Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
CONCURS DE ADMITERE, 22 iulie 2016
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) (6 puncte) Cˆate numere naturale de 3 cifre se pot forma astfel ˆıncˆat ˆın fiecare num˘ar toate cifrele
s˘a fie distincte?
2) Fie polinomul f = X4 + αX2 + α +̂ 2 ∈ Z3[X].
a) (8 puncte) S˘a se determine α ∈ Z3 pentru care f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3.
b) (8 puncte) Ar˘atat¸i c˘a polinomul f este reductibil ˆın Z3[X] pentru orice α ∈ Z3.
3) (8 puncte) Demonstrat¸i c˘a propozit¸ia matematic˘a
P (n) : n3 + 5n se divide cu 6
este adev˘arat˘a pentru orice n ∈ N.
SUBIECTUL II (30 puncte)
1) (15 puncte) Se dau dreptele
(d1) : 3x − 4y + 6 = 0 ¸si
(d2) : 4x − 3y − 9 = 0.
Fie M ¸si N punctele ˆın care dreapta de ecuat¸ie y = −x + λ (λ ∈ R) intersecteaz˘a dreptele d1, respectiv
d2. Aflat¸i λ ∈ R astfel ˆıncˆat M N = 5√2.
2) a) (8 puncte) Ar˘atat¸i c˘a
arccos x + arcsin x = π
2 , ∀x ∈ [−1, 1].
b)(7 puncte) Rezolvat¸i ecuat¸ia
arccos x − arcsin x = π
6 .
SUBIECTUL III (30 puncte)
Consider˘am funct¸ia f : D → R, definit˘a prin
f (x) = x
x2 − 3x + 2 , ∀x ∈ D,
unde D ⊂ R este domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei f.
1) (4 puncte) Determinat¸i mult¸imea D.
2) (4 puncte) Calculat¸i f ′(x), dac˘a x ∈ D.
3) (4 puncte) Determinat¸i asimptotele funct¸iei f .
4) (8 puncte) Alc˘atuit¸i tabelul de variat¸ie al funct¸iei f ¸si determinat¸i intervalele de monotonie ale
funct¸iei f.
5) (4 puncte) Determinat¸i constantele A ¸si B astfel ˆıncˆat relat¸ia
f (x) = A
x − 1 + B
x − 2
s˘a fie adev˘arat˘a pentru orice x ∈ D.
6) (6 puncte) Ar˘atat¸i c˘a
5
3∫
4
3
f (x)dx = −3 ln 2.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Subiect · pagina 2

