Pregătire cu un profesor

Prob˘a scris˘a la matematic˘a
Modelul 4
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
Se acord˘a din oficiu 10 puncte.
SUBIECTUL I. 30 p
1. Fie num˘arul complex z = 1 − i. Calculat¸i (z − 1)2015.
2. Dac˘a x1 ¸si x2 sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei x2 − 9x + 18 = 0, atunci s˘a se calculeze x2
1+x2
2
x1x2 .
3. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 49x − 3 · 7x + 2 = 0.
4. Determinat¸i num˘arul submult¸imilor cu patru elemente ale mult¸imii {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
5. ˆIn reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(2, 3), B(2, 1) ¸si C(2, 5). Determinat¸i
coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.
6. Calculat¸i tg α , ¸stiind c˘a sin α = 1
5 , α ∈ (π
2 , π).
SUBIECTUL II. 30 p
1. Pentru x, y numere reale convenabile definim x ∗ y = x+y
1+xy . 15 p
a) Ar˘atat¸i c˘a G = (−1, 1) este o parte stabil˘a a lui R fat¸˘a de legea de compozit¸ie ∗.
b) Ar˘atat¸i c˘a (G, ∗) este un grup abelian.
c) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f : G → R, f (x) =
x∫
0
1
1−t2 dt este un izomorfism ˆıntre grupurile
(G, ∗) ¸si (R, +).
2. Fie sistemul de ecuat¸ii liniare omogene 15 p



x + y − z = 0
x − y + z = 0
y − z = 0 .
a) Determinat¸i rangul matricii sistemului.
b) Precizat¸i dou˘a solut¸ii pentru acest sistem.
c) Dac˘a (x1, y1, z1) ¸si (x2, y2, z2) sunt dou˘a solut¸ii ale sistemului omogen, atunci ar˘atat¸i
c˘a pentru orice numere reale α, β tripletul
(αx1 + βx2, αy1 + βy2, αz1 + βz2)
este solut¸ie a sistemului.
SUBIECTUL III. 30 p
1. Fie funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x ln2 x. 15 p
a) Determinat¸i intervalele de monotonie ale funct¸iei f .
b) Scriet¸i ecuat¸ia tangentei la graficului funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x0 = 1, situat
pe graficul lui f .
c) Calculat¸i
e2
∫
e
f (x)
ln x dx.
2. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = x2n+1 + x, n ∈ N∗. 15 p
a) Ar˘atat¸i c˘a f este o funct¸ie strict cresc˘atoare.
b) Calculat¸i lim
n→∞
1
n ·
1∫
0
(f (x) − x2n+1) ex dx.
c) Determinat¸i volumul corpului obt¸inut prin rotat¸ia ˆın jurul axei Ox a graficului
funct¸iei g : [1, 2] → R, definit prin g(x) = f (x)−x
x2n .

Subiect · pagina 2

Prob˘a scris˘a la matematic˘a
Modelul 5
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
Se acord˘a din oficiu 10 puncte.
SUBIECTUL I. 30 p
1. Fie num˘arul complex z = 2 + i. Calculat¸i (z − 2)2015.
2. Determinat¸i coordonatele vˆarfului parabolei asociate funct¸iei de gradul doi
f : R → R, f (x) = −x2 + 2x − 1.
3. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia √x2 − 2x + 1 = 1.
4. Calculat¸i suma S = C0
n − C1
n + C2
n − C3
n + . . . + (−1)nCn
n .
5. ˆIn reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(−2, 1) , B(2, −1) ¸si C(1, 0).
Determinat¸i lungimea vectorului −−→
AM , ¸stiind c˘a M este mijlocul segmentului BC.
6. Dac˘a BC = 10, AB = 6 ¸si AC = 8, atunci determinat¸i raza cercului circumscris
triunghiului ABC.
SUBIECTUL II. 30 p
1. Pe mult¸imea numerelor reale R se define¸ste legea de compozit¸ie dat˘a de
x ◦ y = xy + x + y. 15 p
a) Ar˘atat¸i c˘a x ◦ y = (x + 1)(y + 1) − 1 pentru orice numere reale x, y.
b) Determinat¸i elementele simetrizabile fat¸˘a de legea de compozit¸ie ◦.
c) Dac˘a se consider˘a funct¸ia f : R → M2 (R), f (x) =
( x 0
0 1
)
, atunci ar˘atat¸i c˘a
matricea f (x ◦ (−1)) este inversabil˘a pentru orice x ∈ R.
2. Se consider˘a polinomul f = X3 − X2 + 2. 15 p
a) Determinat¸i r˘ad˘acinile x1, x2, x3 ale polinomului f .
b) Calculat¸i x2
1 + x2
2 + x2
3.
c) Determinat¸i un polinom g de gradul doi, cu coeficient¸i reali astfel ˆıncˆat
g(x1) = x1, g(x2) = x3, g(x3) = x2.
SUBIECTUL III. 30 p
1. Fie funct¸ia f : R → R definit˘a prin 15 p
f (x) =
{ x2 + x + 1 dac˘a x < 0
e−x dac˘a x ≥ 0 .
a) Calculat¸i lim
x→0f (x).
b) Calculat¸i f ′
s(0) + f ′
d(0).
c) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia F : R → R definit˘a prin
F (x) =
{ x3
3 + x2
2 + x + 2015 dac˘a x < 0
−e−x + 2016 dac˘a x ≥ 0 .
este o primitiv˘a a lui f .
2. Fie funct¸ia f : R \ {−1} → R, f (x) = x−1
x+1 . 15 p
a) Scriet¸i ecuat¸iile asimptotelor la graficul funct¸iei f .
b) Calculat¸i In =
n∫
1
f (x) dx, n ∈ N∗.
c) Calculat¸i lim
n→∞
In
n .
2

