Pregătire cu un profesor

Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba de Matematic˘a - Clasa a XII-a
12 aprilie 2025
Versiunea 1
⌅ Timp de lucru: 3 ore.
⌅ V˘a rug˘am verificat, i corespondent, a ˆıntre versiunea de subiect de pe acest formular cu versiunea
de pe formularul de completare a r˘aspunsurilor (partea din stˆanga sus).
⌅ V˘a rug˘am completat, i ID-ul numeric care v-a fost comunicat prin email ˆınaintea concursului
pe formularul de completare a r˘aspunsurilor, ˆın partea dreapt˘a sus, prin umplerea cercurilor
corespunz˘atoare pe coloane.
⌅ V˘a rug˘am completat, i cu majuscule numele s, i prenumele, precum s, i prenumele tat˘alui. Punc-
tajul s, i semn˘atura se vor trece la momentul corect˘arii grilei.
⌅ Pentru toate problemele un singur r˘aspuns este corect.
⌅ Fiec˘arei probleme i s-au atribuit 6 puncte. Punctajul cumulat este egal cu 90. Cu cele 10
puncte acordate din oficiu rezult˘a un maxim de 100 de puncte, care corespunde notei 10.
⌅ Marcat, i cˆat mai vizibil r˘aspunsul pe care ˆıl considerat, i corect, prin umplerea cerculet, ului
corespunz˘ator, cu pix de culoare ˆınchis˘a (albastru sau negru).
Exemplu:
⌅ Este strict interzis˘a modificarea ˆın orice fel a port, iunii din partea de jos a grilei de completare
a r˘aspunsurilor, marcat˘a cu textul ”Form Identifier — DO NOT MARK”
1. [6 puncte] Fie A 2 M 2 (R) o matrice astfel ˆıncˆat det(A) = 3 ¸si Tr(A) = 4. Care dintre urm˘atoarele
matrice reprezint˘a inversa lui A?
A. 1
3 (A  2I 2 )
B. 1
3 (4I 2  A)
C. 1
4 (A  3I 2 )
D. 1
4 (3I 2  A)
E. A 1 = A
F. 1
2 (4I 2  A)
2. [6 puncte] Fie polinomul
P = 1 + X + X 2 + · · · + X 2024  2025.
Dac˘a la ˆımp˘art¸irea lui P prin (X  1) 2 se obt¸ine un rest de forma
R = A(X  1) + B.
Determinat¸i valorile lui A ¸si B.
A. A = 2024 · 2025, B = 2025
B. A = 2024·2025
2 + 2025, B = 0
C. A = 2024·2025
2 , B = 2024·2025
2
D. A = 2024·2025
2 , B = 0
E. A = 2025, B = 2025
F. A = 2024·2025
2 , B = 2025

Subiect și barem · pagina 2

3. [6 puncte] ˆIntr-un reper cartezian fixat, consider˘am patrulaterul ABCD cu vˆarfurile A(p3 + p2, 0),
B(0, p3 + p2), C(p2  p3, 0) ¸si D(0, p2  p3). Pentru ca dreptele de ecuatii d 1 : x = a si
d 2 : x = a sa taie patrulaterul in trei figuri de arii egale, parametrul real a > 0 trebuie sa ia valoarea:
A. p2/2
B. p3/2
C. p2/3
D. p3/3
E. 1/3
F. p2/p3
4. [6 puncte] Se dau dou˘a drepte prin ecuat¸iile a : 2x + y = 2 si b : 2x + y = ↵, cu parametrul real ↵ > 0.
Dac˘a aria trapezului format de cele dou˘a drepte ˆımpreun˘a cu axele de coordonate este 3, atunci valoarea
parametrului ↵ este:
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
E. 6
F. 8
5. [6 puncte] Valoarea integralei
1Z
0
⇣ Z 1
0
{x  y}dx
⌘
dy este:
A. 1
5 ;
B. 1
2 ;
C. 1
3 ;
D. 1
4 ;
E. 2
3 ;
F. 3
4 ,
unde {a} reprezint˘a partea fract¸ionar˘a a num˘arului real a.
6. [6 puncte] Num˘arul de matrice inversabile din M 2 (Z 3 ) este:
A. 27;
B. 9;
C. 33;
D. 48;
E. 46;
F. 24.
7. [6 puncte] Fie A =
✓b2 b3
b0 b2
◆
2 M 2 (Z 13 ). Atunci matricea A 13 este egal˘a cu:
A. A;
B. b6A;
C. I 2 ;
D. b2I 2 ;
E. b3I 2 ;
F. b3A.
2