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Barem de corectare pentru proba de MATEMATIC ˘A
a concursului de admitere, 22 iulie 2016
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) Solut¸ia 1:
Fiind nenul˘a, cifra sutelor poate fi aleas˘a ˆın 10 − 1 = 9 moduri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Odat˘a aleas˘a cifra sutelor,
cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 10 − 1 = 9 cifre r˘amase disponibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Odata fixate primele 2 cifre,
r˘amˆan 10 − 2 = 8 posibilit˘at¸i de a alege cifra unit˘at¸ilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
Prin urmare, se pot forma 9 · 9 · 8 = 648 numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Solut¸ia 2:
Fiecare num˘ar de 3 cifre distincte corespunde (bijectiv) unei submult¸imi ordonate cu 3 elemente diferite
(aranjament de 10 luate cˆate 3) care nu are pe 0 prim element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Num˘arul aranjamentelor de 10 luate cˆate 3 este A3
10 = 10 · 9 · 8, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
iar aranjamentele de 10 luate cˆate 3 care ˆıncep cu 0 corespund (bijectiv) perechilor de cifre nenule cu
componentele diferite, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
prin urmare num˘arul lor este A2
9 = 9 · 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Deci num˘arul c˘autat este A3
10 − A2
9 = 10 · 9 · 8 − 9 · 8 = (10 − 1) · 9 · 8 = 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
2) a) f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3 = {̂0,̂ 1,̂ 2} dac˘a ¸si numai dac˘a
f (̂ 0) =̂ 0 sau f (̂1) =̂ 0 sau f (̂2) =̂ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f (̂ 0) =̂ 0 ⇔ α +̂ 2 =̂ 0 ⇔ α = −̂2 =̂ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f (̂ 1) =̂ 1 + α + α +̂ 2 =̂ 2α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f (̂ 2) =̂ 16 +̂ 4α + α +̂ 2 =̂ 1 + α + α +̂ 2 =̂ 2α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Prin urmare, f (̂1) =̂ 0 ¸si f (̂2) =̂ 0 ⇔̂ 2α =̂ 0 ⇔ α =̂ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Concluzie α ∈ {̂0,̂ 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
b) α =̂ 0 ⇒ f = X4 +̂ 2 ⇒ f (̂ 1) =̂ 0 ⇒ f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3 ⇒ f reductibil ˆın Z3[X] . . . . . . . . . . . . . 3 p
α =̂ 1 ⇒ f = X4 + X2 ⇒ f (̂0) =̂ 0 ⇒ f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3 ⇒ f reductibil ˆın Z3[X] . . . . . . . . . . . . . . 3 p
α =̂ 2 ⇒ f = X4 +̂ 2X2 +̂ 1 = (X2 +̂ 1)2 rezult˘a c˘a f este reductibil ˆın Z3[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
3) Solut¸ia 1: Prin induct¸ie matematic˘a.
Etapa verific˘arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Etapa demonstrat¸iei:
Scrierea propozit¸iei P (n + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Demonstrat¸ia propozit¸iei P (n + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Solut¸ia 2: n3 + 5n = n3 − n + 6n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
n3 − n + 6n = (n − 1)n(n + 1) + 6n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
2 ¸si 3 divid pe (n − 1)n(n + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
SUBIECTUL II (30 puncte)
1.
(i) intersect¸ia cu prima dreapt˘a dat˘a: M
( 4λ − 6
7 , 3λ + 6
7
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(ii) intersect¸ia cu a doua dreapt˘a dat˘a: N
( 3λ + 9
7 , 4λ − 9
7
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(iii) distant¸a M N =
√2
7 |λ − 15| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Subiect · pagina 3

(iv) ecuat¸ia M N ≡
√2
7 |λ − 15| = 5√2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(v) solut¸ia λ1 = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(vi) solut¸ia λ2 = −20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
2. a) Solut¸ia 1: Folosind analiza matematic˘a.
f : [−1, 1] → R, f (x) = arccos x + arcsin x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f ′(x) = −1√1−x2 + 1√1−x2 = 0, ∀x ∈ (−1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f (x) = c pe (−1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c = π
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
cazul x = 1 ¸si x = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Solut¸ia 2: Folosind elemente de trigonometrie.
α = arccos x, atunci cos α = x ¸si α ∈ [0, π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
sin ( π
2 − α) = cos α = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
π
2 − α ∈ [− π
2 , π
2
] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
π
2 − α = arcsin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) Adunarea membru cu membru a relat¸iei de la a) cu cea din enunt¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p
ecuat¸ia arccos x = π
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
solut¸ia x = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL III (30 puncte)
1. D = R \ {1, 2} (sau D = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
2. f ′(x) = 1 · (x2 − 3x + 2) − x · (2x − 3)
(x2 − 3x + 2)2 = 2 − x2
(x2 − 3x + 2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
3. y = 0 asimptot˘a orizontal˘a la ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x = 1 asimptot˘a vertical˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x = 2 asimptot˘a vertical˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
4. Realizarea tabelului de variat¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 p
f este descresc˘atoare pe intervalele (−∞, −√2], [√2, 2) respectiv (2, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f este cresc˘atoare pe intervalele [−√2, 1), (1, √2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
5. x
x2 − 3x + 2 = A(x − 2) + B(x − 1)
(x − 1)(x − 2) = (A + B)x − 2A − B
x2 − 3x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
−2A = B ¸si A + B = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
A = −1 ¸si B = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
6. I =
5
3∫
4
3
f (x)dx =
5
3∫
4
3
( −1
x − 1 + 2
x − 2
)
dx = −
5
3∫
4
3
1
x − 1 dx + 2
5
3∫
4
3
1
x − 2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
I = − ln(x − 1)∣
∣ 5
3
4
3
+ 2 ln(2 − x)∣
∣ 5
3
4
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
I = − ln 2
3 + ln 1
3 + 2 ln 1
3 − 2 ln 2
3 = 3 (ln 1
3 − ln 2
3
) = 3 ln 1
2 = −3 ln 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
NOT ˘A: Orice alt˘a solut¸ie corect˘a va fi punctat˘a corespunz˘ator.

