Pregătire cu un profesor

Universitatea din Bucure¸sti 19.07.2019
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2019
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
I. Algebr˘a. Consider˘am polinomul P (X) = (X + i)12 + (X − i)12.
(a) Calculat¸i P (0).
(b) Ar˘atat¸i c˘a suma p˘atratelor r˘ad˘acinilor polinomului P este 132.
(c) Demonstrat¸i c˘a num˘arul ctg( π
24 ) este o r˘ad˘acin˘a a lui P .
(d) Demonstrat¸i c˘a toate r˘ad˘acinile polinomului P sunt reale.
(e) Fie Q = (X + i)12 + m(X − i)12, unde m este un num˘ar complex. Demonstrat¸i c˘a polinomul
Q are (cel put¸in) o r˘ad˘acin˘a real˘a dac˘a ¸si numai dac˘a |m| = 1.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia
f : R → R, f (x) =



sin x
x , x 6 = 0
1, x = 0.
(a) Calculat¸i f (π
2 ) + f (π).
(b) Demonstrat¸i c˘a f este derivabil˘a pe R ¸si determinat¸i asimptotele la graficul funct¸iei f .
(c) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f are exact 3 puncte de extrem local ˆın intervalul (−2π, 2π).
(d) Calculat¸i
∫ π
0
x3f 2(x)dx.
(e) Pentru orice num˘ar natural n ≥ 1, not˘am In =
∫ 2(n+1)π
2nπ
f (x)dx. Demonstrat¸i c˘a ¸sirul (In)n
este strict monoton ¸si calculat¸i lim
n→∞ In.
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy fie punctele A(1, 1), B(−1, 3), C(−a − 1, a + 5),
D(−a + 1, a + 3), unde a ∈ R este un parametru.
(a) Ar˘atat¸i c˘a, pentru orice valoare a parametrului a, punctele C ¸si D se afl˘a pe dreapta de ecuat¸ie
x + y − 4 = 0.
(b) Demonstrat¸i c˘a pentru orice valoare a lui a, punctele A, B, C, D determin˘a un paralelogram ¸si
calculat¸i aria acestuia.
(c) Fie a = 0. Consider˘am B′ simetricul lui B ˆın raport cu C ¸si punctele M ¸si N astfel ca
−→
AM = 1
2
−→
AC, −→
AN = λ −→
AB (λ ∈ R). Determinat¸i λ astfel ˆıncˆat vectorii −→
M N ¸si −→
M B′ s˘a fie
coliniari.
(d) Fie a = 0. Not˘am cu A1 proiect¸ia lui A pe CD ¸si cu C1 proiect¸ia lui C pe AB. Demonstrat¸i c˘a
dreptele A1C1, AC ¸si BD au un punct comun. Justificat¸i dac˘a proprietatea r˘amˆane valabil˘a
pentru o valoare oarecare a lui a.
(e) Pentru ce valoare a lui a perimetrul paralelogramului ABCD este minim? Justificat¸i!
Subiectul de Informatic˘a se g˘ase¸ste pe verso.

Subiect · pagina 2

IV. Informatică
Fie v un tablou unidimensional format din n numere naturale nenule (n  2). Singura operație permisă asupra
unui element al tabloului v constă în înlocuirea sa cu cel mai mare divizor comun dintre el și vecinul său din
stânga sau vecinul său din dreapta, oricare dintre aceştia există. Scrieți un program care primește la intrare
numărul n și cele n elemente ale tabloului v, iar apoi determină și afișează numărul minim de înlocuiri de tipul
precizat, necesare pentru ca toate elementele tabloului să devină egale cu 1 sau mesajul “Imposibil” în cazul în
care acest lucru nu se poate realiza.
Exemple:
Date de intrare Date de ieșire Observații
n = 5
v = (2, 6, 3, 1, 5)
4 Numărul minim de operații de înlocuire necesare este 4 și se poate
obține, de exemplu, astfel:
 înlocuim 3 cu cmmdc(3,1)=1, deci v = (2, 6, 1, 1, 5)
 înlocuim 6 cu cmmdc(6,1)=1, deci v = (2, 1, 1, 1, 5)
 înlocuim 2 cu cmmdc(2,1)=1, deci v = (1, 1, 1, 1, 5)
 înlocuim 5 cu cmmdc(5,1)=1, deci v = (1, 1, 1, 1, 1)
n = 5
v = (3, 15, 5, 5, 10)
6 Numărul minim de operații de înlocuire necesare este 6 și se poate
obține, de exemplu, astfel:
 înlocuim 15 cu cmmdc(3,15)=3, deci v = (3, 3, 5, 5, 10)
 înlocuim al doilea 3 cu cmmdc(3,5)=1, deci v = (3, 1, 5, 5, 10)
 înlocuim primul 5 cu cmmdc(1,5)=1, deci v = (3, 1, 1, 5, 10)
 înlocuim 5 cu cmmdc(1,5)=1, deci v = (3, 1, 1, 1, 10)
 înlocuim 10 cu cmmdc(1,10)=1, deci v = (3, 1, 1, 1, 1)
 înlocuim 3 cu cmmdc(3,1)=1, deci v = (1, 1, 1, 1, 1)
Note:
1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu (Pascal, C sau C++).
Pentru fiecare soluție se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit și ale implementării sale sub
formă de program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive și a instrucțiunilor
condiționale.
2. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales și funcții din biblioteci
pentru citirea și scrierea datelor.
3. Citirea datelor se poate face de la tastatură sau dintr-un fișier text. Afișarea se va face doar pe monitor.
4. Se va considera că datele de intrare ale programelor sunt oricât de mari, dar fără̆ a pune probleme de
reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard.
Timp total de lucru: 3 ore