Subiect și barem · pagina 3

8. [6 puncte] Ecuat¸ia X 11 =
✓b2 b3
b2 b3
◆
are solut¸ia unic˘a X 2 M 2 (Z 11 ) egal˘a cu:
A.
✓b2 b3
b3 b2
◆
;
B.
✓b2 b3
b2 b3
◆
;
C.
✓b3 b2
b2 b3
◆
;
D.
✓b3 b2
b3 b2
◆
;
E.
✓b2 b2
b3 b3
◆
;
F.
✓b3 b3
b2 b2
◆
.
9. [6 puncte] Fie f : (1, 1) ! R o funct¸ie de dou˘a ori derivabil˘a cu f (0) = 0, f 0 (0) = 1 ¸si f 00 (0) = 2.
Pentru orice n 2 N ⇤ , valoarea limitei lim
x!0
f n (x)  x n
x n+1 este:
A. 0;
B. 1;
C. n;
D. n + 1
2 ;
E. 2025n;
F. 2;
10. [6 puncte] S˘a se determine valoarea parametrului a > 0 astfel ˆıncˆat integrala
Z a
a
x 2
1 + e x dx
s˘a ia valoarea 9000.
A. 3
B. 9
C. 1
3
D. 1
30
E. 30
F. 1
9
11. [6 puncte] S˘a se calculeze limita:
lim
n!1
✓ 1
pn 2 + n + 1
pn 2 + 2n + · · · + 1
p2n 2
◆
.
A. 1
B. 0
C. p2
D. 2p2
E. 2p2  2
F.
p2
2
3

Subiect și barem · pagina 4

12. [6 puncte] S˘a se determine valorile parametrilor reali a, b, c pentru care funct¸ia F : R ! R, F (x) =
ax + (bx 2 + c) arctan x este o primitiv˘a a funct¸iei f : R ! R, f (x) = x arctan x
A. a = b = c = 1
B. a = b = c = 1
C. a = b = c =  1
2
D. a = b = c = 1
2
E. a = b = 1
2 , c =  1
2
F. b = c = 1
2 , a =  1
2
13. [6 puncte] Se consider˘a legea de compozit¸ie x ⇤ y = (x  2)(y  2) + 2 definit˘a pe R. Elementul neutru
al legii este
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
E. nu are
F. 1
14. [6 puncte] Pe mult¸imea R se define¸ste legea de compozit¸ie x ⇤ y = xy  3x  3y + 12. Solut¸iile ecuat¸iei
x ⇤ x = x sunt
A. 3 ¸si 4
B. 3 ¸si 2
C. 1 ¸si 4
D. 4 ¸si 2
E. 1 ¸si 2
F. 3
15. [6 puncte] Fie polinomul f = (32X) 2025 +(3X 4) 2025 . S˘a se calculeze suma coeficient¸ilor polinomului
f .
A. 0
B. 2 2025
C. 22025
D. 22024
E. 2025
F. 5050
4

Subiect și barem · pagina 5

Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba de Matematic˘a - Clasa a XII-a
12 aprilie 2025
Versiunea 1
1. [6 puncte] Fie A 2 M 2 (R) o matrice astfel ˆıncˆat det(A) = 3 ¸si Tr(A) = 4. Care dintre
urm˘atoarele matrice reprezint˘a inversa lui A?
A. 1
3 (A  2I 2 )
B. 1
3 (4I 2  A)
C. 1
4 (A  3I 2 )
D. 1
4 (3I 2  A)
E. A 1 = A
F. 1
2 (4I 2  A)
Solut¸ie: Conform teoremei Cayley–Hamilton, matricea A satisface ecuat¸ia:
A2  Tr(A)A + det(A) I 2 = 0.
ˆIn cazul dat, avem: A 2  4A + 3I 2 = 0. ˆInmult¸ind ecuat¸ia cu A1 , obt¸inem:
3A 1 = 4I 2  A =) A 1 = 1
3(4I 2  A).
2. [6 puncte] Fie polinomul
P (x) = 1 + x + x 2 + · · · + x 2024  2025.
La ˆımp˘art¸irea lui P (x) la (x  1) 2 se obt¸ine un rest de forma
R(x) = A(x  1) + B.
Determinat¸i valorile lui A ¸si B.
A. A = 2024 · 2025, B = 2025
B. A = 2024·2025
2 + 2025, B = 0
C. A = 2024·2025
2 , B = 2024·2025
2
D. A = 2024·2025
2 , B = 0
E. A = 2025, B = 2025
F. A = 2024·2025
2 , B = 2025
Solut¸ie: Avem
P (1) = 1 + 1 + · · · + 1| {z }
2025 termeni
2025 = 2025  2025 = 0.

