Pregătire cu un profesor

Universitatea din Bucure¸sti 18.07.2015
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2015
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
I. Algebr˘a. Fie ecuat¸ia (m + 1)x2 − (2m + 1)x − 2m = 0, unde m ∈ R \ {−1}.
(a) Determinat¸i r˘ad˘acinile reale ale ecuat¸iei pentru m = 1.
(b) Determinat¸i valorile parametrului m astfel ˆıncˆat ecuat¸ia s˘a aib˘a toate r˘ad˘acinile reale.
(c) Determinat¸i valorile parametrului m astfel ˆıncˆat x2
1 + x2
2 = −8, unde x1, x2 sunt r˘ad˘acinile complexe
ale ecuat¸iei.
(d) S˘a se determine toate valorile ˆıntregi ale lui m pentru care ambele r˘ad˘acini ale ecuat¸iei sunt ˆıntregi.
II. Analiz˘a. Fie f : R → R, f (x) =



1 − e−x
x , dac˘a x < 0
a dac˘a x = 0
ln(1 + x)
x dac˘a x > 0
, a ∈ R ¸si In =
2∫
1
f (x)
xn dx, ∀ n ∈ N.
(a) Determinat¸i a astfel ˆıncˆat funct¸ia f s˘a fie continu˘a.
(b) Ar˘atat¸i c˘a dac˘a funct¸ia f este continu˘a, atunci ea este ¸si derivabil˘a.
(c) Demonstrat¸i c˘a f (x) ∈ (0, 1), ∀ x > 0.
(d) Ar˘atat¸i c˘a I1 = 3
2 ln 4
3 .
(e) Demonstrat¸i c˘a ¸sirul (In)n∈N este descresc˘ator ¸si c˘a lim
n→∞ In = 0.
III. Geometrie. Consider˘am paralelogramul ABCD.
(a) Fie E un punct cu proprietatea c˘a −→
CE= 2 −→
DE ¸si fie F un punct cu proprietatea c˘a −→
AF = −2 −→
BF .
Determinat¸i x, y ∈ R pentru care −→
EF = x −→
AB +y −→
AC.
(b) Demonstrat¸i c˘a AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2).
(c) Presupunem c˘a exist˘a un punct M pentru care M A2 + M C2 = M B2 + M D2. Demonstrat¸i c˘a, ˆın
acest caz, ABCD este dreptunghi.
IV. Informatic˘a.
(a) S˘a se arate c˘a orice num˘ar natural nenul se poate scrie ˆın mod unic ca o sum˘a de puteri ale lui 2 care
nu se repet˘a (exemplu: 77 = 20 + 22 + 23 + 26).
(b) Numerele naturale de la 1 la 255 se codific˘a astfel:
– puterile lui 2 se reprezint˘a prin literele: a = 1, b = 2, c = 4, d = 8, e = 16, f = 32, g = 64,
h = 128;
– orice alt num˘ar din intervalul ment¸ionat va fi reprezentat ca o combinat¸ie de aceste litere, aranjate
ˆın ordine alfabetic˘a, ˆın care orice liter˘a apare cel mult o singur˘a dat˘a, astfel ˆıncˆat suma valorilor
acestor litere s˘a fie egal˘a cu valoarea num˘arului (exemplu: acdg = 77).
S˘a se scrie un program care, citind dou˘a ¸siruri de caractere ce reprezint˘a numere ˆın convent¸ia de
mai sus, s˘a scrie, la ie¸sire, ¸sirul ce reprezint˘a suma numerelor astfel reprezentate (exemplu: dac˘a la
intrare programul prime¸ste ¸sirurile acdg ¸si ac atunci, la ie¸sire, va scrie beg). S¸irurile de intrare sunt
alese astfel ˆıncˆat suma numerelor pe care le reprezint˘a s˘a fie mai mic˘a sau egal˘a cu 255.
Este posibil ca programul s˘a calculeze ¸sirul de ie¸sire f˘ar˘a a transforma ¸sirurile ˆın numere? Dac˘a
da, dat¸i o astfel de solut¸ie.
Not˘a: Programele vor fi scrise ˆıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ˆın liceu (Pascal, C, C++).
Pentru fiecare solut¸ie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit ¸si ale implement˘arii sub form˘a de pro-
gram: semnificat¸ia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor repetitive, a instruct¸iunilor condit¸ionale.
Timp de lucru 3 ore.

Deschide documentul original

Barem · 1 pagină

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 18.07.2015
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2015
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul r˘ad˘acinilor: 2 ¸si −1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Determinarea lui m: m ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, −3−√6
6 ] ∪ [ −3+√6
6 , +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(c) Determinarea lui m: m = −3/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) Determinarea lui m ∈ Z astfel ˆıncˆat ecuat¸ia are r˘ad˘acini ˆıntregi: m ∈ {0, −2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) f este continu˘a pe R \ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Studiul continuit˘at¸ii ˆın 0 ¸si a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,5 p
(b) Studiul derivabilit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(c) Demonstrarea apartenent¸ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) Calculul integralei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(e) Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Determinarea pozit¸iei punctelor E ¸si F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x = 8
3 , y = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Enunt¸area sau utilizarea unei teoreme care permite demonstrat¸ia (teorema cosinusului, teorema
medianei, etc.) sau reformularea problemei ˆın limbaj analitic sau vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Demonstrarea relat¸iei din enunt¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Num˘arul poate fi scris ca sum˘a de puteri ale lui 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Exist˘a cel put¸in o scriere a num˘arului ˆın care puterile lui 2 nu se repet˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Aceast˘a scriere este unic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Programul cite¸ste corect ¸sirurile de caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Programul “adun˘a” ¸sirurile corect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Programul afi¸seaz˘a corect ¸sirul rezultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Programul nu transform˘a ¸sirurile ˆın numere ci le “adun˘a” direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Programele nu au gre¸seli de limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Claritatea rezolv˘arilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
1

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2015Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2015Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2015Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2015Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2015Informatică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2015 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2015

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Barem · pagina 1

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?