Subiect · pagina 3

Prob˘a scris˘a la matematic˘a
Modelul 6
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
Se acord˘a din oficiu 10 puncte.
SUBIECTUL I. 30 p
1. Fie num˘arul complex z = 1 + 2i. Calculat¸i (z − 1)10.
2. Dac˘a x1 ¸si x2 sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei x2 − 5x + 4 = 0, atunci s˘a se calculeze x2
1+x2
2
x2
1x2
2
.
3. Rezolvat¸i ecuat¸ia 3
√x3 − 3x2 + 3x − 1 + 1 = 0.
4. Determinat¸i num˘arul tuturor posibilit˘at¸ilor de a premia elevii dintr-o clas˘a format˘a
cu 25 de copii, ¸stiind c˘a sunt acordate cˆate un premiu I, II, III ¸si o ment¸iune.
5. Scriet¸i ecuat¸ia dreptei g care trece prin punctul A(1, 1) ¸si este paralel˘a cu dreapta
d de ecuat¸ie y = −2x + 1.
6. Dac˘a ˆın triunghiul ABC se cunosc lungimile laturilor BC = 13, AB = 12, AC = 5,
atunci calculat¸i sin A.
SUBIECTUL II. 30 p
1. Fie matricea A =


a a a
a a a
a a a

 ∈ M3 (R). 15 p
a) Calculat¸i A2.
b) Ar˘atat¸i c˘a An = 3n−1A, pentru orice n ∈ N∗.
c) Pentru a = 1, rezolvat¸i sistemul liniar omogen de matrice A.
2. ˆIn Z3[X] se consider˘a polinomul f = X3 + X2 +̂ 1, unde Z3 = {̂ 0,̂ 1,̂ 2}. 15 p
a) Calculat¸i f (̂ 0) + f (̂ 1) + f (̂ 2).
b) Determinat¸i r˘ad˘acinile din Z3 ale polinomului f .
c) Determinat¸i cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la polinomul g = X2 +̂ 2X.
SUBIECTUL III. 30 p
1. Fie funct¸ia fn : R → R, fn(x) = xn
ex , n ∈ N∗. 15 p
a) Calculat¸i f ′
n(x), x ∈ R.
b) Calculat¸i lim
x→∞x−n−2fn(x).
c) Calculat¸i
1∫
0
f3(x) dx.
2. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = |x + 1| − |x − 1|. 15 p
a) Studiat¸i continuitatea ¸si derivabilitatea lui f .
b) Scriet¸i ecuat¸ia tangentei la graficului funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x0 = 0, situat
pe graficul lui f .
c) Calculat¸i
2∫
−2
f (x) dx.
3

Subiect · pagina 4

Prob˘a scris˘a la matematic˘a
Modelul 7
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
Se acord˘a din oficiu 10 puncte.
SUBIECTUL I. 30 p
1. Fie num˘arul complex z = 1−i
1+i . Calculat¸i z2015.
2. Dac˘a x1 ¸si x2 sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei x2 −2x+m = 0 ¸si verific˘a relat¸ia x1 −x2 = −6,
atunci s˘a se determine parametrul real m.
3. Determinat¸i cˆate numere naturale impare, de dou˘a cifre, se pot forma cu cifrele 0,
1, 2 ¸si 3.
4. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia log2(√2x − 1) = log4 x.
5. ˆIn reperul cartezian xOy se consider˘a vectorii −→
AB = 3−→
i + m−→
j , −−→
CD = (n + 1)−→
i +
4−→
j , unde m, n sunt numere reale. Determinat¸i m ¸si n ¸stiind c˘a −→
AB = −−→
CD.
6. Dac˘a ctga = 1√3 , atunci calculat¸i sin a+√3 cos a
sin a−2√3 cos a .
SUBIECTUL II. 30 p
1. Fie matricea 15 p
A =


