Pregătire cu un profesor

Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba de Matematic˘a - Clasa a XI-a
12 aprilie 2025
Versiunea 1
⌅ Timp de lucru: 3 ore.
⌅ V˘a rug˘am verificat, i corespondent, a ˆıntre versiunea de subiect de pe acest formular cu
versiunea de pe formularul de completare a r˘aspunsurilor (partea din stˆanga sus).
⌅ V˘a rug˘am completat, i ID-ul numeric care v-a fost comunicat prin email ˆınaintea con-
cursului pe formularul de completare a r˘aspunsurilor, ˆın partea dreapt˘a sus, prin
umplerea cercurilor corespunz˘atoare pe coloane.
⌅ V˘a rug˘am completat, i cu majuscule numele s, i prenumele, precum s, i prenumele tat˘alui.
Punctajul s, i semn˘atura se vor trece la momentul corect˘arii grilei.
⌅ Pentru toate problemele un singur r˘aspuns este corect.
⌅ Fiec˘arei probleme i s-au atribuit 6 puncte. Punctajul cumulat este egal cu 90. Cu cele
10 puncte acordate din oficiu rezult˘a un maxim de 100 de puncte, care corespunde
notei 10.
⌅ Marcat, i cˆat mai vizibil r˘aspunsul pe care ˆıl considerat, i corect, prin umplerea
cerculet, ului corespunz˘ator, cu pix de culoare ˆınchis˘a (albastru sau negru).
Exemplu:
⌅ Este strict interzis˘a modificarea ˆın orice fel a port, iunii din partea de jos a grilei de
completare a r˘aspunsurilor, marcat˘a cu textul ”Form Identifier — DO NOT MARK”
1. [6 puncte] Fie f : R ! R definit˘a prin f (x) = x 2 sin(1/x) pentru x 6 = 0 s, i f (0) = 0. Care
dintre urm˘atoarele afirmat, ii este adev˘arat˘a?
A. f este discontinu˘a ˆın 0
B. f este continu˘a, dar nu este derivabil˘a ˆın 0
C. f este derivabil˘a, dar f 0 nu este continu˘a ˆın 0
D. f este de clas˘a C 1
E. f este de dou˘a ori derivabil˘a ˆın 0
F. f 0 este nem˘arginit˘a ˆıntr-o vecin˘atate a lui 0
2. [6 puncte] Cˆate solut, ii x 2 R are ecuat, ia x = cos x?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
F. o infinitate

Subiect și barem · pagina 2

3. [6 puncte] S˘a se calculeze lim
n!1
1 + 1
2 + · · · + 1
n
ln n .
A. 0
B. 1
C. 1
D. Nu exist˘a
E. -1
F. e
4. [6 puncte] S˘a se calculeze lim
n!1 {pn 2 + 4n + 2}, unde {a} noteaz˘a partea fract¸ionar˘a a
num˘arului a 2 R.
A. 1
2
B. 2
3
C. 1
3
D. 1
E. 0
F. Nu exist˘a
5. [6 puncte] Se consider˘a matricea A 2 M 2 (Z), A =
1 1
0 1

. Atunci suma elementelor lui A 2025
este
A. 2023
B. 2024
C. 2025
D. 2026
E. 2027
F. 2028
6. [6 puncte] S˘a se calculeze lim
x!1
sin x + sin(2x) + · · · + sin(2025x)
2025x .
A. 1
B. Nu exist˘a
C. 1008
D. 0
E. +1
F. 1
7. [6 puncte] Fie a 2 R. Consider˘am ¸sirul definit prin
x 0 = a, x n+1 = x 2
n  2x n + 2, 8n 2 N.
Valorile lui a pentru care ¸sirul este convergent la 1 sunt
A. a 2 [0, 2]
B. a 2 [0, 2)
C. a 2 (2, 1)
D. a 2 (1, 0)
E. a 2 (0, 2)
F. a 2 (1, 0) [ (2, 1)
2