Deschide documentul original

Barem · 2 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 19.07.2019
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2019
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul lui P (0) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) s1 = 0, s2 = −66 (relat¸iile lui Vi`ete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul sumei p˘atratelor = 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Utilizarea sau enunt¸area formulei lui Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(Punctajul se poate acorda integral dac˘a la d) sunt determinate efectiv toate r˘ad˘acinile,
iar una dintre acestea este scris˘a ˆın forma ctg( π
24 ) )
(d) Observat¸ia c˘a numerele ctg (2k+1)π
24 , k = 0, 1, . . . , 11 sunt r˘ad˘acini ale lui P , sau scrierea
ecuat¸iei P = 0 ˆın forma echivalent˘a (X+i
X−i
)12 = −1, sau observat¸ia c˘a, pentru o r˘ad˘acin˘a
x, avem |x + i| = |x − i| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrat¸ia faptului c˘a polinomul are toate r˘ad˘acinile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(e) Implicat¸ia direct˘a (dac˘a are o r˘ad˘acin˘a real˘a, atunci |m| = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Implicat¸ia invers˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(a) Suma = 2
π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Calculul derivatei ˆın 0 (f ′(0) = 0), folosind definit¸ia sau teorema Lagrange . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Argumentarea faptului c˘a f este derivabil˘a pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul limitelor funct¸iei la ±∞ (egale cu 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Concluzia (dreapta de ecuat¸ie y = 0 este asimptot˘a orizontal˘a spre ±∞; nu exist˘a
asimptote verticale sau oblice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(c) Calculul derivatei f ′(x) =
{ x cos x−sin x
x2 , x 6 = 0
0, x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(Acest punctaj se acord˘a ¸si ˆın cazul ˆın care derivata a fost deja calculat˘a explicit la b))
Studiul ecuat¸iei f ′(x) = 0 pe intervalul (−2π, 2π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(d) Enunt¸area / utilizarea metodei de integrare prin p˘art¸i, sau a metodei de schimbare de
variabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul integralei (= π2
4 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(e) Demonstrarea monotoniei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul limitei (= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
1

Barem · pagina 2

2
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Verificarea condit¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(b) Verificarea propriet˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Aria paralelogramului este egal˘a cu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Coordonatele punctelor B′(−1, 7), M (0, 3), N (1 − 2λ, 1 + 2λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Scrierea ¸si prelucrarea unei condit¸ii de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Finalizarea λ = 1
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(d) Coordonatele punctelor A1(2, 2), C1(−2, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Dreptele au un punct comun (M (0, 3)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Justificarea faptului c˘a proprietatea este valabil˘a pentru orice a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(e) Formularea ¸si justificarea unei condit¸ii de minim (patrulaterul este dreptunghi /
expresia a2 + 2a + 2 trebuie s˘a aib˘a valoarea minim˘a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizarea a = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
IV. Informatic˘a.
Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Citirea datelor de intrare ¸si afi¸area rezultatului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul cmmdc-ului a dou˘a numere naturale nenule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Rezolvarea cazului ˆın care tabloul cont¸ine cel put¸in un element egal cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Rezolvarea cazului ˆın care tabloul cont¸ine cel put¸in o pereche de elemente avˆand
cmmdc-ul egal cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Rezolvarea cazului ˆın care tabloul cont¸ine cel put¸in o secvent¸˘a format˘a din minim
3 elemente avˆand cmmdc-ul egal cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Rezolvarea cazului ˆın care problema nu are solut¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2019Informatică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2019

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Subiect · pagina 2

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?