1 1 1
1 ω ω2
1 ω2 ω

 ,
unde ω este una dintre r˘ad˘acinile complexe ale ecuat¸iei x3 − 1 = 0.
a) Calculat¸i det A.
b) Calculat¸i A2.
c) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice n ∈ N, A2n ∈ M3 (R).
2. Se consider˘a polinomul cu coeficient¸i reali f = X3 − 3X2 + aX − 1. 15 p
a) Calculat¸i f (1).
b) Determinat¸i a ∈ R astfel ˆıncˆat X2 − 2X + 1 s˘a divid˘a polinomul f .
c) Pentru a = 3 rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia f (2x) = 0.
SUBIECTUL III. 30 p
1. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = x+2
x2+x+1 . 15 p
a) Calculat¸i lim
x→∞f (x).
b) Calculat¸i f ′(x).
c) Calculat¸i
1∫
0
f (x) dx.
2. Fie funct¸iile f1, f2 : [0, π
2
] → R, f1(x) = sin x
sin x+cos x , f2(x) = cos x
sin x+cos x . 15 p
a) Calculat¸i
π
2∫
0
(f1(x) + f2(x)) dx.
b) Calculat¸i
π
2∫
0
(f2(x) − f1(x)) dx.
c) Dac˘a I =
π
2∫
0
f1(x) dx, atunci calculat¸i lim
n→∞In.
4

Subiect · pagina 5

Prob˘a scris˘a la matematic˘a
Modelul 8
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
Se acord˘a din oficiu 10 puncte.
SUBIECTUL I. 30 p
1. Fie num˘arul complex z = 1
1−i − 1
1+i . Calculat¸i z2015 + z2015.
2. Dac˘a x1, x2 ¸si x3 sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei x3 − 2x2 + 2x + 17 = 0, atunci s˘a se
calculeze x2
1 + x2
2 + x2
3.
3. Rezolvat¸i ecuat¸ia 4x − 2x+1 − 8 = 0.
4. Calculat¸i suma C0
n + 2C1
n + 4C2
n + · · · + 2nCn
n , n ∈ N.
5. Scriet¸i ecuat¸ia dreptei g care trece prin punctul A(1, −1) ¸si este perpendicular˘a pe
dreapta d de ecuat¸ie y = −x + 2.
6. Dac˘a ˆın triunghiul ABC se cunosc lungimile laturilor BC = 6, AB = 5, AC = 3,
atunci calculat¸i cos A.
SUBIECTUL II. 30 p
1. Fie matricea A =


1 1 1
1 a b
1 a2 b2

 ∈ M3 (R). 15 p
a) Calculat¸i det A.
b) Determinat¸i inversa matricii A, pentru a = 2, b = 3.
c) Rezolvat¸i sistemul liniar omogen de matrice A, pentru a = 1, b = −1.
2. ˆIn Z5[X] se consider˘a polinomul f = X4 + X2 +̂ 3, unde Z5 = {̂ 0,̂ 1,̂ 2,̂ 3,̂ 4}. 15 p
a) Calculat¸i f (̂ 1).
b) Determinat¸i r˘ad˘acinile din Z5 ale polinomului f .
c) S˘a se descompun˘a polinomul f ˆın factori ireductibili ˆın Z5[X].
SUBIECTUL III. 30 p
1. Fie funct¸ia f : D → R, f (x) = x−1√x2−1 , D ⊂ R. 15 p
a) Determinat¸i domeniul maxim de definit¸ie al lui f .
b) Determinat¸i ecuat¸iile asimptotelor la graficul funct¸iei f .
c) Calculat¸i lim
n→∞
n+2∫
n+1
f (x) · √x2 − 1 dx.
2. Fie funct¸ia f:R → R, f (x) = x2 − 2|x|. 15 p
a) Calculat¸i limitele lim
xր0
f (x)−f (0)
x−0 ¸si lim
xց0
f (x)−f (0)
x−0 .
b) Studiat¸i continuitatea ¸si derivabilitatea lui f .
c) Calculat¸i
1∫
−1
f (x) dx.
5