Subiect și barem · pagina 3

8. [6 puncte] Valoarea lui r 2 R pentru care
lim
n!1 n r
✓ 1
pn 2 + 1 + 2
pn 2 + 2 + · · · + n
pn 2 + n
◆
exist˘a, este finit˘a ¸si nenul˘a este:
A. 0
B. 2
C. -2
D. 1
E. -1
F. 3
9. [6 puncte] ˆIntr-un reper cartezian fixat, consider˘am punctele A(2, 1), B(4, 1), C(2, 3) ¸si
D(0, 3). Cˆate dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate:
(i) ABCD este paralelogram;
(ii) ACBD este paralelogram;
(iii) ABCD este romb;
(iv) ACBD este romb;
(v) ADBC este dreptunghi;
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
F. 5
10. [6 puncte] S¸irul a n = sin  3⇡
2 + n⇡ este :
A. nem˘arginit
B. monoton cresc˘ator
C. monoton descresc˘ator
D. convergent
E. cu valori negative
F. divergent
11. [6 puncte] Se consider˘a matricea A 2 M n (C). Dac˘a det A = 3, iar det(3A) = 81, atunci
det(4A) este egal cu
A. 192
B. 48
C. 182
D. 2000
E. 4
F. 2025
3

Subiect și barem · pagina 4

12. [6 puncte] Dac˘a A =
1 2
1 1

, iar M = {A k | k 2 N ⇤ }, atunci num˘arul de elemente ale lui M
este
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
E. 0
F. 1
13. [6 puncte] Fie A =
2
4
x x 2
m x 0
0 m 1
3
5. S˘a se determine m 2 R astfel ˆıncˆat matricea A s˘a fie in-
versabil˘a pentru orice x 2 R.
A. m 2 (0, 1)
B. m 2 (1, 1)
C. m 2 R ⇤
D. m 2 ;
E. m 2 (1, 0)
F. m = p2
14. [6 puncte] Se consider˘a determinantul
 =






(a + 2) 2 (a + 1) 2 a 2
(b + 2) 2 (b + 1) 2 b 2
(c + 2) 2 (c + 1) 2 c 2





 ,
unde a, b, c 2 R. Atunci
A.  = 2(a  b)(b  c)(c  a)
B.  = 4(a  b)(b  c)(c  a)
C.  = 8(a  b)(b  c)(c  a)
D.  = 2(a  b)(b  c)(c  a)
E.  = 4(a  b)(b  c)(c  a)
F. m = 8(a  b)(b  c)(c  a)
15. [6 puncte] Se consider˘a A, B 2 M 2 (C) astfel ˆıncˆat AB =
3 5
7 11

¸si BA =
a 6
7 b

. Atunci
valorile numerelor a ¸si b sunt
A. 0 ¸si 4
B. 2 ¸si 3
C. 4 ¸si 10
D. 2 ¸si 7
E. 7 ¸si 11
F. 4 ¸si 3
4

Subiect și barem · pagina 5

Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Proba de Matematic˘a - Clasa a XI-a
12 aprilie 2025
Versiunea 1
1. [6 puncte] Fie f : R ! R definit˘a prin f (x) = x 2 sin(1/x) pentru x 6 = 0 s, i f (0) = 0.
Care dintre urm˘atoarele afirmat, ii este adev˘arat˘a?
A. f este discontinu˘a ˆın 0
B. f este continu˘a, dar nu este derivabil˘a ˆın 0
C. f este derivabil˘a, dar f 0 nu este continu˘a ˆın 0
D. f este de clas˘a C 1
E. f este de dou˘a ori derivabil˘a ˆın 0
F. f 0 este nem˘arginit˘a ˆıntr-o vecin˘atate a lui 0
Solut¸ie: f este de clas˘a C 1 pe R ⇤ fiind o compus˘a de funct, ii elementare.
Cum limx!0 f (x)f (0)
x0 = 0, f este derivabil˘a ˆın 0 s, i f 0 (0) = 0. De asemenea,
f 0 (x) = 2x sin(1/x)  cos(1/x) pentru x 6 = 0. f 0 nu este continu˘a ˆın 0 ˆıntrucˆat
nu exist˘a lim x!0 cos(1/x). Pe de alta parte, pentru x 2 (1, 1), |f 0 (x)| 
2| sin(1/x)| + | cos(1/x)|  3.
2. [6 puncte] Cˆate solut, ii x 2 R are ecuat, ia x = cos x?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
F. o infinitate
Solut¸ie: Consider˘am funct, ia f : R ! R definit˘a prin f (x) = x  cos x, x 2 R.
Cum f 0 (x) = 1 + sin x  0, x 2 R, funct, ia f este monoton cresc˘atoare. Ea este