Subiect · pagina 4

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
SOLUT¸ II
CONCURS DE ADMITERE, 22 iulie 2016
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) Solut¸ia 1:
Cifrele 0, 1, . . . , 9 sunt ˆın num˘ar de 10. Fiind nenul˘a, cifra sutelor poate fi aleas˘a ˆın 10 − 1 = 9 moduri.
Odat˘a aleas˘a cifra sutelor, cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 10 − 1 = 9 cifre r˘amase disponibile.
Odata fixate primele 2 cifre, r˘amˆan 10 − 2 = 8 posibilit˘at¸i de a alege cifra unit˘at¸ilor. Prin urmare, se
pot forma 9 · 9 · 8 = 648 numere.
Solut¸ia 2:
Fiecare num˘ar de 3 cifre distincte corespunde (bijectiv) unei submult¸imi ordonate cu 3 elemente diferite
(aranjament de 10 luate cˆate 3) care nu are pe 0 prim element. Num˘arul aranjamentelor de 10 luate
cˆate 3 este A3
10 = 10 · 9 · 8, iar aranjamentele de 10 luate cˆate 3 care ˆıncep cu 0 corespund (bijectiv)
perechilor de cifre nenule cu componentele diferite, prin urmare num˘arul lor este A2
9 = 9 · 8. Deci
num˘arul c˘autat este A3
10 − A2
9 = 10 · 9 · 8 − 9 · 8 = (10 − 1) · 9 · 8 = 648.
2) Solut¸ia 1: a) f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3 = {̂0,̂ 1,̂ 2} dac˘a ¸si numai dac˘a f (̂0) =̂ 0 sau f (̂1) =̂ 0 sau f (̂2) =̂ 0.
f (̂0) =̂ 0 ⇔ α +̂ 2 =̂ 0 ⇔ α = −̂2 =̂ 1
f (̂ 1) =̂ 1 + α + α +̂ 2 =̂ 2α
f (̂2) =̂ 16 +̂ 4α + α +̂ 2 =̂ 1 + α + α +̂ 2 =̂ 2α
Prin urmare, f (̂1) =̂ 0 ⇔ f (̂2) =̂ 0 ⇔̂ 2α =̂ 0 ⇔ α =̂ 0, deci α ∈ {̂0,̂ 1}.
b) Dac˘a α ∈ {̂0,̂ 1} atunci f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3, rezult˘a c˘a f este reductibil.
α =̂ 2 ⇒ f = X4 +̂ 2X2 +̂ 1 = (X2 +̂ 1)2 ⇒ f este reductibil ¸si ˆın acest caz.
Solut¸ia 2 (cele dou˘a subpuncte sunt rezolvate simultan):
α ∈ Z3 = {̂ 0,̂ 1,̂ 2}. α =̂ 0 ⇒ f = X4 +̂ 2 ⇒ f (̂1) =̂ 0 ⇒ f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3 ⇒ f reductibil ˆın
Z3[X].
α =̂ 1 ⇒ f = X4 + X2 ⇒ f (̂ 0) =̂ 0 ⇒ f are r˘ad˘acin˘a ˆın Z3 ⇒ f reductibil ˆın Z3[X].
α =̂ 2 ⇒ f = X4 +̂ 2X2 +̂ 1 = (X2 +̂ 1)2 rezult˘a c˘a f este reductibil. ˆIn acest caz, f (̂0) = f (̂1) =
f (̂ 2) =̂ 1 ⇒ f nu are nici o r˘ad˘acin˘a ˆın Z3, deci r˘aspunsul la prima ˆıntrebare este α ∈ {̂0,̂ 1}.
3) Solut¸ia 1:
Pentru n = 0, 6|0 ¸si afirmat¸ia este adev˘arat˘a. Consider˘am n ∈ N ¸si presupunem prin induct¸ie c˘a
6|n3 + 5n.
(n + 1)3 + 5(n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 5n + 5 = (n3 + 5n) + 3n(n + 1) + 6.
2|n(n+1) (fiind produs de numere naturale consecutive) deci 6|3n(n+1). 6|n3 +5n (ipoteza induct¸iei),
6|3n(n + 1), 6|6, deci ¸si suma acestor numere este divizibil cu 6, adic˘a 6|(n3 + 5n) + 3n(n + 1) + 6.
Conform principiului induct¸iei matematice 6|n3 + 5n pentru orice n ∈ N.
Solut¸ia 2:
n3 + 5n = n3 − n + 6n = (n − 1)n(n + 1) + 6n. (n − 1)n(n + 1) se divide cu 6 deoarece printre 3 numere
consecutive exist˘a unul divizibil cu 3, unul divizibil cu 2 ¸si 2 este relativ prim cu 3, deci produsul
(n − 1)n(n + 1) se divide cu 2 · 3 = 6. 6n este divizibil cu 6, deci suma (n − 1)n(n + 1) + 6n = n3 + 5n
se divide cu 6.