Deschide documentul original

Barem · 10 pagini

Barem · pagina 1

BAREM DE EVALUARE SI NOTARE
Se acord˘a din oficiu 10 puncte. Fiecare din cele trei subiecte este notat cu 30
de puncte. Punctajul total maxim este de 100 de puncte.
Nota lucr˘arii se obt¸ine prin ˆımp˘art¸irea punctajului total la 10.
Modelul 4
SUBIECTUL I. 30 p
1. 5 p
z − 1 = −i 1 p
i2 = −1 1 p
(−i)3 = i 1 p
(z − 1)2015 = i 2 p
2. 5 p
x1 + x2 = 9 1 p
x1x2 = 18 1 p
x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 45 1 p
x2
1+x2
2
x1x2 = 5
2 2 p
3. 5 p
Substitut¸ia 7x = t 1 p
Obt¸inerea ecuat¸iei t2 − 3t + 2 = 0 1 p
Obt¸inerea r˘ad˘acinilor t1 = 1, t2 = 2 1 p
Obt¸inerea r˘ad˘acinilor reale x1 = 0 ¸si x2 = log7 2 2 p
4. 5 p
Num˘arul submult¸imilor este C4
5 2 p
Ck
n = n!
k!·(n−k)! 1 p
C4
5 = 1 2 p
5. 5 p
Coordonatele centrului de greutate xG = xA+xB +xC
3 , yG = yA+yB +yC
3 3 p
xG = 2, yG = 3 2 p
6. 5 p
cos2 α = 1 − sin2 α 2 p
cos α = −2√6
5 1 p
tg α = − 1
2√6 2 p
SUBIECTUL II. 30 p
1. 15 p
a) Pentru orice x, y ∈ (−1, 1) avem 1 + xy > 0 1 p
x+y
1+xy + 1 = (1+x)(1+y)
1+xy > 0, ∀x, y ∈ (−1, 1) 2 p
x+y
1+xy − 1 = (1−x)(y−1)
1+xy < 0, ∀x, y ∈ (−1, 1) 2 p
b) Asociativitatea: ∀x, y, z ∈ G = (−1, 1) avem x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z 2 p
Comutativitatea: ∀x, y ∈ G = (−1, 1) avem x ∗ y = y ∗ x 1 p
Elementul neutru e = 0 ∈ G: ∀x ∈ G = (−1, 1) avem x ∗ 0 = 0 ∗ x = x 1 p
∀x ∈ G, ∃x′ = −x ∈ G astfel ˆıncˆat x ∗ x′ = x′ ∗ x = 0 1 p
c) 1
1−t2 = 1
2
( 1
1−t − 1
1+t
) 1 p
Pentru orice x ∈ G = (−1, 1) avem f (x) = 1
2 ln (1+x
1−x
) 1 p
f este morfism de grupuri: f (x ∗ y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ G 1 p
1

Barem · pagina 2

f este strict cresc˘atoare, deoarece f ′(x) = 1
1−x2 > 0, ∀x ∈ G 1 p
f este izomorfism ˆıntre grupurile (G, ∗) ¸si (R, +) 1 p
2. 15 p
a) Matricea sistemului este


1 1 −1
1 −1 1
0 1 −1

 2 p
det A = 0 1 p
Avem minorul de ordinul doi
∣
∣
∣
∣ 1 1
1 −1
∣
∣
∣
∣ = −2 6 = 0 1 p
Rangul matricii A este egal cu 2 1 p
b) (0, 0, 0) este solut¸ia banal˘a (nul˘a) a acestui sistem liniar omegen 3 p
O alt˘a solut¸ie este (0, 1, 1) 2 p
c) Solut¸ia general˘a a sistemului este (0, λ, λ), λ ∈ R 2 p
Dac˘a (0, λ1, λ1), (0, λ2, λ2) sunt dou˘a solut¸ii pentru sistemul liniar, atunci tripletul
(0, αλ1 + βλ2, αλ1 + βλ2) verific˘a fiecare ecuat¸ie a sistemului, pentru orice α, β ∈ R 3 p
SUBIECTUL III. 30 p
1. 15 p
a) f ′(x) = ln x(ln x + 2) 1 p
f ′(x) > 0, pentru x ∈ (0, e−2) ∪ (1, ∞) ¸si f ′(x) < 0, pentru x ∈ (e−2, 1) 2 p
f este strict cresc˘atoare pe (0, e−2) ¸si pe (1, ∞) 1 p
f este strict descresc˘atoare pe (e−2, 1) 1 p
b) f (1) = 0, f ′(1) = 0 2 p
Ecuat¸ia tangentei ˆın M(x0, f (x0)) este y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) 2 p
Ecuat¸ia tangentei ˆın M(1, 0) este y = 0 1 p
c)
e2
∫
e
x ln x dx =
e2
∫
e
( x2
2
)′
· ln x dx = 2 p
= x2
2
∣
∣
∣e2
e
· ln x − 1
2 ·
e2
∫
e
x2
2 · 1
x dx = 2 p
Integrala este egal˘a cu 3e4−e2
4 1 p
2. 15 p
a) f ′(x) = (2n + 1)x2n + 1 pe ∀x ∈ R 2 p
f ′(x) > 0 pe R implic˘a f strict cresc˘atoare 3 p
b)
1∫
0
(f (x) − x2n+1) ex dx = xex|1
0 −
1∫
0
ex dx = 1 3 p
Limita este lim
n→∞
1
n = 0 2 p
c) Volumul corpului de rotat¸ie este V (Cg) = π
2∫
1
(g(x))2 dx 2 p
V (Cg) = π
2∫
1
x2 dx 2 p
V (Cg) = 7π
3 1 p
2