Subiect și barem · pagina 6

s, i injectiv˘a. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a pentru a < b, avem f (a) = f (b), funct, ia f ar fi
constant˘a pe intervalul [a, b], ceea ce ar fi imposibil deoarece derivata se anuleaz˘a
doar pe o mult, ime discret˘a. De asemenea, cum f (0)f (⇡/2) = ⇡/2 < 0, iar f are
proprietatea lui Darboux, ea are o singura r˘ad˘acin˘a real˘a.
3. [6 puncte] S˘a se calculeze lim
n!1
1 + 1
2 + · · · + 1
n
ln n .
A. 0
B. 1
C. 1
D. Nu exist˘a
E. -1
F. e
Solut¸ie: Se aplic˘a lema lui Stolz-C´esaro. Avem c˘a
lim
n!1
1 + 1
2 + · · · + 1
n+1
  1 + 1
2 + · · · + 1
n

ln(n + 1)  ln n = lim
n!1
1
n+1
ln 1 + 1
n
.
S¸tim c˘a lim
x!0
x
ln(1 + x) = 1 (limit˘a remarcabil˘a), deci
lim
n!1
1
n+1
ln 1 + 1
n
 = lim
n!1
1
n
ln 1 + 1
n
 · n
n + 1 = 1 · 1 = 1.
4. [6 puncte] S˘a se calculeze lim
n!1 {pn 2 + 4n + 2}, unde {a} noteaz˘a partea fract¸ionar˘a
a num˘arului a 2 R.
A. 1
2
B. 2
3
C. 1
3
D. 1
E. 0
F. Nu exist˘a
Solut¸ie: Avem c˘a
(n + 1) 2 < n 2 + 4n + 2 < (n + 2) 2 , deci n + 1 < pn 2 + 4n + 2 < n + 2.
Obt¸inem [pn 2 + 4n + 2] = n + 1, ¸si atunci
lim
n!1 {pn 2 + 4n + 2} = lim
n!1
pn 2 + 4n + 2  [pn 2 + 4n + 2] =
2

Subiect și barem · pagina 7

= lim
n!1
pn 2 + 4n + 2  (n + 1) = lim
n!1
(n 2 + 4n + 2)  (n + 1) 2
pn 2 + 4n + 2 + (n + 1) =
= lim
n!1
2n + 1
pn 2 + 4n + 2 + (n + 1) = lim
n!1
2 + 1
n
q
1 + 4
n + 2
n 2 + 1 + 1
n
= 2
2 = 1.
5. [6 puncte] Se consider˘a matricea A 2 M 2 (Z), A =
1 1
0 1

. Atunci suma elementelor
lui A2025 este
A. 2023
B. 2024
C. 2025
D. 2026
E. 2027
F. 2028
Solut¸ie: Se demonstreaz˘a inductiv c˘a
An =
1 n
0 1

, 8n 2 N.
Atunci suma elementelor lui A2025 este 2027.
6. [6 puncte] S˘a se calculeze lim
x!1
sin x + sin(2x) + · · · + sin(2025x)
2025x .
A. 1
B. Nu exist˘a
C. 1008
D. 0
E. +1
F. 1
Solut¸ie: Folosind | sin x|  1, 8x 2 R avem c˘a




sin x + sin(2x) + · · · + sin(2025x)
2025x



  | sin x| + | sin(2x)| + · · · + | sin(2025x)|
2025x
 2025
2025x = 1
x
x!1
! 0,
deci din criteriul major˘arii rezult˘a c˘a limita c˘autat˘a este 0.
3