Subiect și barem · pagina 6

Din teorema ˆımp˘art, irii cu rest, avem:
P (x) = Q(x)(x  1) 2 + R(x) = Q(x)(x  1) 2 + A(x  1) + B
Luˆand x = 1 ˆın aceast˘a relat, ie, obt, inem B = 0.
Derivˆand relat, ia de mai sus, avem
P 0 (x) = Q 0 (x)(x  1) 2 + 2Q(x)(x  1) + A,
s, i ˆınlocuind x = 1, obt, inem
P 0 (1) = A.
Dar
P 0 (x) = 1 + 2x + 3x 2 + ... + 2024x 2023 ,
deci
A = P 0 (1) = 1 + 2 + 3 + · · · + 2024 = 2024 · 2025
2 .
3. [6 puncte] ˆIntr-un reper cartezian fixat, consider˘am patrulaterul ABCD cu vˆarfurile
A(p3 + p2, 0), B(0, p3 + p2), C(p2  p3, 0) ¸si D(0, p2  p3). Pentru ca dreptele
de ecuatii d 1 : x = a si d 2 : x = a sa taie patrulaterul in trei figuri de arii egale,
parametrul real a > 0 trebuie sa ia valoarea:
A. p2/2
B. p3/2
C. p2/3
D. p3/3
E. 1/3
F. p2/p3
Solut¸ie: Se observa ca ABCD este un patrat de arie 2(p3 + p2) 2 din care dreapta
verticala x = a taie un triunghi dreptunghic isoscel de arie 2
3 (p3 + p2) 2 . Ipotenuza
triunghiului isoscel fiind 2(p3 + p2  a), se obtine ca a = p3/3.
4. [6 puncte] Se dau dou˘a drepte prin ecuat¸iile a : 2x + y = 2 si b : 2x + y = ↵, cu
parametrul real ↵ > 0. Dac˘a aria trapezului format de cele dou˘a drepte ˆımpreun˘a cu
axele de coordonate este 3, atunci valoarea parametrului ↵ este:
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
E. 6
F. 8
Solut¸ie: Aria triunghiului dreptunghic format de dreapta a resp. b cu axele de coor-
donate este 1 resp. ↵ 2 /4. Aria trapezului este data de diferenta dintre cele doua arii.
Intrucat aria trapezului este mai mare decat 1, cautam solutii pozitive ale ecuatiei
↵ 2 /4  1 = 3. Solutia este unica: ↵ = 4.
2

Subiect și barem · pagina 7

5. [6 puncte] Valoarea integralei
1Z
0
⇣ Z 1
0
{x  y}dx
⌘
dy este:
A. 1
5;
B. 1
2;
C. 1
3;
D. 1
4;
E. 2
3;
F. 3
4,
unde {a} reprezint˘a partea fract¸ionar˘a a num˘arului real a.
Solut¸ie:
Prin calcul direct obt¸inem
Z 1
0
Z 1
0
{x  y}dxdy =
Z 1
0
✓Z x
0
{x  y}dy +
Z 1
x
{x  y}dy
◆
dx
=
Z 1
0
✓Z x
0
(x  y)dy +
Z 1
x
(x  y + 1)dy
◆
dx
=
Z 1
0
✓
x 2  x 2
2 + x(1  x)  1  x 2
2 + 1  x
◆
dx
= 1
2
¸si astfel r˘aspunsul corect este (B).
6. [6 puncte] Num˘arul de matrice inversabile din M 2 (Z 3 ) este:
A. 27;
B. 9;
C. 33;
D. 48;
E. 46;
F. 24.
Solut¸ie: S¸tim c˘a o matrice este inversabil˘a dac˘a ¸si numai dac˘a are determinantul
nenul. Astfel, exist˘a 3 2  1 = 8 posibilit˘at¸i de a alege prima linie a matricei astfel
ˆıncˆat aceasta sa nu fie (ˆ0 ˆ0). A doua linie se poate alege arbitrar, mai put¸in cˆand
aceasta este proport¸ional˘a cu prima linie, deci vor exista 3 2  3 = 6 posibilit˘at¸i. ˆIn
consecint¸˘a vor exista 8 ⇥ 6 = 48 de matrice inversabile ˆın M 2 (Z 3 ), deci r˘aspunsul
corect este (D).
3