Barem · pagina 3

BAREM DE EVALUARE SI NOTARE
Se acord˘a din oficiu 10 puncte. Fiecare din cele trei subiecte este notat cu 30
de puncte. Punctajul total maxim este de 100 de puncte.
Nota lucr˘arii se obt¸ine prin ˆımp˘art¸irea punctajului total la 10.
Modelul 5
SUBIECTUL I. 30 p
1. 5 p
z − 2 = −i 2 p
i3 = −i 1 p
z − 22015 = i 2 p
2. 5 p
∆ = b2 − 4ac = 0 2 p
Coordonatele vˆarfului parabolei xV = −b
2a , yV = −∆
4a 2 p
xV = 1, yV = 0 1 p
3. 5 p√x2 − 2x + 1 = √(x − 1)2 = |x − 1| 2 p
x − 1 = −1 sau x − 1 = 1 1 p
R˘ad˘acinile ecuat¸iei sunt x1 = 0, x2 = 1 2 p
4. 5 p
Binomul lui Newton (a + b)n = n∑
k=0
Ck
n an−kbk 2 p
Suma este S = (1 − 1)n = 0 3 p
5. 5 p
xM = xB +xC
2 = 3
2 , yM = yB +yC
2 = −1
2 2 p
Vectorul −−→
AM = (xM − xA)−→
i + (yM − yA)−→
j = 5
2
−→
i − 3
2
−→
j 2 p
Lungimea vectorului −−→
AM este
√( 5
2
)2 + (−3
2
)2 = √34
2 1 p
6. 5 p
Se observ˘a c˘a BC2 = AB2 + AC2 1 p
Din reciproca teoremei lui Pitagora rezult˘a c˘a m( ˆA) = 90◦ 2 p
Raza cercului circumscris triunghiului ABC este R = BC
2 = 5 2 p
SUBIECTUL II. 30 p
1. 15 p
a) Pentru orice x, y ∈ R avem (x + 1)(y + 1) − 1 = xy + x + y 5 p
b) Elementul neutru este 0, x ◦ 0 = 0 ◦ x = x, ∀x ∈ R 2 p
Se observ˘a c˘a x ◦ (−1) = (−1) ◦ x = −1 6 = 0, ∀x ∈ R 1 p
Orice x 6 = −1 este simetrizabil, cu simetricul x′ = − x
x+1 2 p
c) ∀x ∈ R avem c˘a f (x ◦ (−1)) = f (−1) =
( −1 0
0 1
)
2 p
det f (−1) = −1 2 p
∀x ∈ R avem c˘a matricea f (x ◦ (−1)) este inversabil˘a 1 p
2. 15 p
a) f (−1) = 0 implic˘a x1 = −1 r˘ad˘acin˘a real˘a 1 p
f = (X + 1) · (X2 − 2X + 2) 1 p
∆ = b2 − 4ac = −4 1 p
x2 = 1 − i, x3 = 1 + i r˘ad˘acini complexe 2 p
3

Barem · pagina 4

b) Relat¸iile lui Vie`ete pentru f = a3X3 + a2X2 + a1X + a0, 3 p
x1 + x2 + x3 = −a2
a3 = 1, x1x2 + x2x3 + x3x1 = a1
a3 = 0, = −a0
a3 = −2
x2
1 + x2
2 + x2
3 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x2x3 + x3x1) = 1 2 p
c) Consider˘am polinomul de gradul doi g = aX2 + bX + c
g(−1) = a − b + c = −1, g(1 − i) = −2ai + (1 − i)b + c = 1 + i,
g(1 − i) = 2ai + (1 + i)b + c = 1 − i 2 p
a − b + c = −1, b + c = 1, 2a + b = −1 2 p
a = −4
5 , b = 3
5 , c = 2
5 1 p
SUBIECTUL III. 30 p
1. 15 p
a) lim
xր0f (x) = 1, lim
xց0f (x) = 1 4 p
lim
x→0f (x) = 0 1 p
b) f ′
s(0) = lim
xր0
f (x)−f (0)
x−0 = lim
xր0(x + 1) = 1 2 p
f ′
d(0) = lim
xց0
f (x)−f (0)
x−0 = lim
xց0
e−x−1
x = −lim
xց0
e−x−1
−x = −1 2 p
f ′
s(0) + f ′
d(0) = 0 1 p
c) Funct¸ia F este continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pe R \ {0} 2 p
F ′(x) =
{ x2 + x + 1 dac˘a x < 0
e−x dac˘a x > 0 1 p
F ′
s (0) = lim
xր0F ′(x) = 1, F ′
d(0) = lim
xց0F ′(x) = 1 ⇒ F este derivabil˘a ˆın 0 1 p
F ′
(x) = f (x) pentru orice x ∈ R 1 p
2. 15 p
a) lim
x±∞f (x) = 1 1 p
lim
xր−1f (x) = +∞, lim
xց−1f (x) = −∞ 1 p
y = 1 este asimptot˘a orizontal˘a la ±∞ 1 p
x = −1 este asimptot˘a vertical˘a la stˆanga c˘atre +∞ 1 p
x = −1 este asimptot˘a vertical˘a la dreapta c˘atre −∞ 1 p
b) In =
n∫
1
dx − 2 ·
n∫
1
1
x+1 dx 2 p
In = n − (1 − 2 ln 2) − 2 ln(n + 1) 3 p
c) lim
n→∞
In
n = 1 − lim
n→∞
1−2 ln 2+2 ln(n+1)
n 2 p
lim
n→∞
ln(n+1)
n = 0 2 p
Limita este egal˘a cu 1 1 p
4