Subiect și barem · pagina 8

7. [6 puncte] Fie a 2 R. Consider˘am ¸sirul definit prin
x 0 = a, x n+1 = x 2
n  2x n + 2, 8n 2 N.
Valorile lui a pentru care ¸sirul este convergent la 1 sunt
A. a 2 [0, 2]
B. a 2 [0, 2)
C. a 2 (2, 1)
D. a 2 (1, 0)
E. a 2 (0, 2)
F. a 2 (1, 0) [ (2, 1)
Solut¸ie: Recurent¸a se rescrie sub forma
x n+1  1 = (x n  1) 2 .
Folosind substitut¸ia y n = x n  1, obt¸inem y n+1 = y 2
n , 8n 2 N. Atunci y n = y 2 n
0 ,
deci x n = 1 + (x 0  1) 2 n
= 1 + (a  1) 2 n
, pentru orice n 2 N ⇤ .
Dac˘a |a  1| > 1, atunci lim
n!1 x n = +1, deci ¸sirul este divergent.
Dac˘a |a  1| < 1, atunci lim
n!1 x n = 1.
Dac˘a |a  1| = 1, atunci x n = 2 8n  1, deci lim
n!1 x n = 2.
Obt¸inem
lim
n!1 x n = 1 , a  1 2 (1, 1) , a 2 (0, 2).
8. [6 puncte] Valoarea lui r 2 R pentru care
lim
n!1 n r
✓ 1
pn 2 + 1 + 2
pn 2 + 2 + · · · + n
pn 2 + n
◆
exist˘a, este finit˘a ¸si nenul˘a este:
A. 0
B. 2
C. -2
D. 1
E. -1
F. 3
Solut¸ie: Notˆand s n = 1pn 2 +1 + 2pn 2 +2 + · · · + npn 2 +n avem
1
pn 2 + n + 2
pn 2 + n + · · · + n
pn 2 + n < s n < 1
pn 2 + 1 + 2
pn 2 + 1 + · · · + n
pn 2 + 1
4

Subiect și barem · pagina 9

) n(n + 1)
2pn 2 + 2n < sn < n(n + 1)
2pn 2 + 1
) n + 1
2pn 2 + 2n < s n
n < n + 1
2pn 2 + 1
Cum lim
n!1
n + 1
2pn 2 + 2n = lim
n!1
n + 1
2pn 2 + 1 = 1
2, din criteriul cle¸stelui deducem c˘a
lim
n!1
s n
n = 1
2.
Atunci
lim
n!1 n r s n = lim
n!1 n r+1 s n
n =
8
>><
>>:
1 , r > 1
0 , r < 1
1
2, r = 1,
deci r = 1.
9. [6 puncte] ˆIntr-un reper cartezian fixat, consider˘am punctele A(2, 1), B(4, 1),
C(2, 3) ¸si D(0, 3). Cˆate dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate:
(i) ABCD este paralelogram;
(ii) ACBD este paralelogram;
(iii) ABCD este romb;
(iv) ACBD este romb;
(v) ADBC este dreptunghi;
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
F. 5
Solut¸ie: Se observ˘a c˘a ACBD, deci ¸si ADBC, este un p˘atrat. Rezult˘a c˘a
afirmat¸iile (ii), (iv) ¸si (v) sunt adev˘arate.
5

Subiect și barem · pagina 10

10. [6 puncte] S¸irul a n = sin  3⇡
2 + n⇡ este :
A. nem˘arginit
B. monoton cresc˘ator
C. monoton descresc˘ator
D. convergent
E. cu valori negative
F. divergent
Solut¸ie: Avem
a n = sin
✓3⇡
2
◆
cos(n⇡) + sin(n⇡) cos
✓3⇡
2
◆
= (1) · (1) n = (1) n+1 ,
deci a 2n = 1 n!1
! 1 ¸si a 2n+1 = 1 n!1
! 1. Obt¸inem c˘a ¸sirul (a n ) este divergent.
11. [6 puncte] Se consider˘a matricea A 2 M n (C). Dac˘a det A = 3, iar det(3A) = 81,
atunci det(4A) este egal cu
A. 192
B. 48
C. 182
D. 2000
E. 4
F. 2025
Solut¸ie: Folosind propriet˘at¸ile determinantului avem c˘a
81 = det(3A) = 3n det A = 3 n+1 , deci n = 3.
Atunci det(4A) = 4 n det(A) = 43 · 3 = 192.
12. [6 puncte] Dac˘a A =
1 2
1 1

