Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Sursa: Facultatea de Matematică și Informatică – UniBuc
Examen de admitere · Informatică · 2017
Facultatea de Matematică și Informatică · UniBuc
Înapoi la arhivăDespre acest subiect
Subiect oficial
Sursa documentelor: Facultatea de Matematică și Informatică – UniBuc. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 2 pagini
Subiect · pagina 1
Universitatea din Bucure¸sti 14.07.2017 Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Concursul de admitere iulie 2017 Domeniul de licent¸˘a – Informatic˘a I. Algebr˘a. Fie matricea A = ( 3 −1 −5 2 ) ∈ M2(R). (a) S˘a se calculeze A2 ¸si A3. (b) S˘a se determine toate matricele X ∈ M2(R) pentru care AX = 2X. (c) S˘a se determine valorile reale ale lui m pentru care exist˘a o matrice nenul˘a B ∈ M2(R) cu AB = mB. (d) Fie n, p ∈ N∗, n 6 = p. S˘a se arate c˘a nu exist˘a λ ∈ R astfel ˆıncˆat An = λAp. II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : R∗ → R, f (x) = arctg 1 x − arcctg 1 x. (a) Studiat¸i monotonia ¸si convexitatea funct¸iei f . (b) Decidet¸i ¸si justificat¸i dac˘a funct¸ia g : R∗ → (−3π 2 , π 2 ), g(x) = f (x) este sau nu este bijectiv˘a. (c) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice n ∈ N∗, ecuat¸ia f (x) = 1 n are o solut¸ie real˘a unic˘a, notat˘a cu xn. Demonstrat¸i c˘a ¸sirul (xn)n∈N∗ este convergent ¸si determinat¸i lim n→∞ xn. (d) S˘a se calculeze aria suprafet¸ei plane cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 1 √3 ¸si x = √3. III. Geometrie. ˆIn sistemul de coordonate xOy se consider˘a punctul M (3, 3) ¸si triunghiul ABC determinat de dreptele AB : x + 2y − 4 = 0, BC : 3x + y − 2 = 0 ¸si CA : x − 3y − 4 = 0. (a) S˘a se calculeze aria triunghiului ABC. (b) Fie P, Q ¸si R proiect¸iile punctului M pe dreptele OA, OB ¸si respectiv AB. S˘a se demonstreze c˘a punctele P, Q ¸si R sunt coliniare. (c) Not˘am cu m num˘arul punctelor din interiorul patrulaterului BCAM care au ambele coordo- nate numere ˆıntregi ¸si cu n num˘arul punctelor de pe reuniunea laturilor patrulaterului BCAM care au ambele coordonate numere ˆıntregi. S˘a se verifice c˘a aria patrulaterului BCAM este m + 1 2 n − 1. Subiectul de Informatic˘a se g˘ase¸ste pe verso.
Subiect · pagina 2
Universitatea din București 14.07.2017 Facultatea de Matematică și Informatică Se tratează 2 subiecte, din care cel de Informatică obligatoriu. Timp total de lucru: 3 ore. IV. Informatică. Fie n un număr natural nenul. Fie v un vector cu n poziții numerotate de la 1 la n și elemente numere naturale diferite, de la 1 la n, într-o ordine oarecare. Pentru i și j numere naturale între 1 și n, numim FLIP(n, v, i, j) operația care inversează ordinea elementelor din v situate pe pozițiile de la i la j. a) Să se scrie în limbaj de programare o procedură (sau funcție) care implementează operația FLIP(n, v, i, j). b) Să se scrie un program care sortează crescător vectorul v, folosind pentru schimbarea ordinii elementelor în v doar operația FLIP(n, v, 1, k), cu k de la 2 la n. c) Considerăm că n este o putere a lui 2 (n = 2m, cu m număr natural nenul) și vectorul v are proprietatea că pentru orice i de la 1 la m și orice j de la 1 la 2m-i, există k de la 1 la 2m-i, astfel încât pe pozițiile din v de la 2i(j-1)+1 la 2ij se află numerele naturale de la 2i(k-1)+1 la 2ik, într-o ordine oarecare. Să se scrie un program care sortează crescător vectorul v, folosind pentru schimbarea ordinii elementelor în v doar operația FLIP(n, v, 2i(j-1)+1, 2ij), cu i de la 1 la m și j de la 1 la 2m-i, printr-un algoritm mai eficient decât cel implementat la punctul b), care se bazează pe proprietatea vectorului v. Exemple: Date de intrare Date de ieșire a) FLIP(9, [3 2 6 8 5 9 1 7 4], 1, 6) v = [9 5 8 6 2 3 1 7 4] FLIP(4, [2 1 4 3], 1, 4) v = [3 4 1 2] FLIP(16, [14 13 15 16 11 12 9 10 2 1 4 3 8 7 6 5], 5, 8) v = [14 13 15 16 10 9 12 11 2 1 4 3 8 7 6 5] b) n = 9 v = [3 2 6 8 5 9 1 7 4] v = [1 2 3 4 5 6 7 8 9] c) n = 4 v = [2 1 4 3] v = [1 2 3 4] n = 16 v = [14 13 15 16 11 12 9 10 2 1 4 3 8 7 6 5] v = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16] Note: 1. Programele vor fi scrise într-unul dintre limbajele de programare studiate în liceu (Pascal,C,C++). La fiecare subpunct a), b), c), se va preciza complexitatea timp, în funcție de n, a soluției implementate și se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit și ale implementării sub formă de program: semnificația variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instrucțiunilor condiționale. 