Pregătire cu un profesor

Universitatea din Bucure¸sti 18.07.2019
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2019
Domeniul de licent¸˘a – Informatic˘a
I. Algebr˘a. A¸sez˘am succesiv toate numerele naturale impare ˆıntr-un triunghi, astfel:
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
...............................
(A¸sezarea numerelor continu˘a ˆın mod analog. ˆIn aceast˘a a¸sezare, linia a treia a triunghiului este deci
cea care cont¸ine numerele 7, 9 ¸si 11.)
(a) Cu ce num˘ar ˆıncepe a 15-a linie a triunghiului?
(b) Pe ce linie a triunghiului se afl˘a num˘arul 501?
(c) Ar˘atat¸i c˘a, pentru orice n ≥ 1, suma tuturor numerelor de pe linia n a triunghiului este cub
perfect.
(d) Demonstrat¸i c˘a, oricum am alege dou˘a numere diferite de pe o aceea¸si linie a triunghiului de
mai sus, ele nu se divid unul pe cel˘alalt.
(e) Polinomul P are grad m (unde m ≥ 1), iar coeficient¸ii s˘ai sunt (ˆıntr-o ordine oarecare) toate
numerele din linia m + 1 a triunghiului de mai sus. Demonstrat¸i c˘a, dac˘a t este o r˘ad˘acin˘a
ˆıntreag˘a a polinomului P , atunci t = −1.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = | ln x|
x .
(a) Comparat¸i numerele f (e) ¸si f (e2).
(b) Determinat¸i punctele din intervalul (0, ∞) ˆın care funct¸ia f nu este derivabil˘a ¸si stabilit¸i
intervalele de convexitate ¸si intervalele de concavitate ale funct¸iei f .
(c) Discutat¸i, ˆın funct¸ie de valoarea parametrului m ∈ R, num˘arul de solut¸ii reale ale ecuat¸iei
f (x) = m.
(d) Calculat¸i
∫ e
1
(f (x))2dx.
(e) Fie P ∈ R[X] un polinom de grad n, cu n ≥ 2. S¸tim c˘a mult¸imea solut¸iilor reale ale ecuat¸iei
P (f (x)) = 0 are exact 3n − 1 elemente. Demonstrat¸i c˘a P (−1) · P ′(1
e ) 6 = 0.
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 5), B(−1, −1), C(7, 3) ¸si
dreapta d de ecuat¸ie d : x − 2y − 6 = 0. Fie punctele B′ ¸si C′ date de {B′} = BA ∩ d ¸si {C′} = CA ∩ d.
(a) Demonstrat¸i c˘a dreptele BC ¸si d sunt paralele.
(b) Ar˘atat¸i c˘a triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.
(c) Determinat¸i numerele reale α ¸si β pentru care are loc relat¸ia −→
B′C′= α −→
AB +β −→
AC.
(d) Ar˘atat¸i c˘a triunghiurile B′BC ¸si C′CB au arii egale.
(e) Fie δ o dreapt˘a arbitrar˘a din plan care nu coincide cu niciuna dintre dreptele AB, AC, BC, B′C′,
B′C, BC′. Consider˘am mult¸imea Mδ a punctelor de intersect¸ie dintre δ ¸si cele ¸sase drepte
enumerate. Justificat¸i care este num˘arul maxim posibil ¸si care este num˘arul minim posibil de
elemente ale lui Mδ.
Subiectul de Informatic˘a se g˘ase¸ste pe verso.

