Răspuns pe scurt
Dintr-o pungă cu 3 bile roșii și 2 albastre, extragi două bile pe rând, fără revenire. Probabilitatea să fie ambele roșii este 3/5 × 2/4 = 3/10, adică 30%. A doua fracție descrie ce rămâne după o primă bilă roșie: 2 roșii din 4 bile.
Dintr-o pungă cu 3 bile roșii și 2 albastre, extragi două bile pe rând, fără revenire. Probabilitatea să fie ambele roșii este 3/5 × 2/4 = 3/10, adică 30%. A doua fracție descrie ce rămâne după o primă bilă roșie: 2 roșii din 4 bile.
Dacă ai început problemele de probabilități la liceu, oprește-te puțin la expresia fără revenire. Prima bilă rămâne afară când o extragi pe a doua. De aici se schimbă calculul.
Presupunem că la fiecare pas toate bilele aflate în pungă au aceeași șansă de a fi alese. Nu vezi și nu alegi culoarea înainte să scoți bila.
Prima roșie lasă o urmă în a doua fracție
La început sunt 3 roșii din 5 bile, deci probabilitatea primei roșii este 3/5. Imaginează-ți acum că ai scos-o și ai lăsat-o pe masă.
În pungă rămân 2 roșii și 2 albastre. Sunt 4 bile, iar 2 dintre ele îți dau roșia dorită la pasul următor: 2/4. Verifici numărătorul și numitorul separat, numărând ce a rămas.
Aceeași pungă ar avea o altă compoziție dacă prima bilă ar fi fost albastră. Cele două situații nu folosesc aceeași fracție:
- După o primă roșie: rămân 2 roșii din 4 bile, deci 2/4 pentru următoarea roșie.
- După o primă albastră: rămân 3 roșii din 4 bile, deci 3/4 pentru următoarea roșie.
Pentru cerința „două roșii”, urmărești prima situație. Fracția 3/4 ar număra și roșia care se află deja pe masă.
Distincția dintre extragerile cu revenire și cele fără revenire este explicată în OpenStax, Introductory Statistics, secțiunea 3.2. Exemplul cu cinci bile și verificările de mai jos sunt construite pentru această explicație.
Unde intră înmulțirea
Ai nevoie de prima roșie și de încă o roșie după ea. Înmulțești probabilitatea primei reușite cu probabilitatea celei de-a doua, calculată după o primă roșie:
3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 = 30%.
Acesta este un caz al regulii produsului din secțiunea 3.3 OpenStax. Cele două fracții nu descriu aceeași stare a pungii: prima se referă la început, a doua ține cont de roșia deja scoasă.
Numără cele 20 de perechi
Poți controla rezultatul și fără să pornești de la fracții. Dă bilelor etichete: R1, R2, R3 pentru roșii și A1, A2 pentru albastre. Pentru prima bilă ai 5 alegeri; pentru fiecare, a doua are 4. Obții 20 de perechi ordonate, toate la fel de probabile în condițiile exemplului.
Dintre ele, exact 6 au două roșii: R1–R2, R1–R3, R2–R1, R2–R3, R3–R1, R3–R2. Cele 6 cazuri favorabile din 20 posibile dau din nou 3/10.
Am numărat R1–R2 separat de R2–R1 fiindcă păstrăm ordinea extragerilor. R1–R1 lipsește: bila R1 nu se poate afla și pe masă, și în pungă.
Cu revenire, aceeași cerință dă 36%
Schimbă un singur lucru: pui prima bilă înapoi și amesteci înainte să o scoți pe a doua. Ai iar 3 roșii din 5 bile, indiferent de prima culoare. Acum calculul pentru două roșii este 3/5 × 3/5 = 9/25 = 36%.
Dacă ai obținut 36% la enunțul fără revenire, uită-te la al doilea factor: ai repetat compoziția inițială a pungii, deși o bilă rămăsese afară.
Mai scoți două roșii, dintr-o pungă cu șase bile
Sunt 4 bile roșii și 2 albastre. Extragi două fără revenire. Încearcă să afli probabilitatea ca ambele să fie roșii, apoi citește calculul.
Pentru prima roșie ai 4/6. După ea, rămân 3 roșii din 5 bile. Rezultatul este 4/6 × 3/5 = 12/30 = 2/5 = 40%.
La o verificare fără caiet, încearcă să explici de ce ai scris 3/5 în loc de 4/5. Dacă exercițiul pe care îl lucrezi provine dintr-o variantă de BAC, compară apoi pașii cu baremul acelei variante. Notează lângă a doua fracție ce bile ai considerat că mai sunt în pungă.