Subiect și barem · pagina 8

7. [6 puncte] Fie A =
✓b2 b3
b0 b2
◆
2 M 2 (Z 13 ). Atunci matricea A13 este egal˘a cu:
A. A;
B. b6A;
C. I 2 ;
D. b2I 2 ;
E. b3I 2 ;
F. b3A.
Solut¸ie: Scriind A sub forma A = b2I 2 + b3B, unde B =
✓b0 b1
b0 b0
◆
, utilizˆand binomul
lui Newton ¸si faptul c˘a 13 | C k
13 pentru orice k 2 {1, ..., 12} (sau echivalent, dC k
13 =
b0, 8k 2 {1, ..., 12}) obt¸inem
A 13 = (b2I 2 + b3B) 13 = b2 13 I 13
2 + b3 13 B 13 . (1)
Cum b2 13 = b2, I 13
2 = I 2 ¸si B 2 = O 2 , relat¸ia (1) devine A 13 = b2I 2 , deci r˘aspunsul corect
este (D).
8. [6 puncte] Ecuat¸ia X 11 =
✓b2 b3
b2 b3
◆
are solut¸ia unic˘a X 2 M 2 (Z 11 ) egal˘a cu:
A.
✓b2 b3
b3 b2
◆
;
B.
✓b2 b3
b2 b3
◆
;
C.
✓b3 b2
b2 b3
◆
;
D.
✓b3 b2
b3 b2
◆
;
E.
✓b2 b2
b3 b3
◆
;
F.
✓b3 b3
b2 b2
◆
.
Solut¸ie: Din X 11 =
✓b2 b3
b2 b3
◆
obt¸inem c˘a det(X) = b0 ¸si astfel din teorema Cayley-
Hamilton avem X 2 = aX, unde a 2 Z 11 este urma matricei X. Observ˘am c˘a
a 2 Z 11 \ {b0}, deoarece a = b0 implic˘a X 2 = O 2 ¸si ˆın consecint¸˘a X 11 = O 2 , ceea ce
este imposibil.
Astfel, cum X 2 = aX, unde a 2 Z 11 \ {b0}, avem c˘a X 11 = a 10 X = X, deoarece
pentru orice a 2 Z 11 \ {b0}, a 10 = b1. ˆIn consecint¸˘a am obt¸inut X = X 11 =
✓b2 b3
b2 b3
◆
.
Reciproc, dac˘a X =
✓b2 b3
b2 b3
◆
atunci din teorema Cayley-Hamilton (folosind tr(X) =
b5 ¸si det(X) = b0), sau prin calcul direct, obt¸inem X 2 = b5X ¸si astfel
X 11 = b5 10 X = X =
✓b2 b3
b2 b3
◆
.
Astfel, r˘aspunsul corect este (B).
4

Subiect și barem · pagina 9

9. [6 puncte] Fie f : (1, 1) ! R o funct¸ie de dou˘a ori derivabil˘a cu f (0) = 0, f 0 (0) = 1 ¸si
f 00 (0) = 2. Pentru orice n 2 N ⇤ , valoarea limitei lim
x!0
f n (x)  x n
x n+1 este:
A. 0;
B. 1;
C. n;
D. n + 1
2 ;
E. 2025n;
F. 2;
Solut¸ie: Deoarece f este derivabil˘a ˆın x 0 = 0 , iar f (0) = 0, rezult˘a c˘a exist˘a
lim
x!0
f (x)
x = f 0 (0) = 1.
Cum f 0 este derivabil˘a ˆın x 0 = 0 cu f 0 (0) = 1 rezult˘a c˘a exist˘a lim
x!0
f 0 (x)  1
x =
f 00 (0) = 2.
Avem c˘a
f n (x)  x n
x n+1 = f (x)  x
x 2
✓f (x)
x
◆ n1
+
✓f (x)
x
◆ n2
+ . . . +
✓f (x)
x
◆
+ 1
!
.
Din Teorema l’Hospital avem: lim
x!0
f (x)  x
x 2 = lim
x!0
f 0
(x)  1
2x = 1. Atunci
lim
x!0
f n (x)  x n
x n+1 = lim
x!0
f (x)  x
x 2
n1X
k=0
✓f (x)
x
◆ k
= n.
10. [6 puncte] S˘a se determine valoarea parametrului a > 0 astfel ˆıncˆat integrala
Z a
a
x 2
1 + e x dx
s˘a ia valoarea 9000.
A. 3
B. 9
C. 1
3
D. 1
30
E. 30
F. 1
9
Solut¸ie: Not˘am I =
aR
a
x 2
1 + e x dx. F˘acˆand schimbarea de variabil˘a x = t obt¸inem
I =
Z a
a
t 2
1 + e t dt =
Z a
a
e t · t 2
1 + e t dt.
Atunci
2I =
Z a
a
x 2
1 + e x + e x · x 2
1 + e x dx =
Z a
a
x 2 dx = 2a 3
3 .
Obt¸inem I = a 3
3 , deci
I = 9000 , a 3
3 = 9000 , a 3 = 27000 , a = 30.
5