Subiect · pagina 2

IV. Informatică
Suntem în anul 2050. Resursele de apă de pe planeta noastră sunt limitate din cauza schimbărilor climatice. Ca
aspirant la statutul de membru FMI (Formațiunea pentru Mediu Înconjurător) prima voastră sarcină este de a
rezolva două probleme de distribuire a resurselor de apă către principalele orașe ale planetei.
a. Prima problemă pe care trebuie să o rezolvați este determinarea capacității maxime de stocare a apei a unui oraș.
Sistemul de stocare al unui oraș a evoluat în timp, ajungându-se la o configurație flexibilă formată din n pereţi
verticali paraleli p1, p2, ..., pn. Fiecare perete pi are forma unui dreptunghi cu înălțimea ai şi lăţimea de 1 km, iar
oricare doi pereţi alăturaţi pi, pi+1 se află la distanţa de 1 km, faţă în faţă. Fiecare dintre acești pereți poate fi coborât
complet, prin culisare pe verticală, iar un bazin poate fi format din oricare doi pereți pi, pj (rămaşi după coborârea
tuturor celorlalți) şi din pereţi laterali, care întregesc conturul de bazin. Capacitatea unui bazin este dată de produsul
dintre înălţimea peretelui celui mai mic dintre cei doi pi, pj din care este format bazinul şi distanța dintre aceşti doi
pereți. Sistemul de stocare poate fi descris de un șir de numere naturale a1, a2, ..., an strict pozitive, unde a1
reprezintă înălțimea în kilometri a peretelui p1, a2 reprezintă înălțimea în kilometri a peretelui p2 și așa mai departe.
Scrieți un program care primește la intrare numărul de pereți n  2 și înălțimile acestora a1, a2, ..., an, iar apoi
determină și afișează capacitatea maximă de apă care poate fi stocată în acel oraș.
Exemplu:
Date de intrare Date de ieșire Observații
n = 9
a = [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
49 Peretele al doilea de înălțime 8 km și cel de-al nouălea de
înălțime 7 km rămân ridicați (toți ceilalți fiind coborâți), ei
determinând astfel bazinul de capacitate maximă care poate
reține 49 km3 de apă.
b. Pentru ca toți locuitorii unui oraș să supraviețuiască în cazul unei catastrofe, orașul trebuie să aibă o rezervă de
cel puțin 1 km3 de apă. Pentru a face față mai ușor unor catastrofe, orașele pot forma alianțe în care se pot
împrumuta reciproc cu apă. Astfel, într-o alianță formată din h orașe, fiecare oraș trebuie să aibă o rezervă de cel
puțin h km3 de apă (pentru a putea supraviețui toți locuitorii săi și a putea să împrumute cu câte 1 km3 de apă
fiecare dintre celelalte h - 1 orașe aliate). Cea de-a doua problemă a voastră este de a determina cel mai mare
număr de orașe h care se pot alia. Fiind dat numărul m de orașe și un șir de m numere naturale strict pozitive,
notate cu c1, c2, ..., cm, unde fiecare număr ci reprezintă capacitatea maximă de stocare a orașului i, să se determine
numărul maxim de orașe h care pot forma o alianță, adică există cel puțin h orașe care pot reține fiecare o cantitate
de apă cel puțin egală cu h km3. Scrieți un program, cu o complexitate de timp cât mai bună, care primește la
intrare numărul natural m
 1 și șirul de numere c1, c2, ..., cm, după care determină și afișează numărul h. Specificați
și justificați complexitatea algoritmului propus.
Exemplu:
Date de intrare Date de ieșire Observații
m = 5
c = [3, 1, 6, 1, 5]
3 Avem 5 orașe care pot reține cantitățile de apă 3, 1, 6, 1 și 5. Sunt
cel puțin 3 orașe care pot reține o cantitate de apă mai mare sau
egală cu 3, dar nu există 4 orașe care pot reține o cantitate de apă
mai mare sau egală cu 4.
Note:
1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu (Pascal, C sau C++). Pentru
fiecare soluție se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit și ale implementării sale sub formă de
program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive și a instrucțiunilor
condiționale.
2. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales și funcții din biblioteci
pentru citirea și scrierea datelor.
3. Citirea datelor se poate face de la tastatură sau dintr-un fișier text. Afișarea se va face doar pe monitor.
4. Se va considera că datele de intrare ale programelor sunt oricât de mari, dar fără a pune probleme de
reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard.
Timp total de lucru: 3 ore

