Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2016 – sesiunea specială, 24 mai 2016, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 01
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 01
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2
5 2 4 5 9+ − = .
5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( ), 4M m aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2f x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
4 4log 9 log 25x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9M = , acesta să
fie divizibil cu 2.
5p 5. Determinaţi numărul real a , pentru care vectorii ( )1 3u a i j= − −
   și 2 6v i j= −
   sunt coliniari.
5p 6. Dacă 0, 2
x
π 
∈ 
  şi 1
cos 2
x = , arătaţi că 3
sin 2 2
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 3 2
6 1 4
x x
A x x x
+ 
=  
− − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )A x A y A x y xy= + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul real x , știind că ( ) ( ) ( )2 2 1x x
A A A= .
2. Se consideră polinomul 3 2 2f X X aX= − + + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( )1 1 2f f− + = , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numărul real a , pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul 2 2 2X X− + .
5p c) Demonstrați că 3 3 3
1 2 3 1 2 2 3 1 33 3 3 5x x x x x x x x x+ + + + + = − , pentru orice număr real a , unde 1x , 2x
și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 3,f +∞ → ℝ , ( ) 2 2 11
3
x x
f x x
+ −
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )
( )2
1 5
'
3
x x
f x
x
− −
=
−
, ( )3,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) 13f
π > .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )3 1 x
f x x e= + .
5p a) Arătaţi că ( )
1
0
1 5
2x f x dx
e =∫ .
5p b) Determinați numărul real m , pentru care funcţia :F →ℝ ℝ , ( ) ( )3 x
F x x m e= + este o primitivă a
funcției f .
5p c) Determinați numărul real nenul a , știind că ( )
0
3
a
f x dx a=∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 01
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 01
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
5 2 9 4 5+ = + 3p
9 4 5 4 5 9+ − = 2p
2. ( ) 4 2 4f m m= ⇒ + = 3p
2m = 2p
3. 2 2
9 25 16 0x x+ = ⇒ − = 2p
4x = − sau 4x = , care verifică ecuația 3p
4. Mulțimea M are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 1p
În mulțimea M sunt 4 numere divizibile cu 2, deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4
nr. cazuri posibile 9
p = = 2p
5. 1 3
2 6
a − −
= − 3p
2a = 2p
6. Cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem 3
sin 2
x = 2p
3 1 3
sin 2 2sin cos 2 2 2 2
x x x= = ⋅ ⋅ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 0 1 0
0 det 0
0 1 0 1
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
1 1 0 0 1= ⋅ − ⋅ = 3p
b) ( ) ( ) 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 2 2
6 1 4 6 1 4 6 6 6 1 4 4 4
x x y y x y xy x y xy
A x A y x x y y x y xy x y xy
+ + + + − + −    
= = =    
− − − − − − + − − +     3p
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 3 2
6 1 4
x y xy x y xy A x y xy
x y xy x y xy
 + + − + − 
= = + − 
− + − − + − 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2 2 1x x x x x x x x
A A+ − ⋅ = ⇔ + − ⋅ = 3p
( )2
2 1 0 0x x− = ⇔ = 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 1 1 2f a a− = − − − + ⋅ − + = − 2p
( ) ( ) ( )3 2
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2f a a f f a a= − + ⋅ + = + ⇒ − + = − + + = , pentru orice număr real a 3p
b) Restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 2 2X X− + este aX 3p
Polinomul f este divizibil cu polinomul 2 2 2 0X X a− + ⇔ = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 01
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 1x x x+ + = , 2 2 2
1 2 2 3 1 3 1 2 3 1 2x x x x x x a x x x a+ + = ⇒ + + = − 3p
( ) ( )3 3 3 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 6 1 2 6 3 5x x x x x x a x x x a a a+ + = + + − + + − = − − − = − − 1p
( )3 3 3
1 2 3 1 2 2 3 1 33 3 5 3 5x x x x x x x x x a a+ + + + + = − − + = − , pentru orice număr real a 1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2 2 3 2 11
'
3
x x x x
f x
x
+ − − + −
= =
−
3p
( )
( )( )
( )
2
2 2
1 56 5
3 3
x xx x
x x
− −− +
= =
− −
, ( )3,x ∈ +∞ 2p
b) ( )
( )
2 2 11
lim lim 1
3x x
f x x x
x x x→ +∞ → +∞
+ −
= =
− 2p
( )( ) 2 2
2 11 3 5 11
lim lim lim 5
3 3x x x
x x x x x
f x x x x→ +∞ → +∞ → +∞
+ − − + −
− = = =
− − , deci dreapta de ecuație
5y x= + este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) ( )' 0f x < , pentru orice ( )3,5x f∈ ⇒ este strict descrescătoare pe ( )3,5 3p
Cum 3 4
π< < şi ( )4 13f = , obținem ( ) 13f
π > 2p
2.a)
( ) ( )
1 1
0 0
1 3 1x f x dx x dx
e = + =∫ ∫ 2p
2 13 3 5
1
2 2 20
x x
 
= + = + =  
 
3p
b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' '3 3 3 3 3 3x x x x x
F x x m e x m e e x m e x m e′ = + + + = + + = + + 3p
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 1x x
F x f x x m e x e′ = ⇔ + + = + , pentru orice număr real x , deci 2m = − 2p
c)
( ) ( ) ( )
0
0
3 1 3 2 3 2 2
a a
x x a
x e dx x e a e+ = − = − +∫ 2p
( ) ( )( )3 2 2 3 3 2 1 0a a
a e a a e− + = ⇔ − − = și, cum a este număr real nenul, obținem 2
3
a = 3p