Barem · pagina 5

BAREM DE EVALUARE SI NOTARE
Se acord˘a din oficiu 10 puncte. Fiecare din cele trei subiecte este notat cu 30
de puncte. Punctajul total maxim este de 100 de puncte.
Nota lucr˘arii se obt¸ine prin ˆımp˘art¸irea punctajului total la 10.
Modelul 6
SUBIECTUL I. 30 p
1. 5 p
(z − 1)10 = 210i10 2 p
i10 = i2 = −1 2 p
(z − 1)10 = −1024 1 p
2. 5 p
Relat¸iile lui Vi`ete x1 + x2 = 5, x1x2 = 4 2 p
x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 2 p
x2
1+x2
2
x2
1x2
2
= 17
16 1 p
3. 5 p
x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3 2 p
3
√(x − 1)3 = x − 1 2 p
x1 = 0 solut¸ie unic˘a 1 p
4. 5 p
Num˘arul tuturor posibilit˘at¸ilor este A4
25 2 p
A4
25 = 25!
21! = 25 · 24 · 23 · 22 2 p
Exist˘a 303600 variante de premiere 1 p
5. 5 p
Panta dreptei d este md = −2 1 p
Panta dreptei g este mg = md = −2 1 p
Ecuat¸ia dreptei d care trece prin punctul A este y − yA = md(x − xA) 2 p
Ecuat¸ia dreptei d este y = −2x + 3 1 p
6. 5 p
Se observ˘a c˘a BC2 = AB2 + AC2 1 p
Din reciproca teoremei lui Pitagora rezult˘a c˘a m( ˆA) = 90◦ 2 p
sin A = 1 2 p
SUBIECTUL II. 30 p
1. 15 p
a) Calculul A2 =


3a 3a 3a
3a 3a 3a
3a 3a 3a

 5 p
b) A1 = 30A, A2 = 31A 2 p
Ak = 3k−1A implic˘a Ak+1 = 3kA 2 p
Conform metodei induct¸iei matematice rezult˘a concluzia 1 p
c) Scrierea sistemului liniar omogen



x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0
2 p
Rangul matricii sistemului este 1 1 p
Solut¸ia general˘a este



x = 1 − α − β
y = α
z = β
, α, β ∈ R 2 p
5

Barem · pagina 6

2. 15 p
a) f (̂ 0) =̂ 1, f (̂ 1) =̂ 0, f (̂ 2) =̂ 1 3 p
f (̂ 0) + f (̂ 1) + f (̂ 2) =̂ 2 2 p
b) f (̂ 0) =̂ 1 6 =̂ 0, f (̂ 1) =̂ 0, f (̂ 2) =̂ 1 6 =̂ 0 2 p
Singura r˘ad˘acin˘a a lui f ˆın Z3 estê 1 3 p
c) f = (X2 +̂ 2X) · (X +̂ 2) +̂ 2X +̂ 1 3 p
Cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii sunt q = X +̂ 2, r =̂ 2X +̂ 1 2 p
SUBIECTUL III. 30 p
1. 15 p
a) f ′
n(x) = (xn)′ex−xn(ex)′
(ex)2 2 p
f ′
n(x) = (n−x)xn−1
ex 3 p
b) lim
x→∞x−n−2fn(x) = lim
x→∞
x2
ex 2 p
lim
x→∞
x2
ex = 0 2 p
c)
1∫
0
f3(x) dx =
1∫
0
x3(−e−x)′ dx = 1 p
= −e−1 + 3
1∫
0
x2(−e−x)′ dx = 1 p
= −e−1 − 3e−1 + 6
1∫
0
x(−e−x)′ dx = 1 p
= −e−1 − 3e−1 − 6e−1 + 6
1∫
0
(−e−x)′ dx 1 p
1∫
0
f3(x) dx = −16e−1 + 6 1 p
2. 15 p
a) Funct¸ia modul este continu˘a pe R 1 p
Funct¸ia modul este derivabil˘a pe R \ {0} 1 p
Funct¸ia f este continu˘a pe R 1 p
Funct¸ia f este derivabil˘a pe R \ {−1, 1} 2 p
b) Ecuat¸ia tangentei ˆın M(x0, f (x0)) este y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0) 2 p
x0 = 0, f (0) = 0, f ′(0) = 2 1 p
Ecuat¸ia tangentei la Gf ˆın O(0, 0) este y = 2x 2 p
c) f (x) =



−2 dac˘a x ∈ (−∞, −1)
2x dac˘a x ∈ [−1, 1)
−2 dac˘a x ∈ [1, +∞)
2 p
2∫
−2
f (x) dx =
−1∫
−2
f (x) dx +
1∫
−1
f (x) dx +
2∫
1
f (x) dx 2 p
2∫
−2
f (x) dx = 2 1 p
6