, iar M = {A k | k 2 N ⇤ }, atunci num˘arul de elemente
ale lui M este
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
E. 0
F. 1
6

Subiect și barem · pagina 11

Solut¸ie: Avem A2 = I 2 , A3 = A, A4 = I 2 , ¸si An+4 = A n · A 4 = An pentru
orice n 2 N. Astfel M ⇢ {A, I 2 , A, I 2 }. Cum ˆın plus ±A, ±I 2 sunt distincte
dou˘a cˆate dou˘a ¸si incluse ˆın M rezult˘a c˘a
M = {±A, ±I 2 }.
Atunci |M | = 4.
13. [6 puncte] Fie A =
2
4
x x 2
m x 0
0 m 1
3
5. S˘a se determine m 2 R astfel ˆıncˆat matricea A s˘a
fie inversabil˘a pentru orice x 2 R.
A. m 2 (0, 1)
B. m 2 (1, 1)
C. m 2 R ⇤
D. m 2 ;
E. m 2 (1, 0)
F. m = p2
Solut¸ie: Calculˆand determinantul matricei A obt¸inem
det(A) = x 2  mx + 2m 2 .
Cum  = m 2  8m 2 = 7m 2 0, avem c˘a det(A) 6 = 0 pentru orice x 2 R dac˘a ¸si
numai dac˘a m 2 R ⇤ .
14. [6 puncte] Se consider˘a determinantul
 =






(a + 2) 2 (a + 1) 2 a 2
(b + 2) 2 (b + 1) 2 b 2
(c + 2) 2 (c + 1) 2 c 2





 ,
unde a, b, c 2 R. Atunci
A.  = 2(a  b)(b  c)(c  a)
B.  = 4(a  b)(b  c)(c  a)
C.  = 8(a  b)(b  c)(c  a)
D.  = 2(a  b)(b  c)(c  a)
E.  = 4(a  b)(b  c)(c  a)
F. m = 8(a  b)(b  c)(c  a)
Solut¸ie: Avem






(a + 2) 2 (a + 1) 2 a 2
(b + 2) 2 (b + 1) 2 b 2
(c + 2) 2 (c + 1) 2 c 2





 =
C 1 ! C 1  C 3
C 2 ! C 2  C 3






4a + 4 2a + 1 a 2
4b + 4 2b + 1 b 2
4c + 4 2c + 1 c 2





 =
C 1 !C 1 2C 2
7

Subiect și barem · pagina 12

= 2·






1 2a + 1 a 2
1 2b + 1 b 2
1 2c + 1 c 2





 =
C 2 !C 2 C 1
4·






1 a a 2
1 b b 2
1 c c 2





 = 4(ba)(ca)(cb) = 4(ab)(bc)(ca)
15. [6 puncte] Se consider˘a A, B 2 M 2 (C) astfel ˆıncˆat AB =
3 5
7 11

¸si BA =
a 6
7 b

.
Atunci valorile numerelor a ¸si b sunt
A. 0 ¸si 4
B. 2 ¸si 3
C. 4 ¸si 10
D. 2 ¸si 7
E. 7 ¸si 11
F. 4 ¸si 3
Solut¸ie: Avem Tr(BA) = Tr(AB) = 14 ¸si det(BA) = det(AB) = 2, de unde
obt¸inem a + b = 14 ¸si respectiv ab  42 = 2, adic˘a ab = 40. Ecuat¸ia de gradul 2
cu r˘ad˘acinile a ¸si b este
x 2  14x + 40 = 0 , (x  4)(x  10) = 0,
deci {a, b} = {4, 10}.
S˘a observ˘am c˘a pentru A =
1 2
3 4

¸si B =
1 1
1 2

obt¸inem AB =
3 5
7 11

¸si
BA =
4 6
7 10

8

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Concurs de pregătire · 2025Informatică · Subiect și baremDeschide fișa Concurs de pregătire · 2025Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Subiect și barem în același documentDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică și Informatică · Broșura oficială – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Subiect și barem în același documentDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică și Informatică · Broșura oficială – varianta 1 cu baremDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2025 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.