Subiect · pagina 5

SUBIECTUL II (30 puncte)
1. Dac˘a intersect˘am dreapta de ecuat¸ie y = −x+λ cu prima dreapt˘a din problem˘a, obt¸inem sistemul
{
3x − 4y + 6 = 0
y = −x + λ
cu solut¸ia M
( 4λ − 6
7 , 3λ + 6
7
)
. Dac˘a intersect˘am dreapta de ecuat¸ie y = −x + λ cu a doua dreapt˘a
din enunt¸, obt¸inem sistemul {
4x − 3y − 9 = 0
y = −x + λ
cu solut¸ia N
( 3λ + 9
7 , 4λ − 9
7
)
. Distant¸a dintre punctele M ¸si N este dat˘a de lungimea vectorului
−−→
M N
( −λ + 15
7 , λ − 15
7
)
= λ − 15
7 (−1, 1). Prin urmare, distant¸a dintre cele dou˘a puncte este
M N =
√2
7 |λ − 15|.
Avem, prin urmare, de rezolvat ecuat¸ia
|λ − 15| = 35,
ceea ce ne conduce la λ1 = 50 ¸si λ2 = −20.
2. a) Consider˘am funct¸ia f : [−1, 1] → R, f (x) = arccos x + arcsin x. f este derivabil˘a pe (−1, 1) ¸si
f ′(x) = −1
√1 − x2 + 1
√1 − x2 = 0,
deci funct¸ia este constant˘a pe (−1, 1). f (0) = π
2 , deci f (x) = π
2 , pentru orice x ∈ (−1, 1). Pentru x = 1
avem f (1) = arccos 1+arcsin 1 = 0+ π
2 = π
2 ¸si pentru x = −1, avem f (−1) = arccos(−1)+arcsin(−1) =
π − π
2 = π
2 . Astfel f (x) = π
2 , ∀x ∈ [−1, 1].
Solut¸ia 2: Dac˘a not˘am α = arccos x, atunci cos α = x ¸si α ∈ [0, π]. Astfel
sin
( π
2 − α
)
= cos α = x
¸si din relat¸ia α ∈ [0, π] rezult˘a π
2 − α ∈
[
− π
2 , π
2
]
,
deci aplicˆand arcsin ˆın ambii membri ai egalit˘at¸ii precedente obt¸inem π
2 −α = arcsin x, adic˘a egalitatea
dorit˘a.
b) Dac˘a adun˘am membru cu membru a relat¸ia de la a) cu cea din enunt¸ obt¸inem ecuat¸ia
2 arccos x = 2π
3 ,
adic˘a
arccos x = π
3 ,
de unde rezult˘a solut¸ia x = 1
2 .