Barem · pagina 7

BAREM DE EVALUARE SI NOTARE
Se acord˘a din oficiu 10 puncte. Fiecare din cele trei subiecte este notat cu 30
de puncte. Punctajul total maxim este de 100 de puncte.
Nota lucr˘arii se obt¸ine prin ˆımp˘art¸irea punctajului total la 10.
Modelul 7
SUBIECTUL I. 30 p
1. 5 p
z = 1−i
1+i = (1−i)2
(1−i)(1+i) = −i 2 p
¯z2015 = i2015 1 p
¯z2015 = i2012 · i3 = −i 2 p
2. 5 p
Relat¸iile lui Vie`ete x1 + x2 = 2, x1x2 = m 2 p
x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4 − 2m 1 p
(−6)2 = (x1 − x2)2 = x2
1 + x2
2 − 2x1x2 = 4 − 4m 1 p
m = −8 1 p
3. 5 p
Numerele cerute sunt 11, 13, 21, 23, 31, 33 4 p
Exist˘a 6 numere 1 p
4. 5 p
Condit¸ii de existent¸˘a logaritmi: x 6 = 1
2 , x > 0 2 p
log4 x = log2 x
log2 4 1 p
Ecuat¸ia este echivalent˘a cu log2
√2x − 1 = log2
√x 1 p
x = 1 este solut¸ie unic˘a 1 p
5. 5 p
−→
AB = −−→
CD dac˘a ¸si numai dac˘a 3 = n + 1 ¸si m = 4 3 p
m = 4, n = 2 2 p
6. 5 p
ctga = cos a
sin a 2p p
sin a+√3 cos a
sin a−2√3 cos a = 1+√3ctga
1−2√3ctga 2 p
Valoarea expresiei este −2 1 p
SUBIECTUL II. 30 p
1. 15 p
a) Calculul detA = 3ω(ω − 1) 5 p
b) Calculul A2 =


3 0 0
0 0 3
0 3 0

 5 p
c) A3 = A2 · A = 3 ·


1 1 1
1 ω2 ω
1 ω ω2

 1 p
A4 = A2 · A = 3 ·


3 0 0
0 3 0
0 0 3

 = 32 · I3 1 p
A5 = A4 · A = 32 · A ¸si A6 = A5 · A = 32 · A2 1 p
Dac˘a A2k are toate elementele numere reale atunci ¸si A2k+2
are toate elementele numere reale 1 p
Conform metodei induct¸iei matematice rezult˘a concluzia 1 p
7

Barem · pagina 8

2. 15 p
a) f (1) = a − 3 5 p
b) Dac˘a (X − 1)2 divide pe f , atunci X − 1 divide f 2 p
X − 1 divide f dac˘a ¸si numai dac˘a f (1) = 0 2 p
X2 − 2X + 1 divide pe f pentru a = 3 1 p
c) Pentru a = 3, f = (X − 1)3 2 p
f (2x) = (2x − 1)3 1 p
Ecuat¸ia (2x − 1)3 = 0 are solutia tripl˘a x = 0 2 p
SUBIECTUL III. 30 p
1. 15 p
a) lim
x→∞f (x) = lim
x→∞
1+ 2
x
x+1+ 1
x
2 p
Limita este 0 3 p
b) f ′(x) = x2+x+1−(x+2)(2x+1)
(x2+x+1)2 2 p
f ′(x) = − x2+4x+1
(x2+x+1)2 3 p
c)
1∫
0
f (x) dx = 1
2
1∫
0
(x2+x+1)′
x2+x+1 dx + 3
2
1∫
0
1
(x+ 1
2 )2+
√3
2
dx = 2 p
= 1
2 ln(x2 + x + 1)|1
0 + √3 arctg
(2x+1√3
)∣
∣
∣1
0
2 p
Integrala este egala cu ln √3 + π√3
6 1 p
2. 15 p
a)
π
2∫
0
(f1(x) + f2(x)) dx =
π
2∫
0
sin x+cos x
sin x+cos x dx = 3 p
=
π
2∫
0
dx = π
2 2 p
b)
π
2∫
0
(f2(x) − f1(x)) dx =
π
2∫
0
(sin x+cos x)′
sin x+cos x dx = 3 p
= ln(sin x + cos x)| π
2
0 2 p
c)
π
2∫
0
f1(x) dx =
π
2∫
0
f2(x) dx = π
4 2 p
ˆIntrucˆat 0 < π
4 < 1 avem lim
n→∞
( π
4
)n = 0 2 p
Limita cerut˘a este egal˘a cu 0 1 p
8

