ≤ x2nf (x) ≤ M · x2n, ∀x ∈ [−1, 1]
deci
0 ≤
1∫
−1
x2nf (x)dx ≤ 2M
2n + 1 , ∀n ≥ 1.
Folosind criteriul major˘arii rezult˘a
lim
n→∞
1∫
−1
x2nf (x)dx = 0.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2016 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2016

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1