Subiect și barem · pagina 10

11. [6 puncte] S˘a se calculeze limita:
lim
n!1
✓ 1
pn 2 + n + 1
pn 2 + 2n + · · · + 1
p2n 2
◆
.
A. 1
B. 0
C. p2
D. 2p2
E. 2p2  2
F.
p2
2
Solut¸ie: Avem nX
k=1
1
pn 2 + kn = 1
n
nX
k=1
1
q
1 + k
n
Fie f : [0, 1] ! R, f (x) = 1
p1 + x 2 .
Pentru ¸sirul de divizuni echidistante ale intervalului [0, 1] d n =
⇢ k
n : k = 0, n

, ¸si
sistemul de puncte intermediare ⇠ d =
⇢ k
n : k = 1, n

asociat diviziunii d avem c˘a
||d n || = 1
n
n!1
! 0, iar
(f, d n , ⇠ d n ) =
nX
k=1
1
q
1 + k
n
.
Cum f este continu˘a rezult˘a c˘a
lim
n!1
nX
k=1
1
q
1 + k
n
= lim
n!1 (f, d n , ⇠ d n ) =
Z 1
0
1
p1 + xdx = 2p2  2.
12. [6 puncte] S˘a se determine valorile parametrilor reali a, b, c pentru care funct¸ia F : R !
R, F (x) = ax+(bx 2 +c) arctan x este o primitiv˘a a funct¸iei f : R ! R, f (x) = x arctan x
A. a = b = c = 1
B. a = b = c = 1
C. a = b = c = 1
2
D. a = b = c = 1
2
E. a = b = 1
2, c = 1
2
F. b = c = 1
2, a = 1
2
Solut¸ie: Cum F este o primitiv˘a funct¸iei f rezult˘a c˘a F 0 = f , deci
a + bx 2 + c
x 2 + 1 + 2bx arctan x = x arctan x, 8x 2 R
, (a + b)x 2 + (a + c)
x 2 + 1 + 2bx arctan x = x arctan x, 8x 2 R.
Obt¸inem 2b = 1, a + b = a + c = 0, de unde a = 1
2, b = c = 1
2.
6

Subiect și barem · pagina 11

13. [6 puncte] Se consider˘a legea de compozit¸ie x ⇤ y = (x  2)(y  2) + 2 definit˘a pe R.
Elementul neutru al legii este
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
E. nu are
F. 1
Solut¸ie: Avem x ⇤ 3 = 3 ⇤ x = (x  2) + 2 = x, 8x 2 R, deci e = 3 este element
neutru.
14. [6 puncte] Pe mult¸imea R se define¸ste legea de compozit¸ie x ⇤ y = xy  3x  3y + 12.
Solut¸iile ecuat¸iei x ⇤ x = x sunt
A. 3 ¸si 4
B. 3 ¸si 2
C. 1 ¸si 4
D. 4 ¸si 2
E. 1 ¸si 2
F. 3
Solut¸ie:
x ⇤ x = x , x 2  6x + 12 = x , x 2  5x + 12 = 0 , (x  3)(x  4) = 0
deci solut¸iile sunt x = 3 ¸si x = 4
15. [6 puncte] Fie polinomul f = (3  2X) 2025 + (3X  4) 2025 . S˘a se calculeze suma
coeficient¸ilor polinomului f .
A. 0
B. 2 2025
C. 2 2025
D. 2 2024
E. 2025
F. 5050
Solut¸ie: Observ˘am c˘a suma coeficient¸ilor lui f este tocmai f (1). Avem
f (1) = 1 2025 + (1) 2025 = 0,
deci suma coeficient¸ilor este 0
7

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2025Informatică · Subiect și baremDeschide fișa Concurs de pregătire · 2025Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Subiect și barem în același documentDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică și Informatică · Broșura oficială – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Subiect și barem în același documentDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică și Informatică · Broșura oficială – varianta 1 cu baremDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2025 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2025

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect și barem · pagina 1