Pregătire cu un profesor

Universitatea din Bucure¸sti 15.07.2017
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2017
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
I. Algebr˘a. Fie mult¸imea A = {a + b 3
√2 | a, b ∈ Q} ¸si fie z = 1 + 3
√2. S˘a se arate c˘a:
(a) z3 − 3z2 + 3z = 3.
(b) Toate r˘ad˘acinile reale ale ecuat¸iei x6 − 3x3 + 2 = 0 se g˘asesc ˆın mult¸imea A.
(c) Mult¸imea A este parte stabil˘a ˆın raport cu adunarea numerelor reale ¸si (A, +) este grup abelian.
(d) z2 /∈ A.
II. Analiz˘a. Fie funct¸iile fn : R → R, fn(x) = n
√xn + (1 − x)n, unde n ∈ N, n ≥ 2.
(a) S˘a se determine ecuat¸iile asimptotelor la graficul funct¸iei f2.
(b) S˘a se determine punctele de extrem local ale funct¸iei f3.
(c) S˘a se studieze continuitatea funct¸iei f : R → R, f (x) = lim
n→∞ fn(x).
(d) S˘a se calculeze I =
1∫
0
1
f2(x) dx.
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(a, 0), B(−a, 0), C(0, a) ¸si
D(0, b), unde a, b > 0 ¸si p˘atratul ADEF , cu punctele E ¸si F situate ˆın cadranul I (ambele coordonate
strict pozitive).
(a) Exprimat¸i vectorul −→
OE ˆın funct¸ie de vectorii −→
OA ¸si −→
OD.
(b) Ar˘atat¸i c˘a punctele B, C, E sunt coliniare.
(c) Ar˘atat¸i c˘a ariile triunghiurilor F CO ¸si EBO sunt egale.
IV. Informatic˘a.
Consider˘am triunghiul infinit de mai jos, format din numere naturale:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spunem c˘a perechea de numere (x, y) este adiacent¸˘a dac˘a x ¸si y sunt vecini pe aceea¸si linie sau pe
diagonal˘a, pe linii consecutive. Spre exemplu, (8,9), (12,8) ¸si (8,13) sunt adiacent¸e, dar (8,14) sau
(18,8) nu sunt adiacent¸e.
Numim drum de la x la y de lungime p − 1, cu p ≥ 1, o secvent¸˘a de numere x1 x2 x3 . . . xp, cu
x = x1 ¸si y = xp ¸si cu proprietatea c˘a toate perechile (xi, xi+1), cu i de la 1 la p − 1, sunt adiacent¸e.
Scriet¸i un program, ˆıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ˆın liceu (Pascal,C,C++), care
prime¸ste ca date de intrare 2 numere naturale nenule x ¸si y ¸si afi¸seaz˘a un drum de la x la y de lungime
minim˘a. Spre exemplu, 1 2 5 8 13 este un drum de lungime minim˘a de la 1 la 13.
Not˘a: Se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit ¸si ale implement˘arii sub form˘a de program:
semnificat¸ia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instruct¸iunilor condit¸ionale.
Timp de lucru 3 ore.

Deschide documentul original

Barem · 1 pagină

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 15.07.2017
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2017
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Verificarea egalit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Ecuat¸ia are dou˘a r˘ad˘acini reale: 1, 3
√2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(c) A parte stabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(A, +) - grup abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) z2 /∈ A ⇔ 3
√4 /∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrat¸ia 3
√4 /∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) y = √2x −
√2
2 asimptot˘a oblic˘a spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
y = −√2x +
√2
2 asimptot˘a oblic˘a spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(b) Calculul lui f ′
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x = 1/2 punct de extrem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) f (x) =
{
1 − x x ∈ (−∞, 1/2]
x x ∈ (1/2, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f este continu˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) I = √2 ln(√2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Determinarea coordonatelor punctului E : (b, a + b)
(analitic sau folosind congruent¸e de triunghiuri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Scrierea vectorului −→
OE= b
a
−→
OA + a+b
b
−→
OD (dac˘a au fost determinate mai ˆıntˆai coordonatele lui E) 2p
Dac˘a se obt¸ine scrierea vectorului −→
OE direct prin metode vectoriale se acord˘a 4 puncte
(b) Scrierea condit¸iei de coliniaritate (analitic, vectorial, etc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea coliniarit˘at¸ii (finalizarea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Determinarea coordonatelor punctului F : (a + b, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Calculul ariilor celor dou˘a triunghiuri ¸si demonstrarea egalit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(*) Pentru o solut¸ie care trateaz˘a corect doar cazul particular a = b se acord˘a 7 puncte. Pentru o solut¸ie
care trateaz˘a corect ¸si complet cazul general f˘ar˘a a aminti de cazul particular se va acorda punctajul
maxim. Orice alt˘a solut¸ie complet˘a (transform˘ari geometrice, numere complexe, etc.) va fi notat˘a cu
punctaj maxim.
IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Tratarea celor trei cazuri x < y, x = y, x > y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea nivelului pe care se afl˘a un num˘ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea corect˘a a tuturor vecinilor (adiacent¸elor) unui num˘ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afi¸sarea unui drum corect pentru orice x ¸si y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afi¸sarea unui drum corect minim pentru orice x ¸si y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2017

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Barem · pagina 1

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?