Barem · pagina 9

BAREM DE EVALUARE SI NOTARE
Se acord˘a din oficiu 10 puncte. Fiecare din cele trei subiecte este notat cu 30
de puncte. Punctajul total maxim este de 100 de puncte.
Nota lucr˘arii se obt¸ine prin ˆımp˘art¸irea punctajului total la 10.
Modelul 8
SUBIECTUL I. 30 p
1. 5 p
z = 1
1−i − 1
1+i = i 2 p
z2015 = i2015 = i2012 · i3 = −i 1 p
¯z2015 = (−i) = i 1 p
z2015 + ¯z2015 = 0 1 p
2. 5 p
x1 + x2 + x3 = 2, x1x2 + x2x3 + x3x1 = 2, x1x2x3 = −17 3 p
x2
1 + x2
2 + x2
3 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x2x3 + x3x1) 1 p
x2
1 + x2
2 + x2
3 = 0 1 p
3. 5 p
Substitut¸ia 2x = t 1 p
Obt¸inerea ecuat¸iei t2 − 2t − 8 = 0 1 p
Obt¸inerea r˘ad˘acinilor t1 = −2, t2 = 4 1 p
x = 2 solut¸ie unic˘a 2 p
4. 5 p
Binomul lui Newton (a + b)n = n∑
k=0
Ck
n an−kbk 2 p
Suma este egal˘a cu (1 + 2)n = 3n 3 p
5. 5 p
Panta dreptei d este md = −1 1 p
Panta dreptei g este mg = − 1
md = −1 1 p
Ecuat¸ia dreptei g este y − yA = mg(x − xA) 1 p
Dup˘a calcule, ecuat¸ia dreptei g este y = −x 2 p
6. 5 p
cos A = b2+c2−a2
2bc , unde a = BC, b = AC, c = AB 3 p
cos A = 32+52−62
2·3·5 = − 1
15 2 p
SUBIECTUL II. 30 p
1. 15 p
a) Calculul det A = (a − 1)(b − 1)(b − a) 5 p
b) det A = 2 1 p
A−1 = 1
det A · A∗, A∗ fiind adjuncta matricii A 1 p
A∗ =


A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33

 =


6 −5 1
−6 8 −2
2 −3 1

 2 p
Inversa matricii este A−1 =


3 −5/2 1/2
−3 4 −1
1 −3/2 1/2

 1 p
c) Sistemul liniar omogen este



x + y + z = 0
x + y − z = 0
x + y + z = 0
1 p
9

Barem · pagina 10

Rangul matricii sistemului este egal cu 2 1 p
Solut¸ia general˘a este



x = α
y = −α
z = 0
, α ∈ R 3 p
2. 15 p
a) f (̂ 1) =̂ 0 5 p
b) f (̂ 0) =̂ 1, f (̂ 1) =̂ 0, f (̂ 2) =̂ 2, f (̂ 3) =̂ 1, f (̂ 4) =̂ 0 3 p
R˘ad˘acinile lui f din Z5 sunt x1 =̂ 1, x2 =̂ 4 2 p
c) X −̂ 1 divide pe f , X −̂ 4 divide pe f 2 p
(X −̂ 1) · (X +̂ 1) = X2 −̂ 1 divide pe f 1 p
f = (X2 −̂ 1) · (X2 +̂ 2) 1 p
Descompunerea lui f ˆın factori ireductibili ˆın Z5[X]
f = (X −̂ 1) · (X −̂ 4) · (X2 −̂ 3) 1 p
SUBIECTUL III. 30 p
1. 15 p
a) Condit¸ia de existent¸˘a a radicalului x2 − 1 > 0 2 p
D = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) 3 p
b) lim
xր−1f (x) = −∞, lim
xց1f (x) = 0 1 p
x = −1 este asimptot˘a vertical˘a la stˆanga c˘atre −∞ 1 p
lim
x→−∞f (x) = −1, lim
x→+∞f (x) = 1 1 p
y = −1 este asimptot˘a orizontal˘a c˘atre −∞ 1 p
y = 1 este asimptot˘a orizontal˘a c˘atre +∞ 1 p
c)
n+2∫
n+1
f (x) · √x2 − 1 dx =
n+2∫
n+1
(x − 1) dx =
(x2
2 − x
)∣
∣
∣n+2
n+1
= 2 p
Limita este egal˘a cu lim
n→∞
(n + 1
2
) = +∞ 3 p
2. 15 p
a) f (x) =
{ x2 + 2x dac˘a x < 0
x2 − 2x dac˘a x ≥ 0 1 p
lim
xր0
f (x)−f (0)
x−0 = lim
xր0
x2+2x
x = 2 2 p
lim
xց0
f (x)−f (0)
x−0 = lim
xց0
x2−2x
x = −2 2 p
b) f este contin˘a ¸si derivabil˘a pe R \ {0} 2 p
f este contin˘a ˆın 0 pentru c˘a lim
xր0f (x) = lim
xց0f (x) = f (0) 1 p
f nu este derivabil˘a ˆın 0 pentru c˘a f ′
s(0) = 2, f ′
d(0) = −2 2 p
c)
1∫
−1
f (x) dx =
0∫
−1
(x2 + 2x) dx +
1∫
0
(x2 − 2x) dx = 2 p
=
(x3
3 + x2
)∣
∣
∣0
−1
+
(x3
3 − x2
)∣
∣
∣1
0
2 p
Valoarea integralei
1∫
−1
f (x) dx este −4
3 1 p
10

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2015Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2015Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Model de pregătire · 2015Informatică · Modelul 1Deschide fișa Model de pregătire · 2015Informatică · Modelul 2Deschide fișa Model de pregătire · 2015Matematică · Modelul 1Deschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2015 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.