Deschide documentul original

Barem · 2 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 18.07.2019
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2019
Domeniul de licent¸˘a - Informatic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Scrierea formulei termenului de pe locul n al progresiei aritmetice, sau completarea
urm˘atoarelor linii ale triunghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea termenului cu care ˆıncepe linia 15, adic˘a 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Scrierea condit¸iei n2 − n + 1 ≤ 501 ≤ n2 + n − 1, sau continuarea triunghiului pˆan˘a
se ajunge la 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Explicitarea n = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Formularea unui rezultat sau scrierea formulei pentru suma progresiei aritmetice . . . . . . 0,5 p
Calculul sumei (= n3) ¸si concluzia / demonstrat¸ie prin induct¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(d) Demonstrat¸ia (ˆın care apare, de exemplu, faptul c˘a (n2 + n − 1)/(n2 − n + 1) < 2)
(Pentru analiza doar a unor cazuri particulare, de ex. verificarea propriet˘at¸ii pentru
liniile ce apar scrise, se acord˘a 0,25 p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(e) Num˘arul t este negativ, impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
Gradul m este num˘ar impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
Concluzia problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(a) f (e) = 1
e , f (e2) = 2
e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Concluzia (eventual, bazat˘a pe calculul primei derivate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Calculul f ′
s(1) = −1; f ′
d(1) = +1 (folosind definit¸ia, sau teorema Lagrange) . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Concluzia (f nu e derivabil˘a ˆın 1, dar e derivabil˘a ˆın rest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul f ′′(x) =
{ 3−2 ln x
x3 , x ∈ (0, 1)
2 ln x−3
x3 , x ∈ (1, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Concluzia: f este convex˘a pe intervalele (0, 1] ¸si [e√e, +∞); f este concav˘a pe
intervalul [1, e√e] (se admit la r˘aspunsuri ¸si intervale deschise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(c) Calculul limitelor lui f ˆın 0 ¸si la +∞ (egale cu +∞, respectiv cu 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Discut¸ia: ecuat¸ia nu are solut¸ii pentru m ∈ (−∞, 0); are o solut¸ie pentru
m ∈ {0} ∪ (1
e , +∞); are dou˘a solut¸ii pentru m = 1
e ; are trei solut¸ii pentru m ∈ (0, 1
e ) . . . 1,5 p
(d) Aplicarea / enunt¸area formulei de integrare prin p˘art¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
I = −1
e + 2 ∫ e
1
ln x
x2 dx = 2 − 5
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
1

Barem · pagina 2

2
(e) Ecuat¸ia este echivalent˘a cu ecuat¸iile: f (x) = ai, unde ai sunt r˘ad˘acinile reale ale
polinomului P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
Ecuat¸ia are exact 3n − 1 solut¸ii dac˘a ¸si numai dac˘a P are n r˘ad˘acini reale, distincte,
n − 1 dintre ele ˆın intervalul (0, 1
e ), o r˘ad˘acin˘a =1
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Concluzia (dedus˘a din faptul c˘a P nu are r˘ad˘acina −1, iar 1
e nu poate fi r˘ad˘acin˘a dubl˘a,
deci P ′(1
e ) 6 = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Verificarea condit¸iei de paralelism (prin calculul pantei: ambele drepte au panta 1
2
sau prin scrierea ecuat¸iei dreptei BC : x − 2y − 1 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Triunghiul ABC este isoscel (AB = AC = 2√10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Triunghiul ABC este dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(c) Determinarea coordonatelor punctelor B′(−2, −4) ¸si C′(10, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul α = −3
2 , β = 3
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Enunt¸area / utilizarea unei formule pentru calculul ariei unui triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul ariei (ambele triunghiuri au aria egal˘a cu 10) / demonstrarea egalit˘at¸ii . . . . . . . 1,5 p
(O solut¸ie ˆın care se demonstreaz˘a c˘a triunghiurile sunt congruente ¸si se deduce
c˘a au ariile egale va primi punctaj maxim)
(e) Num˘arul maxim de elemente este 6 (enunt¸are rezultat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,25 p
Num˘arul maxim de elemente este 6 (justificare rezultat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,25 p
Num˘arul minim de elemente este 3 (enunt¸are rezultat / exemplificare) . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
Num˘arul minim de elemente este 3 (justificare rezultat, demonstarea faptului c˘a Mδ
nu poate avea mai put¸in de 3 elemente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Citirea corect˘a a datelor de intrare ¸si afi¸sarea rezultatului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p
Calculul corect a capacit˘at¸ii unui bazin determinat de doi peret¸i verticali . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Determinarea capacit˘at¸ii maxime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p
(b) G˘asirea unei solut¸iei corecte, indiferent de complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
la care se adaug˘a pentru o solut¸ie de complexitate O(m2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p
¸si pentru o solut¸ie de complexitate O(m log m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p
¸si pentru o solut¸ie de complexitate O(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Specificarea ¸si justificarea complexit˘at¸ii solut¸iei prezentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2019 pentru Informatică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Informatică · 2019

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Subiect · pagina 2

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?