Subiect · pagina 6

SUBIECTUL III (30 puncte)
Solut¸ie. 1. Pentru ca funct¸ia f s˘a fie corect definit˘a f (x) trebuie s˘a aib˘a sens ¸si s˘a fie un num˘ar
real pentru orice x ∈ D. Fract¸ia x
x2 − 3x + 2 are sens pentru toate valorile reale x pentru care
x2 − 3x + 2 6 = 0. Solut¸iile ecuat¸iei x2 − 3x + 2 = 0 sunt x1 = 1 ¸si x2 = 2 (∆ = 32 − 4 · 2 = 1 ¸si
x1,2 = 3±1
2 ), deci D = R \ {1, 2} (sau D = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞)).
2. Dac˘a x ∈ R \ {1, 2}, atunci pentru a calcula f ′(x) se poate aplica formula de derivare a unei
fract¸ii ¸si astfel obt¸inem
f ′(x) = 1 · (x2 − 3x + 2) − x · (2x − 3)
(x2 − 3x + 2)2 = 2 − x2
(x2 − 3x + 2)2
3. lim
x→±∞ f (x) = lim
x→±∞
x
x2−3x+2 = 0, deoarece la numitor avem o funct¸ie polinomial˘a de grad 2 pe
cˆand la num˘ar˘ator o funct¸ie polinomial˘a de grad 1.
lim
x→1
x<1
f (x) = lim
x→1
x<1
x
(x − 1)(x − 2) = 1
0+ = +∞,
lim
x→1
x>1
f (x) = lim
x→1
x>1
x
(x − 1)(x − 2) = 1
0− = −∞,
lim
x→2
x<2
f (x) = lim
x→2
x<2
x
(x − 1)(x − 2) = 1
0− = −∞,
lim
x→2
x>2
f (x) = lim
x→2
x>2
x
(x − 1)(x − 2) = 1
0+ = +∞,
deci x = 1 ¸si x = 2 sunt asimptote verticale ¸si y = 0 este asimptot˘a orizontal˘a spre ±∞.
4. Alc˘atuim tabelul de variat¸ie folosind prima derivat˘a.
x −∞ −√2 1 √2 2 ∞
2 − x2 − − 0 + + + 0 − − − −
(x2 − 3x + 2)2 + + + + 0 + + + 0 + +
f ′(x) − − 0 + | + 0 − | − −
f (x) 0 ↘ −3 + 2√2 ↗ +∞|−∞ ↗ −3 + 2√2 ↘ −∞|+∞ ↘ 0
f (√2) =
√2
4 − 3√2 =
√2(4 + 3√2)
−2 = − 1
2 (6 + 4√2) = −(3 + 2√2) = −(1 + √2)2,
f (−√2) = −√2
4 + 3√2 = −3 + 2√2.
Folosind tabelul de variat¸ie deducem c˘a funct¸ia f este descresc˘atoare pe intervalele (−∞, −√2],
[√2, 2) respectiv (2, ∞) ¸si este cresc˘atoare pe intervalele [−√2, 1), (1, √2].
5. Prin aducere la numitor comun ˆın membrul drept obt¸inem
x
x2 − 3x + 2 = A(x − 2) + B(x − 1)
(x − 1)(x − 2) = (A + B)x − 2A − B
x2 − 3x + 2 ,
deci x = (A + B)x − 2A − B, ∀x ∈ R \ {1, 2}. Pentru x = 0 obt¸inem −2A = B ¸si pentru
x ∈ R \ {0, 1, 2} deducem A + B = 1. Rezolvˆand sistemul format din cele dou˘a ecuat¸ii obt¸inute
pentru A ¸si B, obt¸inem A = −1 ¸si B = 2, deci
f (x) = −1
x − 1 + 2
x − 2 , ∀x ∈ D.

Subiect · pagina 7

Observat¸ie. Argumentarea, sau modul de calcul poate fi diferit, constantele se pot obt¸ine
ˆınmult¸ind cu (x − 1), respectiv (x − 2) ¸si trecˆand la limit˘a ˆın relat¸iile obct¸inute (x → 1, respectiv
x → 2), sau pur ¸si simplu observˆand descompunerea x = 2(x − 1) − (x − 2), etc.
6. Folosind rezultatul precedent ¸si faptul c˘a { 4
3 , 5
3
} ⊂ (1, 2), obt¸inem
5
3∫
4
3
f (x)dx =
5
3∫
4
3
( −1
x − 1 + 2
x − 2
)
dx = −
5
3∫
4
3
1
x − 1 dx + 2
5
3∫
4
3
1
x − 2 dx =
= − ln(x − 1)
∣
∣
∣
5
3
4
3
+ 2 ln(2 − x)
∣
∣
∣
5
3
4
3
= − ln 2
3 + ln 1
3 + 2 ln 1
3 − 2 ln 2
3 = 3
(
ln 1
3 − ln 2
3
)
=
= 3 ln 1
2 = −3 ln 2.

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Matematică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2016 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2016

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1