2. Toate operațiile de tip FLIP se vor face în vectorul v, fără a se folosi alți vectori auxiliari. 3. La subpunctul a), datele se transmit ca parametri ai procedurii/funcției FLIP(n, v, i, j). La subpunctele b) și c), se citesc de la tastatură n și v, fiecare pe un rând separat și se afișează vectorul v sortat crescător, pe un singur rând. Se va considera că datele de intrare ale programelor sunt oricât de mari, dar fără a pune probleme de reprezentare în memorie cu ajutorul tipurilor de date standard. 4. Programele vor folosi doar instrucțiunile de bază ale limbajului de programare ales, inclusiv cele de intrare/ieșire, dar nu și alte funcții din biblioteci specializate.
Barem · 2 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea din Bucure¸sti 14.07.2017
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2017
Domeniul de licent˘a - Informatic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul lui A2:
( 14 −5
−25 9
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul lui A3:
( 67 −24
−120 43
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Determinarea matricelor X: O2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(c) Scrierea sistemului care rezult˘a din AB = mB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea lui m: m = 5−√21
2 sau m = 5+√21
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) Demonstrarea faptului c˘a nu exist˘a λ ∈ R cu proprietatea din enunt¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(a) f este descresc˘atoare pe (−∞, 0) ¸si pe (0, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f este concav˘a pe (−∞, 0) ¸si convex˘a pe (0, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Imaginea funct¸iei g este (−3π
2 , π
2
) \ {−π
2
}, deci g nu este bijectiv˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(c) Ecuat¸ia f (x) = 1
n are o solut¸ie unic˘a xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
S¸irul (xn)n∈N∗ este m˘arginit ¸si cresc˘ator, deci convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
lim
n→∞ xn = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Aria este egal˘a cu
1∫
1√3
f (x) dx −
√3∫
1
f (x) dx = π√3
9 + ln 3
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Determinarea coordonatelor punctelor A(4, 0), B(0, 2) ¸si C(1, −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Aria triunghiului ABC este 5 (formula ariei cu determinant sau observˆand c˘a triunghiul ABC
este dreptunghic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Determinarea coordonatelor punctelor Q(0, 3) ¸si P (3, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Punctul R are coordonatele (2, 1) (analitic sau observˆand c˘a R este intersect¸ia diagonalelor
p˘atratului BCAM ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Demonstrarea coliniarit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(c) m = 9, n = 4, patrulaterul BCAM este p˘atrat cu aria egal˘a cu 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
1Barem · pagina 2
2 (*) La punctul (b) solut¸ia ˆın care se folose¸ste teorema lui Simson prime¸ste 4 puncte dac˘a sunt verificate condit¸iile (punctul M se afl˘a pe cercul circumscris triunghiului AOB). La punctul (c) pentru enunt¸area teoremei Pick (f˘ar˘a verificare) se acord˘a 1 p. IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p (a) Folosirea corect˘a a not¸iunii de procedur˘a / funct¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p Implementarea f˘ar˘a vector auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p Corectitudinea solut¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p Complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p (b) Determinarea maximului dintr-un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p Utilizarea FLIP conform cerint¸ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p Corectitudinea solut¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p Complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p (c) Corectitudinea solut¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p Complexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă examen de admitere din 2017 pentru Informatică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.